【高考真题】2024年上海市高考数学卷（春季）

【高考真题】2024年上海市高考数学卷（春季）一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．log2x的定义域．2．直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为．3．已知Z1+i=i，则Z4．（x﹣1）6展开式中x4的系数为．5．三角形ABC中，BC=2,A=π3,6．已知ab＝1，4a2+9b2的最小值为．7．数列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范围为．8．三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为．9．已知f(x)=x2,g(x)10．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD为平行四边形，AA1＝3，BD＝4且AB1⋅BC−AD111．正方形草地ABCD边长1.2，E到AB，AD距离为0.2，F到BC，CD距离为0.4，有个圆形通道经过E，F，且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长．（精确到0.01）12．a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，任意b1，b2，b3，b4∈R，满足{ai+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，求有序数列{b1，b2，b3，b4}有对．二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13．a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（）A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c14．空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确的是（）A．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥nB．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥βC．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥nD．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β15．有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（）A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立C．事件A与事件B∪C互斥 D．事件A与事件B∩C相互独立16．现定义如下：当x∈（n，n+1）时（n∈N），若f（x+1）＝f'（x），则称f（x）为延展函数．现有，当x∈（0，1）时，g（x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，则以下结论（）①存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝g（x）有无穷个交点②存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝h（x）有无穷个交点A．①②都成立 B．①②都不成立C．①成立②不成立 D．①不成立②成立三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）17．已知f（x）＝sin（ωx+π3（1）设ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0，π]的值域；（2）a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期为π，若在x∈[π，a]上恰有3个零点，求a的取值范围．18．如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB＝AC．（1）证明：PA⊥BC；（2）若圆锥侧面积为3π，BC为底面直径，BC＝2，求二面角B﹣PA﹣C19．水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆Γ:x26+y2（1）若点A的横坐标为2，求|AF1|的长；（2）设Γ的上、下顶点分别为M1、M2，记△AF1F2的面积为S1，△AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求|OA|的取值范围．（3）若点A在x轴上方，设直线AF2与Γ交于点B，与y轴交于点K，KF1延长线与Γ交于点C，是否存在x轴上方的点C，使得F1A+21．记M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≤a}．（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求证：对于任意a∈R，都有M（a）⊆[﹣4，+∞），且存在a，使得﹣4∈M（a）．（3）已知定义在R上f（x）有最小值，求证“f（x）是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c）”．

答案解析部分1．【答案】（0，+∞）2．【答案】45°3．【答案】﹣1﹣i4．【答案】155．【答案】326．【答案】127．【答案】（﹣∞，﹣4）8．【答案】39．【答案】（﹣∞，1]10．【答案】arccos511．【答案】2.7312．【答案】4813．【答案】B14．【答案】A15．【答案】B16．【答案】D17．【答案】（1）解：当ω＝1时，fx因为x∈[0，π]，所以x+π根据函数y＝sinx在[π3,π2]上单调递增，在[π2,4π3]上单调递减，

所以当x+（2）解：由题知T=2πω因为x∈[π，a]，所以2x+π3∈7π3,2a+π3

根据函数y＝sinx图像可知f(x)在7π318．【答案】（1）证明：取BC中点O，接AO，连PO如图所示：

因为AB＝AC，所以AO⊥BC，

同理PB＝PC，则PO⊥BC，又因为PO，AO⊂面PAO，PO∩AO＝点O，所以BC⊥面PAO，又PA⊂面PAO，所以PA⊥BC；（2）解：因为圆锥侧面积为3π且BC＝2，所以r=1，S侧=πrl=3π，所以l=PA=3，

由（1）可得PO⊥BC，所以PO=PB2−OB2=2

又因为PO2+OA2=PA2，所以PO⊥OA，所以PO⊥面ABC，

所以以O为坐标原点，OB为x轴，OA为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系如图所示：

则P0，0，2，A0，1，0，B1，0，019．【答案】（1）解：从136箱中随机挑选两箱水果样本空间Ω共有C1362=136×1352×1=9180个样本点，

设事件M="恰好一级果和二级果各一箱"则事件M包含的样本点共（2）解：因为一级果箱数：二级果箱数=10234所以8箱水果中抽到一级果8×33+1=6综上8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；（3）解：设一级果平均质量为x，方差为Sx2，二级果质量为y，方差为Sy由已知可得x=303.45，Sx2=603.46所以m=120S2预估：果园中单果平均质量为102102+34综上168个水果的平均数285.44克；方差1427.17克2，整个果园的单果的平均质量约287.69克20．【答案】（1）解：由题意可得a2=6,b2因为点A在椭圆Γ上，所以226+所以|AF1​​​（2）解：由题意可得M1所以S因为S1≥S2，所以2y2≥x2，又x26+y22=1则OA=故|OA|的范围为(2（3）解：存在，理由如下：不妨设A（x1，y1），y1＞0，B（x2，y2），由对称性可得A、C关于y轴对称，所以C（﹣x1，y1），又F1（﹣2，0），F2（2，0），则F所，F1同理可得F又因为F1所以x解得y2+2y1＝0或2y不妨设直线AF2：x＝my+2，x=my+2x26+y由根与系数关系可得得y1y2=−又x1＝my1+2，解得x1=故存在x轴上方的点C−9421．【答案】（1）解：由题意，得M（1）＝{t|t＝x2+1﹣2，x≥1}＝[0，+∞）；L(1)={t∣t=x综上M（1）＝[0，+∞）；L（1）＝[﹣1，+∞）（2）证明：由题意知，M（a）＝{t|t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a}，记g（x）＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，则g'（x）＝3x2﹣6x＝0⇒x＝0或2．x（﹣∞，0）0（0，2）2（2，+∞）g'（x）正0负0正g（x）↗极大值↘极小值↗现对a分类讨论，当a≥2，有t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a为严格增函数，因为g（a）＝0，所以此时M（a）＝[0，+∞）⊆[﹣4，+∞）符合条件；当0≤a＜2时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a先增后减，tmin=g(2)=−a因为﹣a3+3a2＝a2（3﹣a）≥0（a＝0取等号），所以tmin则此时M（a）＝[﹣a3+3a2﹣4，+∞）⊆[﹣4，+∞）也符合条件；当a＜0时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a，在[a，0）严格增，在[0，2]严格减，在[2，+∞）严格增，tmin因为h（a）＝﹣a3+3a2﹣4，当a＜0时，h'（a）＝﹣3a2+6a＞0，则h（a）＞h（0）＝﹣4，则此时M（a）＝[tmin，+∞）⊆[﹣4，+∞）成立；综上可知，对于任意a∈R，都有M（a）⊆[﹣4，+∞]，且存在a＝0，使得﹣4∈M（a）．（3）证明：必要性：若f（x）为偶函数，则M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，当x≥﹣c，t＝f（x）﹣f（﹣c）＝f（﹣x）﹣f（c），因为﹣x≤c，故M（﹣c）＝L（c）；充分性：若对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c），其中M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，因为f（x）有最小值，不妨设f（a）＝fmin＝m，由于c任意，令