1.3 证明第2课时 三角形内角和定理及推论 浙教版数学八年级上册课件

第1章三角形的初步知识1.3证明第2课时三角形内角和定理及推论证明三角形内角和定理，掌握它的推论，并能运用这些定理解决简单的问题；经历探索与证明的过程，进一步发展推理论证能力；学习目标在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力.我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗？命题：三角形的内角和是180°.探究一

实验1：如下图，先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图2），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果。ACBBAC图2图1BABAC图3图4C

这只是实验得出的结论，不能当作定理，只有经过严格的几何证明，得出命题的正确性，才能作为几何定理，今后，在几何里，常采用这种方法得到新知识.ABC在证明三角形内角和时，甲同学的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线DE//BC（如图），他的想法可行吗？DE这里的DE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.验证结论证明：过点A作DE∥BC，则∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE＝∠DAE＝180º（平角的定义）.作辅助线还有没有其他的添线方法呢？实验2：将纸片三角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.322这种方法可以通过怎样在原三角形中添线证明？2DBCA1E已知：如图，△ABC.求证：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°分析：延长BC到D，过点C作射线CE∥AB，这相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.验证结论证明:

作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等），∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等），∵∠1+∠2+∠ACB＝180°,∴∠Ａ+∠Ｂ+∠ACB＝180°（等量代换）.作辅助线三角形内角和定理三角形的内角和等于180°.

这两种添线依据都是通过平行线的性质，利用内错角或同位角将三角形三个内角转化为一个平角进行证明的，你还有别的方法吗？BCA1E这样添线的依据是什么？尝试证明.方法总结证明几何命题的格式(1)按题意画出图形；(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；(3)在“证明”中写出推理过程．巩固练习证明命题“两条平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”是真命题.已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EH、FG分别平分∠BEI、∠DFE.求证：EH∥FG.ABCDEFGHI12证明：∵直线AB∥CD（已知），∴∠BEI=∠DFE（两直线平行，同位角相等），又∵EH、FG分别平分∠BEI、∠DFE，∴∠1=∠BEI，∠2=∠DFE（角平分线的定义），∴∠1=∠2（等量代换），∴EH∥FG（同位角相等，两直线平行）.ABCDEFGHI12练习1、如图，△ABC中，∠A=60°，∠B∶∠C=1:5，则∠B=___.分析：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和定理），∴∠B+∠C=180°-∠A=120°，又∵∠B∶∠C=1:5，∴∠B=20°.BCA巩固练习20°练习2、如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，那么∠EDF=____.解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和定理），∴∠A=180°-∠B-∠C

=70°，又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠AED=∠DFA=90°，∴∠EDF=110°.110°BAC111ABC探究二ABC观察∠1在各图中的位置，它们有什么共同特征？1、∠1的顶点在三角形的一个顶点上；2、∠1和三角形共用一条边；3、∠1的另一条边是三角形的某条边的延长线....△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.如右图，∠1是△ABC的∠ABC的外角.∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？423BCA1D外角的定义分析：如图，∠1+∠4=180°（平角的定义），∠2+∠3+∠4=180°（三角形内角和定理），∴∠1=∠2+∠3（等量代换）.定理三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.423BCA1D例题讲解例已知：如图，∠B+∠D=∠BCD.求证：AB∥DE.分析：如图，延长BC，交DE于点F.根据平行线的判定定理，只要证明∠B=∠CFD，或∠B+∠BFE=180°，就能证明AB∥DE.ABDECF证明：如图，延长BC，交DE于点F.∵∠B+∠D=∠BCD（已知），又∵∠BCD=∠D+∠CFD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠B+∠D=∠D+∠CFD，∴∠B=∠CFD，∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行）.ABDECF方法总结关于辅助线(1)辅助线是为了证明需要在原图上添画的线；(2)添加辅助线的过程需要写入证明中，通常画成虚线；(3)添加辅助线，可构造新图形，其作用是把分散的条件集中，把隐含条件凸显出来，起牵线搭桥的作用.1、已知，如图，AD是△ABC的高.求证：∠B+∠BAD=∠C＋∠CAD.BCAD分析：如图，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和定理，得出∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADB=∠C＋∠CAD,题目即可得证明.课内练习证明：由题意可得，

∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADB=∠C＋∠CAD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）,又∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=∠C＋∠CAD.（等量代换）2、星期天，小明见爸爸愁眉苦脸地在看一张图纸，他便悄悄地来到爸爸身边，想看爸爸为什么犯愁．爸爸见到他，高兴地对他说：“来帮我一个忙，你看这是一个四边形零件的平面图，它要求∠BDC等于140°才算合格．”小明通过测量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下结论说此零件不合格.于是爸爸让小明解释这是为什么？小明很轻松地说出了原因，并用如下的两种方法解出此题．请你代小明分别说出不合格的理由．①如图(1)，连结AD并延长；②如图(2)，延长CD交AB于E.分析：直接利用各个三角形中的外角和等于与它不相邻的两个内角和求解．解：(1)∠BDC＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B＋∠C＝90°＋19°＋40°＝149°≠140°，故不合格；(2)∠BDC＝∠1＋∠B＝∠A＋∠C＋∠B＝149°≠140°，故不合格．(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．(2)三角形的内角和是180°.求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．规律总结3、证明命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°”是真命题.已知：如图，△ABC的三个内角分别为∠1、∠2、∠3，相对应的外角为∠4、∠5、∠6.求证：∠4+∠5+∠6=360°.BCA123456证明：∵∠1、∠2、∠3是△ABC的三个内角，∴∠1+∠2+∠3=180°（三角形内角和定理）,又∵∠4=∠2+∠3，∠5=∠1+∠3，∠6=∠1+∠2（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠4+∠