专题08 有理数的乘法（原卷版）-2024小升初数学暑假衔接讲义

专题08.有理数的乘法1.理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算；2.理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数；3.掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算；4.在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便；5.初步体会“分类”与“归纳”的数学思想，培养严谨的科学态度。题型探究题型1、有理数乘法法则的辨析 ⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）。例1．（22-24七年级上·山西朔州·期中）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．逆用乘法分配律解题我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多计算：(1)；(2)；（3）．例2．（2023秋·云南红河·七年级统考期末）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（

）A．B．C．D．例3．（2023·广东·七年级校考期中）用简便方法计算：(1)(2)(3)(4)变式1．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）给下面的计算过程标明理由：（

）（

）（

）变式2．（2023·浙江年级期中）计算：(1)(2)(3)变式3．（2023·江苏七年级期中）利用运算律做较简便的计算：(1)；(2)；(3)．题型5、有理数乘法的实际应用【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。例1．（2024·北京平谷·一模）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示：阶段准备阶段中期制作阶段扫尾阶段工序所需时间/分钟加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元不能缩短在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是元．例2．（23-24七年级上·黑龙江·阶段练习）萧红中学九年级12支班级篮球队预计在三月份举行校级篮球友谊赛，球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为场．变式1．（23-24七年级上·广东韶关·期中）如图，一玻璃柜的主视图形状是长（）1.5米、宽（）1米的矩形，现在需要在木框架间嵌入玻璃，已知木框架宽为，则需要的玻璃总面积为平方米．变式2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务．如何规划游玩路线？素材1温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算）．如：桐岭站到动车南站共，收费元．部分站点距离见下图（单位：）素材2一名成年乘客可免费携带一名身高不足米（含米）的儿童乘车．素材3小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高米）、弟弟（身高米）、爸爸、妈妈．问题解决分析规划任务1从新桥站到桐岭站为______，单人单程乘坐需车费______元．任务2小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要多少车费．确定方案任务3小明一家从新桥站出发，计划共用元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．题型6、有理数乘法的新定义问题【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.例1.（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）规定，则的值等于（

）A．5 B． C． D．或例2．（2023秋·湖南娄底·七年级校联考期末）若定义一种新运算，规定，则________．变式1．（2023秋·重庆万州·七年级统考期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（

）．A． B． C． D．变式2．（2023·浙江七年级校考期中）小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数和，规定．小尚同学尝试计算，现在请小志同学计算___．变式3．（2022秋·浙江湖州·七年级校联考阶段练习）记符号表示不超过x的最大整数，如，，．(1)分别写出和的值；(2)计算：．题型7、倒数的概念与运用【解题技巧】倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数．（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．例1．（2023·山东滨州·模拟预测）2023年5月24日全球贸易投资促进峰会在北京举行，本次峰会主题为“坚定信心合作共赢，共建开放型世界经济”，那么2023的相反数的倒数是（）A． B． C． D．2023例2．（22-23七年级上·福建厦门·期中）如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数，下列举例能说明这种说法错误的是（）A． B． C． D．例3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列语句说法正确的个数是（

）（1）几个数相乘，积的符号与负因数的个数有关，当负因数为奇数个时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正．（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数．（3）加上一个数等于减去这个数的相反数．（4）如果a大于b，那么a的倒数大于b的倒数．（5）一个数大于另一个数的绝对值，则这个数一定是正数A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式1．（2023七年级上·成都·专题练习）做一做：①5的倒数是；

②的倒数是；③的倒数是；

④的倒数是；⑤的倒数是；

⑥的倒数是．变式2．（2022秋·山东七年级期中）下列说法正确的是（

）A．两个正数互为倒数，其中一个数必大于1B．一个假分数的倒数一定小于本身C．如果一个数的倒数是它本身，那么这个数一定是1D．如果两个数互为倒数，那么它们的积一定是1变式3．（2023·河北沧州·校考三模）若，则下列说法正确的是（

）A．与互为倒数 B．与互为相反数 C．与相等 D．与相等A组（能力提升）1．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）关于有理数，下列说法不正确的是（

）A．若，那么必有B．一个有理数和它的相反数的乘积必为负数C．任何一个有理数同0相加的和等于这个数同1相乘的积D．如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么它们符号相反，且正数的绝对值大2．（2023秋·广东深圳·七年级统考期末）若，则（

）0A．> B．< C．= D．≥3．（2023春·福建福州·九年级校考期中）对于一个实数，如果它的倒数不存在，那么等于（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江金华·七年级校考期中）若，则的值可表示为（

）A． B． C． D．5．（2023秋·湖南张家界·七年级统考期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2020次输出的结果是（）A．﹣1 B．3 C．6 D．86．（2023·山东七年级期中）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论一定成立的是（）A．B．C．D．7.（2023·重庆市·七年级期中）下列计算中错误的是（）A．B．C．D．8．（23-24七年级上·宁夏·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是．9．（23-24七年级上·福建厦门·期中）用乘法分配律进行简便运算：（只需写出接下来的一步，不必算出答案）．10．（2023·山西吕梁·七年级期中）有理数的乘法运算，除了用乘法口诀外，现有一种“划线法”：如图1，表示的乘法算式是12×23=276；图2表示的是123×24=2952．则图3表示的乘法算式是___．11．（2023·浙江·七年级校考期中）定义新运算“*”为：，则当时，计算的结果为_____．12．（23-24七年级上·山东·课堂例题）运用运算律进行简便计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．13．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如图1，2023年12月8日，某校为纪念一二·九运动，组织全校学生在学校操场进行米接力赛，该校操场一圈是米．比赛分年级进行，以班级为单位，每个班级选出男女各5名学生参加比赛，平均每人持棒跑米．首先，我们需要了解一下交接棒的规则．如图2，在《田径规则》中规定，接力比赛中，交接棒必须在米的接力区内完成．在这个区域内完成交接棒，可以确保交接棒的双方都有足够的时间和空间来准备和完成交接棒．因为该校操场一圈是米，每人平均跑米，故安排两个接力区，第一棒运动员从起点到第一接力区中心线的里程是米．第一接力区与第二接力区中心线间里程也是米．以米为基准，其中实际持棒里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了七年1班名运动员中部分人的里程波动值．棒次123456789里程波动值28(1)第1棒运动员的实际里程为__________米；(2)若第4棒运动员的实际里程为米．①第4棒运动员的里程波动值为__________；②求第7棒运动员的实际里程．B组（培优拓展）1．（2024·河北沧州·二模）下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（

）

①

②

③A．解题运用了乘法交换律B．从①步开始出错C．从②步开始出错D．从③步开始出错2．（22-23七年级上·广州·月考）在小数的乘法中，一个因数的小数点向左移动一位，另一个因数的小数点向右移动两位，则积变为原来的（）A． B．倍 C．倍 D．3．（2023·江苏宿迁·七年级统考期中）已知四个互不相等的整数a、b、c、d的乘积等于14，则它们的和等于（

）A． B．5 C．9 D．5或4．（2023·成都市·七年级期中）用表示，例1995！=，那么的个位数字是_____________．5．（2024·浙江·七年级校联考期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为________，该图表示的乘积结果为_________．6．（2023·江苏·七年级校考期中）在数、1、、5、中任取两个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______；任取三个数相乘，其中最大的积是______，最小的积是______．7．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）已知算式“”．(1)嘉嘉将数字“5”抄错了，所得结果为，则嘉嘉把“5”错写成了________；(2)淇淇不小心把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？8.（2023·江苏七年级期中）计算下列各式：（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）；（2）×（﹣2.4）×；（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；（4）9×15；（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．9．（2023·湖北七年级月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足．（1）_________；