人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：4. 3. 2 对数的运算

4.3.2对数的运算

【学习目标】I.掌握积、商、幕的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式

及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点一对数的运算性质

如果a>0,且aWl,M>0,N>Q,那么

(Dlogfl(M-M=logaM+logflM

M

⑵b&讨=loqM—logJV.

(3)logJvr=nlog“M(weR).

Yl

n

拓展：loga„,M=—log„M(neR,

思考当M>0,N>0时，logfl(M+N)=logflAf+\ogaN,log“(AW)=log“跖log“N是否成立？

『答案』不一定.

知识点二换底公式

1.log〃b=：0=%>0,且aWl；c>0,且cWl；b>0).

lOgc”

2.对数换底公式的重要推论

(1)logqNJ]ogN〃(N>0,且NW1；ci>Of且〃W1).

(2)log。”bn=]og滴(〃>0,且aW1,/?>0).

(3)logflZ?4og/,c4og(?6?=log6Z6?(^>0,b>0,c>0,d>0,且oNl,b7l,cWl).

思考换底公式中底数。是特定数还是任意数？

『答案』是大于0且不等于1的任意数.

预习小测自我检验

1.Iog84+log82=.

『答案』1

『解析』logs4+logs2=logs8=1.

2.log510—log52=.

『答案』1

『解析』log510—log52=log55=1.

3.(l)lgVTo=;

e

(2)已知ln«=0.2,则ln_=.

『答案』(1)1(2)0.8

__L1

『解析』IgVio=lglO2=2;

法=lne—ln〃=1-0.2=0.8.

a

12gg£=

log23------------■

『答案』2

『解析』器l=l°g39=Z

题型探究探究重点提升素养

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一、对数运算性质的应用

例1计算下列各式的值：

(I)(lg5)2+21g2-(lg2)2；

lg3+碧9+^lgV27-lgV3

⑵Ig81-lg27；

7

(3)log535—21og5^+logs7—logs1.8.

解(1)原式=(lg5)2+(2—Ig2)lg2

=(lg5)2+(l+lg5)lg2

=(lg5)2+lg2-lg5+lg2

=(lg5+lg2)-lg5+lg2

=lg5+lg2=l.

491

Ig3+,lg3+mIg3-]lg3

(2)原式二41g3-31g3

1+t+

11

(4-3)lg3T-

9

(3)原式=log5(5X7)—2(log57—Iog53)+log57—logsq

=log55+log57—210g57+210g53+log57—21og53+log55

=21og55=2.

反思感悟对数式化简与求值的基本原则和方法

(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简,

取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.

(2)两种常用的方法：①"收"，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②"拆"，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).

跟踪训练1计算下列各式的值：

(1中

2

(2)lg25+鸿8+lg5Xlg20+(lg2)2.

解⑴方法一原式451g2—21g7)—'x|lg2+；(21g7+lg5)

=|lg2-lg7-21g2+lg7+|lg5

=|lg2+|lg5=|(lg2+lg5)

=知0弓

方法二

=坨叱ig小3)=igVTb=1.

(2)原式=21g5+21g2+lg5X(21g2+lg5)+(lg2)2

=21gl0+(lg5+lg2)2=2+(lgl0)2=2+l=3.

二、换底公式的应用

例2(1)计算：(Iog43+log83)(log32+log92)；

(2)已知logi89=〃,l*=5,用〃，b表示log3645的值.

解⑴原式=(旨+圜借+圜

—121g2+31g2；\lg3十21g3)-61g2X21g3-4-

6

(2)方法一Vlogi89=a,18=5,/.logi85=/j.

TBlogi84510gl8(9X5)

于正log3645-logi836-logi8(18X2)

_Iogi89+logi85_q+Z?_〃+Z?

H-logis2।182—a

l+logi8y

方法二:log189=4,18"=5,.•・log185=b.

logi8(9X5)Iogi89+logi85

于是log45=

3618221ogisl8—logis92—a

logi歹

（教师）

延伸探究

若本例（2）条件不变，求log“5.（用。，b表示）

解因为1a=5,所以logi85=6.

济11*815logi8（3X5）

所以log915=i°g|89=1。邺9

Iogl83+logl85logl逆+1

aa

_logi895+63°gi89+6

aa

2a+ba+2b

a2a,

反思感悟利用换底公式进行化简求值的原则和技巧

跟踪训练2(1)黑|的值是()

23

AjB.^C.ID.2

『答案』A

『解析』方法一将分子、分母利用换底公式转化为常用对数,

坨9

loS89_lg8_21g3lg2_2

f__-

Iog23lg331g2-lg33-

lg2

方法二将分子利用换底公式转化为以2为底的对数,

10—9

阳Iog89_log28_21og23_2

1---

log23log2331og233-

10g5/J0g79

(2)计算:

log51-log7A/4

10gmlog79

解原式=

l°gs|Iog7赤

22

=logjA/2.log洱9-logj2-310g223

33

L…c3

=-2-log32-31og23=一1

三、对数运算性质的综合应用

71

例3(1)设3。=，=36,求1十]的值；

(2)已知2%=3y=5z,且1+；+：=1,求x,y,z.

解(1)方法一由3。=，=36,

得Q=log336,/?=log436,

由换底公式得t=10g363,1=10g364,

21

・•・"+]=21og363+log364=log3636=1.

方法二由3。=40=36,两边取以6为底数的对数，得

〃log63=Z?log64=log636=2,

.2।「1L一八

..-=log63,g=1log64=log62,

21

「・log63+log62=log66=1.

(2)令2%=3，=52=网左＞0),

・,.％=k)g2Ky=log3鼠z=log5怎

・・・J=log2W=log左3,1=log^5,

由1+」+」二l,

xyz

得k)g22+logz3+log%5=logz30=l,：.k=30,

X=log230=1+log215,

y=log330=1+log310,z=log530=1+log56.

反思感悟利用对数式与指数式互化求值的方法

(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条

件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.

⑵对于连等式可令其等于然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒

数化为同底的对数，从而使问题得解.

跟踪训练3已知3"=5"=c,且5+/=2,求c的值.

解V3a=5b=c,.*.a=log3C,6=log5C,

.1,Q1,<

..-=logc3,^=loge5,

.•A1=loge15.

由k>gJ5=2得,2=15,即c=qi^.

随堂演练基础巩固学以致用

1.求值:210g510+log50.25等于()

A.OB.IC.2D.4

『答案』C

『解析』210g510+log50.25=log5100+log50.25

=log525=2.

2.若a>0,x>y>0,n^N*,则下列各式：

①(logaX)"=«10gflX；②(logd)"=log4；

③lOgaX=_10g(；@-^10gflX=^10gflX；

其中正确的有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

『答案』A

『解析』根据对数的运算性质log“AT=〃k)gaM(M>0,