高考数学二轮复习 考前六 解析几何 第1讲 直线与圆讲学案 理-人教版高三全册数学学案

第1讲直线与圆

_考情考向分析--------------------------------1

考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦

长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.

r

11热点分类突破

热点一直线的方程及应用

1.两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线心的斜率左存在，则4〃心=4=左，4，心=%在=—1.若给

出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.

2.求直线方程

要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距

式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.

3.两个距离公式

(1)两平行直线Ax~\~By~\~=0»

Ir_I

7z：Ax-\-By+Ci=Q间的距离.

IAxo-\~Byo-\-C\

⑵点(x。，㈤到直线，：4r+6y+C=0的距离公式d=(1+4#0).

例1(1)(2017届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学联考)“a=2”是“直线ax

+y—2=0与直线2x+(a—l)y+4=0平行”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由ax+y—2=0与直线2x+Q—1)y+4=0平行，得a(a—1)=2,/.a=—1,a=

2.经检验当a=—1时，两直线重合(舍去)....“a=2”是“直线ax+y—2=0与直线2x+

(a—l)y+4=0平行”的充要条件.

(2)(2017届南京、盐城模拟)在平面直角坐标系x&中，直线1："x—y+2=0与直线A：x

+为一2=0相交于点P,则当实数“变化时，点户到直线x—y—4=0的距离的最大值为

答案372

解析由题意，得直线71：kx-y+2=0的斜率为k,且经过点/（0,2）,直线72：x+ky

-2=0的斜率为V，且经过点6（2.°）,且直线/所以点户落在以加为直径的圆C

上，其中圆心坐标为C（l，1）,半径为r=小,

则圆心到直线x—y—4=0的距离为d=

所以点尸到直线x—y—4=0的最大距离为

d+r=2也+由=3巾.

思维升华（1）求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况.

（2）对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究.

跟踪演练1⑴已知直线71：ax+（a+2）y+l=0,72：x+ay+2=0,其中a^R,则"a

=—3”是“ZLA”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析直线乙上心的充要条件是a+（a+2）a=0,

a（a+3）=0,a=0或a=—3.故选A.

⑵己知两点/⑶2）和以一1,4）到直线以x+y+3=0的距离相等，则加的值为（）

-11—

A.0或一1B.］或一6

答案B

|3%+51|一加+7|

解析依题意，得

yjin+1y/m+l'

所以|3勿+51=\m-7\.

所以(3"+5/=应-7)2,

整理得2勿2+11/-6=0.

所以勿=,或勿=—6.

热点二圆的方程及应用

1.圆的标准方程

当圆心为(a,6),半径为r时，其标准方程为(x—a”+(y—6)2=封，特别地，当圆心在原

点时，方程为系+7=/.

2.圆的一般方程

恒亨为半径

3+4+法+0+6=0,其中万十片一4Q0,表示以

的圆.

例2⑴(2017•海口调研)己知圆〃与直线3x—4y=0及3x—4y+10=0都相切，圆心在

直线尸一了一4上，则圆〃的方程为()

A.(x+3)2+(y—1》=1

B.(x—3)2+(y+1)2=1

C.(x+3)2+(y+1)』

D.(X—3)2+(y—1)2=1

答案C

解析到两直线3x—4y=0及3x—4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x—4y+5=0,

3x—4p+5=0,Ix=-3,

联立方程组•解得两平行线之间的距离为2,所以半径为1,

y=­x—4,g—1.

从而圆〃的方程为(x+3)2+(y+l)2=l.故选C.

(2)(2017•百校联盟质检)若圆C过点(0,-1),(0,5),且圆心到直线x—y—2=0的距

离为272，则圆C的标准方程为.

答案3+金一2)2=9或(了-8)2+金一2)2=73

a—2—2

解析由题意可设圆心C(a，2),则^一『~1—2^2=>a=0或a=8,所以半径等于N0+32

或耐+3。即圆C的标准方程为/+(y—2)2=9或(x—8)2+(y-2)2=73.

思维升华解决与圆有关的问题一般有两种方法

(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方

程.

(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

跟踪演练2(1)圆心为(4,0)且与直线/x—y=0相切的圆的方程为()

A.(x—4)z+/=lB.(x—4)?+/=12

C.(^-4)2+y=6D.(x+4)?+/=9

答案B

解析由题意可知，圆的半径为点到直线的距离，

|V3X4-o|r

即片行厂=第'

结合圆心坐标可知，圆的方程为(x—4)2+y=12.

(2)(2016•浙江)已知aGR,方程(a+2)y+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是

，半径是.

答案(一2,-4)5

解析由已知方程表示圆，则南=&+2,

解得a=2或a=-l.

当a=2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.

当a=-1时，原方程为矛2+/+4才+8/一5=0,

化为标准方程为5+2)2+(y+4)2=25,

表示以(一2,—4)为圆心，5为半径的圆.

热点三直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法.

(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为&圆的半径为r,则火直线与圆相交，d=r=

直线与圆相切，沸直线与圆相离.

⑵判别式法：设圆C：(x—a)?+(y—6)2=/,直线h4r+分+C=0,方程组

Ax-\~By-\-C—Q,

消去y,得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为/,则直线

(x—af+(y—bf=r

与圆相离=/〈0,直线与圆相切。4=0,直线与圆相交=4>0.

2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.

设圆G：(jr-Si)2+(y—Z)i)2=n,圆C：(x—勿)2+(y—友两圆心之间的距离为d,

则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：

(1)力_n+_n=两圆外离.

(2)d=ri+_no两圆外切.

⑶|_n—△2|<""1+勿=两圆相交.

(4)d=|n—r21CnW_n)=两圆内切.

(5)0WK|_n一(_nW_n)o两圆内含.

例3（1）（2017，保定模拟）若直线才+/=0与圆/+（了一3）2=1相切，则a的值为（）

A.1B.±1

C.@D.土镜

答案D

解析圆x?+（y—a）2=l的圆心坐标为（0,a）,半径为1,

因为直线x+y=0与圆/+（y—a）2=1相切，

lai

所以圆心（0，a）到直线的距离d=r,即一厂=1,解得a=土第，故选D.

（2）（2017•银川模拟）已知圆G：/+/=4,圆C：?+/+6x—8y+16=0,则圆&和圆C

的位置关系是（）

A.相离B.外切

C.相交D.内切

答案B

解析化圆G的方程为（矛+3）'+（y—4）2=9,则圆。与0的圆心距为■\/?^不=5=7'1+勿，

所以圆G和圆G外切，故选B.

思维升华（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何

性质寻找解题途径，减少运算量.

（2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直

线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距

离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.

跟踪演练3⑴（2017•深圳调研）直线/："x+y+4=0（AeR）是圆a/+/+4^-4y+6

=0的一条对称轴，过点/（0,A）作斜率为1的直线m,则直线0被圆。所截得的弦长为

（）

A.当B.^2

C.乖D.2m

答案C

解析由hAx+p+4=0(>£R)是圆QV+/+4x—4升6=0的一条对称轴知，直线1

必过圆心(一2,2),因此A=3.则过点Z(0,k),斜率为1的直线力的方程为尸x+3,圆

心到直线的距离d=-忑一彳，所以弦长等于R7二7=272〒#,故选C.

(2)(2017•西宁复习检测)如果圆(x—a)2+(y—a)2=8上总存在到原点的距离为明的点，

则实数a的取值范围是()

A.(-3,—1)U(1,3)B.(—3,3)

C.[―1,1]D.[—3,-1]U[1,3】

答案D

解析圆心Q，切到原点的距离为|镜a|,半径r=2木,圆上的点到原点的距离为d.因

为圆(x—a)2+(y—a)2=8上总存在点S原点的距^为镜，则圆(^―a)2+(y—a)2=8与圆殳

+/=2有公共点，r'=^/2,.\r-r'/,即1W|)W3,解得

或一—1,所以实数a的取值范围是[-3,—1]U[1,3】，

故选D.

真题押题精练

真题体验

1.(2016•山东改编)已知圆M-.f+产-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是

2书,则圆〃与圆及5—1尸+5—1T=1的位置关系是.

答案相交

解析圆屈/+(y—a)2=a,

...圆心坐标为〃(0,a),半径—为a,

a\

圆心〃到直线x+y—Q的距离

由几何知识得+(淄)2=/，解得a=2.

2),4=2.

又圆N的圆心坐标为Ml,1)，半径12=1,

/.|MN\=^/(1-0)2+(1-2)2=^2.

又方+々=3,n—12=1,

.\ri-r2<|W|V_n+勿，，两圆相交.

2.（2016,上海）已知平行直线7i：2x+y—1=0,k：2x+y+1=0,则Z,h的距禺是一

2A/5

答案管

3.（2016•全国I）设直线y=x+2乃与圆G3+/—2孙—2=0相交于8两点，若|阴

=2小,则圆。的面积为—

答案4n

解析圆C：x+y—2ay-2—0,即C：x+(y-a)2—a2+2,圆心为C(0,a),。到直线y

I0—a+2zI㈤=

=x+2a的距离d=,.又由AB\2y^3,

所以圆的面积为Ji（a2+2）=4Ji.

押题预测

1.已知圆C关于y轴对称，经过点（1,0）且被x轴分成的两段弧长比为1：2,则圆C的方

程为

D.x(土乎3

押题依据直线和圆的方程是高考的必考点，经常以选择题、填空题的形式出现，利用几何

法求圆的方程也是数形结合思想的应用.

答案C

2Ji

解析由已知得圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对的圆心角为亍.设圆心坐标为（0,a）,

半径为r,

,JIrcos\a\,解得片录

则_rsin-=1

O

故圆。的方程为步+"土书2=]

2.设出〃为正实数，若直线E+l)x+(〃+l)y—4=0与圆3+/—4x—4y+4=0相切，

则mn()

A.有最小值1+镜，无最大值

B.有最小值3+2m，无最大值

C.有最大值3+2小，无最小值

D.有最小值3—2镜，最大值3+2小

押题依据直线与圆的位置关系是高考命题的热点,本题与基本不等式结合考查，灵活新颖,

加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大.

答案B

解析由直线(加+l)x+(〃+l)y—4=0与圆(x—2尸+(y—2尸=4相切，可得

2\m~\-n\

2,整理得/+〃+1=顺由处〃为正实数可知令嬴,

则21+1W巴因为00,所以镜，所以腿》3+241故初有最小值3+2乖，无最

大值.故选B.

3.若圆x+/=4与圆x'+y+ax+Zay—9=0(a>0)相交，公共弦的长为2小,则a=

押题依据本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路.

答案手

+y=4,

解析联立两圆方程2b9=。,

可得公共弦所在直线方程为ax+2ay—5=0,

故圆心(0,0)到直线石才+2”一5=0的距离为

5

解得4=5，

因为a〉0,所以a=平.

ET专题强化练-----------------------

A组专题通关

1.（2017•河南省郑州市第一中学调研）点（/，4）在直线1：ax—y+1=0上，则直线/

的倾斜角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.120°

答案C

解析将点（镉，4）代入直线方程，求得a=而,所以直线Z/x—y+l=0,斜率孑=

小,所以倾斜角为60。，故选C.

3Jixv

2.（2017届吉林大学附属中学模拟）若丁〈。〈2口，则直线------+一一=1必不经过

2cosasina

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

解析令x=0,得了=$1.11a<0,令y=0,得x=cosa>0,直线过（0,sina）,（cosa,

0）两点，因而直线不过第二象限.故选B.

3.直线/与两条直线y=l,x—y—7=0分别交于20两点，线段产。的中点坐标为（1,—

1）,那么直线/的斜率是（）

答案C

解析设户(a,1),Q(b,b—7),

'a~\~b

=1,

2

所以〈

l+b-7

1,

2

f<3——2,

解得4所以尸(一2,1),0(4,-3),

[z6=4,

所以直线1的斜率4=1—故选c.

一乙-4o

4.(2017•湖北省六校联合体联考)过点?(1,2)的直线与圆/+/=1相切，且与直线ax

+了—1=0垂直，则实数a的值为()

4

A.0B.——

o

、44

C.0或

答案C

解析当石=0时，直线ax+p—l=0,即直线y=l,此时过点尸(1，2)且与直线尸1垂直

的直线为x=l,而x=l与圆相切，满足题意，所以己=0成立；当dWO时，过点尸(1,2)

且与直线ax+y—1=0垂直的直线斜率为士可设该直线方程为y—2=1(x—1),即x—ay

aa

I2a—1I4

+2a—1=0,再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1,可得=1，解得4=鼻.

"+13

,4

所以a=0或勺.故选C.

5.(2017•广西陆川县中学知识竞赛)已知圆G：f+/一2x—4y—4=0与圆C：V+/+4x

—10y+25=0相交于46两点，则线段46的垂直平分线的方程为()

A.x-\-y—3=0B.x—y+3=0

C.x+3y—1=0D.3x—y+l=O

答案A

解析由题设可知，线段Z6的垂直平分线过两圆的圆心G(l,2),C(—2,5),由此可得AGG

5—9

=FX=-1,故由点斜式方程可得p—2=—(x—1),即x+y—3=0,故选A.

6.(2017届唐山模拟)在平面直角坐标系x@中，圆。的方程为丫?+/=4,直线/的方程为

y=«(x+2),若在圆。上至少存在三点到直线，的距离为1,则实数4的取值范围是()

答案B

解析根据直线与圆的位置关系可知，若圆0:/+/=4上至少存在三点到直线1:y=

“（x+2）的距离为1,则圆心（0,0）到直线"x—y+2—O的距离，应满足痣1,即

A/A+1

W1,解得"W，即一半WZ当,故选B.

7.（2017•武汉调研）已知圆C；（x—1）2+5—4）2=10和点〃（5,下），若圆。上存在两点4

B,使得MALMB,则实数力的取值范围为（

A.[-2,6]B.3,5]

C.[2,6]D.[3,5]

答案C

解析过点〃作圆的两条切线，切点分别为4B,连接4GBC,孙若圆。上存在两点A,

V10

B,使得扬_LA®,只需/®心45°,sin//加'=^29解得2W2W6,故

^(5—l)2+(t-4)2

选C.

3x+yT=0,

8.（2017届上海市黄浦区模拟）若关于x,y的方程组，有无数多组解，则

4x+到一2=0

不合题忌;

ai一1

当aWO时,由彳=一=-解得a=2.

4a一2

综上可知，a=2.

9.（2017届安徽省马鞍山市质检）已知/（0,0）,B（2,-4）,C（4,2）,线段是△/8C

外接圆的直径，则点D的坐标是.

答案（6,-2）

解析设，(X,y),因为夙2,-4),C(4,2)在圆周上且四是△/及:外接圆的直径，所

——4——4——V22——V

以后=—1=〒义至二；‘公•局=—1=^义二？解得x=6,y=-2,所以点。的

坐标是(6,-2).

10.以坐标原点。为圆心，且与直线x+y+2=0相切的圆的方程是,圆

。与圆x+y—2y—3=0的位置关系是

答案/+/=2相交

9

解析由题意所求圆的半径等于原点。到直线x+y+2=0的距离，即r^~r==y[2,则

y1+1

所求圆的方程是x+y=2.因为圆。与圆/+/—2y—3=0的圆心和半径分别为。(0,0),n

=/,G(0,1),r2=2,ri+r2=2+y[2f乃一斗=2—隹，所以连一n〈|阳|=1<­+々，故

两圆的位置关系是相交.

11.(2017届四川省绵阳市诊断性考试)过定点〃的直线：取一y+1—2A=0与圆(才+1尸+

(p—5产=9相切于点儿贝(]|削=.

答案4

解析由直线取一夕+1—24=0,即p—l=4(x—2),

直线经过定点欣2,1).又圆(x+lV+Cr—5尸=9,

则圆心坐标为C(—1,5),半径r=3,

所以I如I=4(2+1『+(1—5)2:5,

所以|MN\IMC\2—r2=^/52—32=4.

12.设圆。满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③

圆心到直线1:x—2y=0的距离为d.当"最小时，圆。的面积为

答案2JI

解析如图，设圆心坐标为。(劣b),

r=a-\-\,

则II=27?2=才+1,

r=y[r2|b\

所以圆心C（a,b）到直线x—2p=0的距离

|a—2b|

d=­j=—,

故J）=.（才+44—4助）.

55

由于a—2才一29，

故d=~(a2+4Z?2—4a6)

*（2N一一）=5当且仅当aj时取等号）,

此时产=才+1=2,故圆的面积S=兀/=2兀.

B组能力提高

13.（2017•广州市综合测试）已知三条直线2x—3y+l=0,4x+3y+5=0,酸-y—1=0

不能构成三角形，则实数m的取值集合为（）

4242

3,3『-3

424422

于73J-3,3

答案D

解析因为三条直线2x—3y+l=0,4x+3p+5=0,%—y—1=0不能构成三角形，所以直

线%x—y—l=0与2x—3p+l=0,4x+3y+5=0平行，或者直线以x—p—l=0过2x—3p+

1=0与4x+3y+5=0的交点.当直线3一p—1=0与2x—3p+l=0,4x+3y+5=0分另U

24

平行时，"=勺或一］当直线%x一夕-1=0过2x—3p+l=0与4