重庆市忠县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

忠县2024年春八年级期末学业水平监测数学试题（本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有-个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.下列二次根式中，为最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了最简二次根式的定义，判断一个根式是最简二次根式，必须满足两个条件：①被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数；②被开方数不含有分母．根据最简二次根式的定义判断即可．解：A、不是最简二次根式，不符合题意；B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；C、是最简二次根式，符合题意；D、，被开方数含能开方的式子，不是最简二次根式，不符合题意．故选：C．2.下面能作为直角三角形三边长的是（）A.2，， B.，，5 C.9，8，6 D.，1，1【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．利用勾股定理的逆定理判断作答即可．解：A中，不能作为直角三角形三边长，故不符合要求；B中，不能作为直角三角形三边长，故不符合要求；C中，不能作为直角三角形三边长，故不符合要求；D中，能作为直角三角形三边长，故符合要求；故选：D．3.在统计学中，不是刻画数据集中趋势的量是（）A.平均数 B.最小值 C.中位数 D.众数【答案】B【解析】【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的特征量，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，极差是数据中最大值与最小值的差，方差与极差都是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数．根据中位数、众数、平均数和最小值的意义进行判断．解：数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，最小值是衡量偏离其平均数的大小的特征数，不是刻画数据集中趋势的量．故选：B．4.我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以现在初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”那么要把变成“矩形”，需要增加的条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断即可．解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴当时，变成“矩形”，故选：A．5.已知，，估计的值应在（）A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间【答案】B【解析】【分析】本题考查二次根式混合运算，估算无理数大小，熟练掌握二次根式混合运算法则与估算无理数大小大小的方法是解题的关键．根据二次根式混合运算的方法求出的值，再估算无理数的大小即可．解：∵，，∴，∵∴∴故选：B．6.若一次函数的y值随x的增大而减小，则该函数图象可能过点（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数的增减性可得，再分别把四个选项中的点的坐标代入解析式中求出k的值，看是否小于0即可．解：∵一次函数的y值随x的增大而减小，∴，A．把代入中得，解得，故A不符合题意；B．把代入中得，解得，故B不符合题意；C．把代入中得，这与事实矛盾，故C不符合题意；D．把代入中得，解得，故D符合题意；故选：D．7.在如图所示的中，点E、F在边上，、分别平分、，若，，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义等知识点，由题意推出、是解题关键．解：∵平分∴∵∴∴∴同理可得：∵，∴故选：C8.在中，已知，，，某同学用直尺和圆规先确定了三角形顶点A、C，在用长确定顶点B时，作出了如图所示的两个B点，那么这两个B点之间的长度为（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，过点C作于点D，过点C作于点D，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可．解：过点C作于点D，如图所示：则，∵，∴，在中，根据勾股定理得：，∵，，∴，∴．故选：A．9.一次函数图象分别与x、y轴交于如图所示点A、B，点B关于直线的对称点为，若点C在第一象限，，点恰好落在x轴上，则点C的坐标为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中点，连接，过点C作轴于点E，根据一次函数解析式求出，，根据勾股定理求出，证明为等边三角形，得出，根据轴对称得出，，求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可得出答案．解：取的中点，连接，过点C作轴于点E，如图所示：则，把代入得：，则，把代入得：，解得：，则，∴，∵为直角三角形，为的中点，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵点B关于直线的对称点为，∴，，∴，∴，∴，∴，∴点C的坐标为，故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数几何综合，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．10.如图，点为大小是角的顶点，的两边分别与正方形的另两边交于点．对于下面说法：①；②、分别是、的角平分线；③当时，的面积最小其中正确说法的个数为（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】将绕点逆时针旋转得到，证明得出，，，即可判断①；由三角形内角和定理结合三角形外角的定义及性质即可判断②；根据得出当的值最小时，的面积最小，设，，则，当且仅当时，等号成立，此时最小，即最小，推出当时，的面积最小，证明，即判断③．解：如图，将绕点逆时针旋转得到，，∵四边形正方形，∴，，由旋转的性质可得：，，，，，，∴，∴点、、在同一直线上，∵，∴，∵，∴，∴，，，∴、分别是、的角平分线，故②正确；∵，∴，∵，∴，由得：，∴，故①正确；由可得：，∵的长固定不变，为正方形的边长，∴当的值最小时，的面积最小，设，，则，当且仅当时，等号成立，此时最小，即最小，∴当时，的面积最小，∵，，∴，∴，，∴，∴当时，的面积最小，故③正确；综上所述，正确的有①②③，共个，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理、角平分线的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.若二次根式有意义，则x的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．解：由题可知，，解得．故答案为：．12.在中，若，则______．【答案】##76度【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，进行计算求出，再根据邻角互补求出结果即可．解：∵四边形为平行四边形，∴，，∵，∴，∵，∴．13.一组数据4，2，2，3，4的方差为______．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了方差的计算公式，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式．一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差；根据方差的计算公式进行计算即可．解：数据4，2，2，3，4的平均数为：，数据4，2，2，3，4的方差为：．故答案为：．14.将直线向右平移2个单位，再向下平移4个单位后，所得的直线的解析式为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解．解：由题意得：平移后所得直线的解析式为：故答案为：15.若矩形中的两边长分别为，则矩形较小边上的任意一点到矩形两对角线的距离之和为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．如图，作于，于，连接，则即为所求；由勾股定理得，，由矩形，可得，，根据，计算求解即可．解：如图，由题意知，，作于，于，连接，则即为所求；由勾股定理得，，∵矩形，∴，，∵，∴，解得，，故答案为：．16.把一张矩形纸片沿着它的两条对称轴对折后成如图所示的图形，然后沿虚线剪下图①这“只角”，为了使得图①的展开图有一个内角为的菱形，若，则______．【答案】##48度【解析】【分析】本题考查了菱形的性质：对角线平分一组对角，由题意得是解题关键．解：如图所示：∵，∴由题意得：∴故答案为：17.已知一次函数图形不经过第四象限，且关于x的不等式组至少有2个整数解，则所有满足条件的非零整数a值之积为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一元一次不等式组的整数解，根据一次函数图象与系数的关系及不等式组整数解的个数，找出a的取值范围是解题的关键．由一次函数图象不经过第四象限，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由关于x的不等式组至少有2个整数解，即可求出a的取值范围，进而可确定a的取值范围，再将其内的整数值相乘即可得出结论．解：∵一次函数的图象不经过第四象限，∴，解得：，解不等式组，得：，又∵关于x的不等式组至少有2个整数解，∴，解得：．综上，∴所有满足条件的非零整数a值之积为．故答案为：．18.把由各数位数字都不为0两位数m和三位数n组成的数对称“有效数对”．将m中的任意一数位数字作为新两位数的十位数字，将n中的任意一数位数字作为新两位数的个位数字，按照这种方式生成的所有新两位数之和记为，例：，则______；设“有效数对”满足两位数，三位数（其中，，且x，y均为整数），交换m的十位数字和个位数字得到另一两位数s，交换n的百位数字和个位数字得到另一三位数t，如果能被7整除，那么所有符合条件的“有效数对”的之和为______．【答案】①.172②.600【解析】【分析】本题考查了新定义，整式加减运算的应用，根据题干提供的信息，求出即可；先求出，，然后求出，根据，能被7整除，得出能被7整除，求出，，，然后再之和即可．解：；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵能被7整除，∴能被7整除，∵，∴当时，能被7整除，∵，，∴，，，，∵当时，，，不符合题意舍去，∴“有效数对”为：，，，∴，，，∴符合条件的“有效数对”的之和为：．故答案为：172；600．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余各题10分，共78分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上，19计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．（1）根据二次根式混合运算法则，结合绝对值意义进行计算即可；（2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式进行计算即可．【小问1】解：；；【小问2】解：．20.如图，已知，、相交于点O，C是的中点，连接．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）连接交于点F，连接，若，求．【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理是解题的关键．（1）证明，，再由“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论．（2）利用平行线的性质证明是的中位线，再利用中位线的性质即可求解．【小问1】证明：四边形是平行四边形（已知），，且（平行四边形的对边平行且相等）．∵C是的中点，∴，又点在的延长线上，，，四边形为平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；【小问2】解：∵C是的中点，∴四边形是平行四边形∴，即点O是中点，∵四边形为平行四边形∴，即点F是中点，∴是的中位线，∴．21.小明在学习了三角形的中位线定理后，在梯形中，已知，E为中点，小明进一步按如下步骤作图：作线段的垂直平分线，标出线段中点F，连接并延长交线段的延长线于点G，连接．（1）用直尺和圆规，在图中完成小明的作图（只保留作图痕迹）；（2）请进步帮助小明完成证明，将编号处的正确内容填写在答题卡对应位置．证明：∵E是中点，∴______，又∵，∴，在和中，由对顶角相等得______，∴，∴，在中，E为中点，F为中点，∴且，又∵，∴______．所以，连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于___④___．【答案】（1）见解析（2）；②；③；④两底之和的一半【解析】【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识点，掌握相关结论是解题关键．（1）分别以点为圆心，大于为半径画即可完成作图；（2）根据推理过程即可求解；【小问1】解：如图所示：【小问2】证明：∵E是中点，∴，又∵，∴，在和中，由对顶角相等得，∴，∴，在中，E为中点，F为中点，∴且，又∵，∴．所以，连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底之和的一半22.某村有如图所示的一笔直公路，水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方便公路上的人用水，拟从C处铺设水管到公路上．已知米，米，米．（1）求的大小；（2）求铺设水管的最小长度．【答案】（1）（2）96米【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．（1）根据勾股定理逆定理进行判断，得出为直角三角形，得出的大小即可；（2）根据垂线段最短进行求解即可．【小问1】解：∵，，，又∵，∴，∴为直角三角形，；【小问2】解：过点C作于点D，如图所示：∵垂线段最短，∴此时铺设水管的长度最小，∵，∴（米）．答：铺设水管的最小长度为96米．23.为了解游客在石宝寨游览时间情况，把游览时长x（单位：分钟）分为五组：A：，B：，C：，D：，E：．并分“青少年组”和“中老年组”游客各随机调查了相同游客数在石宝寨的游览时长x，再把收集到的数据绘成了如图所示的统计图，已知“青少年组”和“中老年组”的时长众数分别为55、57根据以上信息，回答下列问题：（1）本次共调查了多少人？求扇形统计图中E扇形的圆心角大小；（2）若以组中值代表各组的实际数据，分别求“青少年组”和“中老年组”在石宝寨的平均游览时长；（3）根据以上数据分析，从两组人群的停留时长来看，哪一类人群更喜欢在石宝寨游览？请说明理由（写出一条理出即可）【答案】（1）本次共调查了40人，扇形的圆心角为；（2）“青少年组”和“中老年组”在石宝寨的平均游览时长都为54分钟（3）见解析（答案不唯一）【解析】【分析】此题考查了扇形统计图，条形统计图，读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．（1）求出青少年组人数，即可求出中老年组人数，得出总人数即可；用乘百分比即可；（2）根据平均数计算公式进行计算即可；（3）根据众数、平均数意义，扇形统计图和条形统计图特点进行求解即可．【小问1】解：青少年组共有（人），故中老年组也有20人，本次共调查总人数为：（人），E扇形占，圆心角，答：本次共调查了40人，扇形的圆心角为；【小问2】解：青少年组平均游览时长，中老年组平均游览时长，答：青少年组和中老年组在石宝寨的平均游览时长都为54分钟；【小问3】答：中老年组更喜欢在石宝寨游览．因为“中老年组”的时长众数57大于“青少年组”的时长众数．24.如图，设是边长为6个单位长度的等边三角形，动点E、F同时从点A出发，点E在边上运动到B后折返，点F在边上运动到C后折返，折返时间忽略．已知动点E、F在折返前都是每秒1个单位长度运动，折返后都是每秒2个单位长度运动，当返回到点A时运动停止．设运动时间为x秒，点E、F之间的距离为y．（1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；（2）在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E、F的距离超过4个单位长度时x的取值范围．【答案】（1）（2）图象见解析，当时，该函数有最大值，最大值为；（3）【解析】【分析】本题考查了函数在几何中的应用，涉及了等边三角形的性质，抓住是等边三角形是解题关键．（1）由题意得是等边三角形，分类讨论、两种情况即可求解；（2）根据函数解析式即可描点作图；（3）确定点E、F的距离为4个单位长度时x的取值即可求解；【小问1】解：由题意得：∵∴是等边三角形当时，；当时，；∴【小问2】解：如图所示：当时，该函数有最大值，最大值为；【小问3】解：由图可知：当或时，点E、F的距离为4个单位长度故：当时，点E、F的距离超过4个单位长度25.如图，设直线，直线．已知与x轴交于点A；与x轴交于点C与y轴交于点B，与直线交于点．（1）求直线、的解析式；（2）求的面积；（3）直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）直线的解析式为；直线的解析式为（2）（3）存在，点P的坐标为或【解析】【分析】本题考查求一次函数解析式，坐标与图形，直线与坐标轴围成的三角形面积．熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式和三角形面积公式是解题的关键．（1）把分别代入和，求出k值即可；（2）先求出A、C坐标，再根据三角形面积公式求解即可；（3）分两和情况：①当点P在射线上时，，②当点P在射线上时，分别求解即可．【小问1】解：把分别代入和，得，解得：，∴直线的解析式为：，直线的解析式为：．【小问2】解：对于直线的解析式为；令，则，解得：