新高考物理一轮复习专题五万有引力与宇宙航行教学课件

考点一开普勒行星运动定律万有引力定律一、开普勒行星运动定律1.开普勒第一定律(轨道定律):所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的

一个焦点上。2.开普勒第二定律(面积定律):对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内

扫过的面积相等。3.开普勒第三定律(周期定律):所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二

次方的比都相等,即

=k。提示

(1)开普勒行星运动定律具有普遍适用性,既适用于行星绕太阳的运动,也适用

于月球、人造卫星绕地球的运动等。(2)如图所示,由开普勒第二定律得

Δl1r1=

Δl2r2,即

v1Δt·r1=

v2Δt·r2,解得

=

,近日点速度最大,远日点速度最小。

(3)在开普勒第三定律

=k中,k值与中心天体的质量有关,不同的中心天体对应的k值一般不同。二、万有引力定律1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小

与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。2.表达式:F=G

,其中G为引力常量。提示

英国物理学家卡文迪什利用扭秤测出引力常量G,使涉及万有引力的定量计算

得以实现。3.适用条件(1)两个质点间的相互作用。(2)对于两个质量分布均匀的球体,r为两球心间的距离。(3)对于质点与质量分布均匀的球体,r为质点到球心的距离。4.两条推论(1)推论1:在匀质球层的空腔内任意位置处,质点受到的万有引力的合力为0,即∑F=0。(2)推论2:在匀质球体内部距离球心r处,质点受到的万有引力等于半径为r的球体对它

的引力,如图所示,即F'=G

,而

=

,故F'=G

r。

三、万有引力与重力的关系1.关系推导重力是因地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的;如图所示,F引产生两个效果:

一是提供物体随地球自转所需的向心力;二是产生物体的重力。由于F向=mω2r,向心力

随纬度的增大而减小,所以物体的重力随纬度的增大而增大,即重力加速度从赤道到

两极逐渐增大。

(1)在赤道上:G

=mg1+mω2R。(2)在两极上:G

=mg2。注意

(1)F向很小,在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等,即G

=mg。(2)在地球同一纬度处,因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小,所以

重力加速度随物体离地面高度的增加而减小,即g'=G

。2.地球表面、上空、内部的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)满足mg=G

,得g=

。公式g=

或GM=gR2又叫黄金代换式。(2)在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度为g',有

=

。(3)在地球内部距离地心r处的重力加速度为g″,由万有引力推论2可得mg″=

r,即g″=

r。知识拓展

星球的瓦解问题

假设让星球自转加快,则星球表面上的物体随星球自转所需的向心力将变大,当

赤道上的物体与星球间的万有引力完全提供物体所需的向心力时,星球对物体的支持

力为0,即

=ma0=m

R=m

=m

R,联立黄金代换式GM=gR2,可得a0=g、ω0=

、v0=

、T0=2π

。当星球自转角速度ω≥ω0时,星球上的物体就会“漂浮”,星球就会瓦解。例1已知一质量始终为m的物体放在北极和赤道的重力差为ΔN,地球同步卫星运行

的周期为T,则可求出地球半径R为

(

)A.

B.

C.

D.

解析

由万有引力和重力的关系可知,物体在北极时有

=mg①,物体在赤道时有

=mg0+m

R②,又由于ΔN=mg-mg0③,联立①②③解得R=

。故选C。

答案

C四、挖补法求解万有引力如图所示,在一个半径为R、质量为M的均匀球体中,紧贴球的边缘挖去一个半径

为

的小球体后,求剩余部分对质量为m的质点的引力大小。已知质点位于球心和空穴中心连线上,且与球心相距为d。

完整的均匀球体对球外质量为m的质点的引力F=G

,设挖去小球体后的剩余部分对质点的引力为F1,半径为

的小球体对质点的引力为F2,则F=F1+F2,半径为

的小球体的质量M'=

π

ρ=

,则F2=G

=G

,所以F1=F-F2=G

-G

。提示

(1)形状的要求:大球内挖掉小球。挖掉其他形状物体的情况不可用此法。(2)三心的位置关系:大球球心、小球球心、第三个球的球心(或质点),若三心共线,则

三力共线,可转化为代数运算;若三心不共线,则三力不共线,遵循矢量运算法则。五、天体质量和平均密度的计算1.利用重力加速度和天体半径计算天体的质量和平均密度(1)由G

=mg得天体质量M=

。(2)天体平均密度ρ=

=

=

。2.利用物体绕天体运动参量计算中心天体的质量和平均密度(已知物体绕天体做匀速

圆周运动的半径r和周期T)(1)由G

=m

得中心天体的质量M=

。(2)若已知中心天体的半径R,则中心天体的平均密度ρ=

=

=

。(3)若轨道半径r等于中心天体的半径R,则中心天体的平均密度ρ=

。(4)利用公式T=

或T=

与上式联立也可求出中心天体的质量和平均密度。注意

(1)利用万有引力提供向心力估算天体质量时,估算的只是中心天体的质量。(2)区别中心天体半径R和轨道半径r,只有在中心天体表面附近做圆周运动时,才有r≈

R;V=

πR3中的“R”只能是中心天体的半径。(3)天体质量估算中常有隐含条件,例如地球的自转周期为24h,公转周期为365天等。例2我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速

圆周运动,运行周期为T,轨道半径约为地球半径的

倍,已知地球半径为R,引力常量为G。忽略地球自转的影响,则

(

)A.漂浮在空间站中的航天员不受地球的引力B.空间站绕地球运动的线速度大小约为

C.地球的平均密度约为

D.空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的

倍

解析

漂浮在空间站中的航天员依然受地球的引力,所受引力完全提供向心力,视重为0,故A错误。由题意可知,轨道半径r=

R,故空间站绕地球运动的线速度大小约为v=

=

,故B正确。设空间站的质量为m,其所受万有引力提供向心力,故G

=m

·

,又因为地球的平均密度约为ρ=

,联立可得ρ=

,故C错误。根据万有引力提供向心力有G

=ma,则空间站绕地球运动的向心加速度大小a=

,根据题意可知,忽略地球自转的影响,则地面的重力加速度g=

,联立可得

=

,故D错误。

答案

B考点二人造卫星宇宙速度一、人造卫星1.卫星运行参量的分析(1)核心思想将卫星的运动看成匀速圆周运动,万有引力提供其做圆周运动的向心力。(2)运行参量随半径变化的规律G

=

当r↑时,a↓v↓ω↓T↑(高轨、低速、大周期)。2.人造地球卫星(1)极地卫星:运行时轨道经过南北两极上空,由于地球自转,极地卫星可以实现全球覆

盖。(2)近地卫星:轨道半径r=R(地球半径),向心加速度a=g,环绕速度v=7.9km/s,周期T≈84min。(3)地球同步卫星

3.地球同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较近地卫星绕地球运行,满足万有引力提供向心力。赤道上的物体随地球自转而运动,

不满足万有引力提供向心力。因此,二者无法直接进行物理量的比较,需借助地球同

步卫星这个“中介”进行比较。如图所示,a为近地卫星,轨道半径为r1;b为地球同步卫

星,轨道半径为r2;c为赤道上随地球自转的物体,轨道半径为r3。

近地卫星(r1、ω1、v1、a1)地球同步卫星(r2、ω2、v2、a2)赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)向心力万有引力万有引力万有引力的一个分力轨道半径r2>r3=r1角速度由G

=mω2r得ω=

,故ω1>ω2ω2=ω3ω1>ω2=ω3线速度由G

=m

得v=

,故v1>v2由v=ωr得v2>v3v1>v2>v3向心加速度由G

=ma得a=

,故a1>a2由a=ω2r得a2>a3a1>a2>a3二、宇宙速度1.三个宇宙速度

(1)当v发=7.9km/s时,飞行器在地表附近绕地球做匀速圆周运动。(2)当7.9km/s<v发<11.2km/s时,飞行器绕地球运动的轨迹为椭圆。(3)当11.2km/s≤v发<16.7km/s时,飞行器挣脱地球引力的束缚在太阳系中运动。2.飞行器发射速度与轨迹的关系(4)当v发≥16.7km/s时,飞行器将挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的空间。知识拓展

第一宇宙速度的计算方法(1)方法1:由

=m

,得v=

,把地球质量M、半径R的数值代入求解。(2)方法2:由mg=

得v=

,把g=9.8m/s2和地球半径R的数值代入求解。例3“羲和号”卫星是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。该卫星轨道为圆轨

道,通过地球南北两极上方,离地高度比地球同步卫星的低,能够24h持续对太阳进行

观测,则该卫星

(

)A.运行周期大于24hB.运行速度大于第一宇宙速度C.运行角速度大于地球同步卫星的角速度D.发射速度大于第二宇宙速度

解析

“羲和号”卫星的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径,则由“高轨、低速、大周期”可知,其运行周期小于地球同步卫星的运行周期,即小于24h,其运行角

速度大于地球同步卫星的运行角速度,故A错误,C正确。第一宇宙速度为卫星环绕地

球做圆周运动的最大速度,则“羲和号”卫星的运行速度小于第一宇宙速度(点拨:也

可根据近地卫星的环绕速度为第一宇宙速度,而“羲和号”卫星的轨道半径比近地卫

星的大,所以其运行速度比近地卫星的小,即小于第一宇宙速度),故B错误。卫星没有

摆脱地球引力的束缚,所以其发射速度小于第二宇宙速度,故D错误。

答案

C微专题6双星及多星问题一、双星问题两颗星体在宇宙中远离其他天体,且绕公共圆心转动,我们称之为双星问题。图例

受力特点两星间的万有引力提供两星做圆周运动所需的向

心力,

=m1ω2r1,

=m2ω2r2,化简得

=ω2r1①,

=ω2r2②运动特点转动方向、周期、角速度相同,运动半径一般不

等,r1+r2=L③,T=

④解题规律(1)两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成

反比,

=

⑤(2)双星的运动周期T=2π

⑥(3)双星的总质量m1+m2=

⑦提示

(1)由①②相加并与③④联立可得⑥⑦。(2)注意区分双星运动中的轨道半径和万有引力公式中的距离L。例

(多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家

们复原的过程,在两颗中子星合并前约100s时,它们相距约400km,绕二者连线上的某

点每秒转动12圈,将两颗中子星都看作质量均匀分布的球体,由这些数据、引力常量

并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星(

)A.质量之积

B.质量之和C.速率之和

D.各自的自转角速度

解析

由题意可知,合并前两颗中子星绕连线上某点每秒转动12圈,则两中子星的周期相等,且均为T=

s,两颗中子星的角速度均为ω=

=24πrad/s。两颗中子星构成双星模型,假设两颗中子星的质量分别为m1、m2,轨道半径分别为r1、r2,速率分别为v1、v

2,根据万有引力提供向心力有

=m1ω2r1、

=m2ω2r2,又有r1+r2=L=400km,解得m1+m2=

,A错误,B正确。由v1=ωr1、v2=ωr2得v1+v2=ω(r1+r2)=ωL,C正确。由题中的条件不能求解两颗中子星自转的角速度,故D错误。

答案

BC二、多星问题1.三星问题图例

受力特点各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动所需

的向心力。图甲中

+

=man,图乙中

×cos30°×2=man运动特点转动方向、周期、角速度、线速度大小均相等,圆

周运动半径相等。图甲中r=

,图乙中r=

2.四星问题图例

各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动所需的向心力(M星除外)。图甲中

×2cos45°+

=man,图乙中

×2cos30°+

=man

转动方向、周期、角速度、线速度大小均相等,圆

周运动半径相等。图甲中r=

L,图乙中r=

微专题7卫星的变轨和对接问题1.变轨原理及过程(如图所示)

(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆形轨道Ⅰ上。(2)在A点点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的

向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。2.一些物理量的定性分析(1)速度:设卫星在圆形轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上经过A点

和B点时的速率分别为vA、vB。在A点加速,则vA>v1,在B点加速,则v3>vB,又因v1>v3,故有

vA>v1>v3>vB。(2)加速度:在A点卫星只受万有引力作用,故无论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点时,卫

星的加速度都相同;同理,卫星在不同轨道运行过程中经过B点时的加速度也相同。(3)周期:设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运行周期分别为T1、T2、T3,轨道半径分别为r1、r2

(半长轴)、r3,由开普勒第三定律

=k可知T1<T2<T3。(4)机械能:卫星在一个确定的圆或椭圆轨道上机械能守恒,在不同轨道上外轨道的机

械能大于内轨道的机械能。若卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的机械能分别为E1、E2、E3,则E1<E2<E3。例1

2022年10月31日,搭载梦天实验舱的长征五号B遥四运载火箭,在中国文昌航天

发射场点火升空,约8min后,梦天实验舱与火箭成功分离并准确进入预定轨道,发射任

务取得圆满成功。某卫星发射可简化为三个轨道,如图所示,先由椭圆轨道1运动后调

整至圆轨道2,然后再进入椭圆轨道3。轨道上A、B、C三点与地球球心在同一直线上,

A、C两点分别为轨道1的远地点与近地点,且

=3

=3a。下列说法不正确的是

(

)A.卫星在轨道1上C点的速度大于在轨道2上B点的速度B.卫星在轨道3上的机械能大于在轨道1上的机械能C.若卫星在轨道2上A点的速度为v,则在轨道1上经过A点的加速度小于

D.卫星在轨道2上运行的周期与在轨道1上运行的周期之比为8∶3

解析

过C点作以地球球心为圆心的辅助圆轨道,设卫星在此轨道的速度大小为v0,由“高轨、低速、大周期”有vB<v0;由辅助圆轨道到轨道1需加速,故卫星在轨道1上C

点的速度vC>v0,可得vC>vB(点拨:轨道1是椭圆轨道,轨道2是圆轨道,故不可直接用“高

轨、低速、大周期”判断B、C两点的速度大小关系),A正确。卫星在轨道1上A点加

速进入轨道2,机械能瞬间增大;在轨道2上B点加速进入轨道3,机械能再次增大,故卫星

在轨道3上的机械能大于在轨道1上的机械能,B正确。轨道2的半径r2=2a,则卫星在轨

道2上A点的加速度大小等于

,由于卫星在轨道1上A点和在轨道2上A点的受力情况相同,所以卫星在轨道1上A点的加速度大小也等于

,C错误。由开普勒第三定律可得

=

,由几何关系可得轨道1的半长轴r1=

,故

=8∶3

,D正确(关键:开普勒第三定律不仅适用于椭圆轨道,也适用于圆轨道)。故本题选C。

答案

C3.卫星回收过程与发射过程的对比

4.对接问题对接问题实际上就是两个做匀速圆周运动的星体的追赶问题,本质仍然是卫星的变轨问题,需要分清是从高轨道减速变轨至低轨道,还是从低轨道加速变轨至高轨道。例2设天舟六号货运飞船与空间站天和核心舱都围绕地球做匀速圆周运动。为了

实现飞船与空间站的对接,下列措施可行的是

(

)A.使飞船与空间站在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间站实现对接B.使飞船与空间站在同一轨道上运行,然后空间站减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间站运动半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间站,两者速度

接近时实现对接D.飞船先在比空间站运动半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间站,两者速

度接近时实现对接解题指导

变轨问题要理解“供需”关系。(1)当卫星的速度突然增大时,G

<

,即万有引力不足以提供向心力,卫星将做离心运动,轨道半径变大。(2)当卫星的速度突然减小时,G

>

,即万有引力大于所需要的向心力,卫星将做近心运动,轨道半径变小。

解析

飞船在同一轨道上加速追赶空间站时,速度增大,所需向心力大于万有引力,飞船将做离心运动,不能实现与空间站的对接,A错误。同理,空间站在同一轨道上减

速等待飞船时,速度减小,所需向心力小于万有引力,空间站做近心运动,也不能实现对

接,B错误。当飞船在比空间站运动半径小的轨道上加速时,飞船做离心运动,逐渐靠近

空间站,可实现对接,C正确。当飞船在比空间站运动半径小的轨道上减速时,飞船将做

近心运动,远离空间站,