辽宁省葫芦岛市2018年中考数学试卷（解析版）

2018年辽宁省葫芦岛市中考数学试卷

一、选择题(每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分)

1.如果温度上升10℃记作+10℃,那么温度下降5℃记作()

A.+10℃B.-10℃C.+5℃D,-5℃

【答案】D

【解析】

【详解】【分析】根据用正负数表示具有相反意义的量进行求解即可得.

【详解】如果温度上升10℃记作+10℃,

那么下降5℃记作-5℃,

故选D.

【点睛】本题考查了用正负数表示具有相反意义的量，熟练掌握相关知识是解题的关键.

2.下列几何体中，俯视图是矩形的是()

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：选项A、D的俯视图是圆，选项B的俯视图是矩形，选项C的俯视图是三角形，故答案

选B.

考点：几何体的俯视图.

3.下列运算正确的是()

A,-2x2+3x2=5x2B.x2*x3=x5C.2(x2)3=8x6D.(x+1)2=x2+l

【答案】B

【解析】

【详解】【分析】根据合并同类项法则、同底数幕的乘法法则、幕的乘方及单项式乘法法则、完全平方公式

的运算法则逐项进行计算即可得.

【详解】A.-2x2+3x2=x2,故A选项错误；

B.x2*x3=x5,故B选项正确；

C.2(x2)3=2x6,故C选项错误；

D.(x+1)2=x2+2x+L故D选项错误,

故选B.

【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幕的乘法、幕的乘方及单项式乘法、完全平方公式等运

算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.

4.下列调查中，调查方式选择最合理的是（）

A.调查“乌金塘水库”的水质情况，采用抽样调查

B.调查一批飞机零件的合格情况，采用抽样调查

C.检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，采用全面调查

D.企业招聘人员，对应聘人员进行面试，采用抽样调查

【答案】A

【解析】

【详解】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调

查结果比较近似判断即可.

【详解】A.了解“乌金塘水库”的水质情况，采用抽样调查，故A正确；

B.了解一批飞机零件的合格情况，适合全面调查，故B错误；

C.了解检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，调查范围广，适合抽样调查，故C错误；

D.企业招聘人员，对应聘人员进行面试，适合全面调查，故D错误，

故选A.

【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象

的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，

应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

2

5.若分式x^——1!•的值为0,则x的值为（）

X+1

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】B

【解析】

【详解】【分析】根据分式值为。的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.

X2-1

【详解】•.•分式_^的值为零，

x+1

犬2-1=0

[x+lwO

解得：X=l,

故选B.

【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关

键.

6.在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法

A.众数是90分B.中位数是95分C.平均数是95分D.方差是15

【答案】A

【解析】

【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义逐一进行求解即可作出判断.

【详解】A.众数是90分，人数最多，故A选项正确;

B.中位数是90分，故B选项错误;

1x100+2x85+2x95+5x90

C.平均数是=91分,故C选项错误;

10

方差是\x[2x(85—9炉+5X(90-91)2+2X(95-91)2+(100-91)2=19,

D.故D选项错误,

故选A.

【点睛】本题考查了折线统计图、中位数、众数、方差、平均数等，读懂统计图，熟练掌握中位数、方差、

众数、中位数的定义及求解方法是关键.

7.如图，在AABC中，/C=90。，点D在AC上，DE〃AB,若/CDE=165。，则/B的度数为（）

A.15°B,55°C,65°D.75°

【答案】D

【解析】

【分析】根据邻补角定义可得/ADE=15。，由平行线的性质可得/A=NADE=15。，再根据三角形内角和定

理即可求得NB=75。.

【详解】解：VZCDE=165°,.,.ZADE=15°,

：DE〃AB,.•.ZA=ZADE=15°,

ZB=1800-ZC-ZA=180°-90°-15°=75°,

故选D.

【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理

是解题的关键.

8.如图，直线y=kx+b（a0）经过点A（-2,4）,则不等式kx+b>4的解集为（）

【答案】A

【解析】

【详解】【分析】求不等式kx+b>4的解集就是求函数值大于4时，自变量的取值范围，观察图象即可得.

【详解】由图象可以看出，直线y=4上方函数图象所对应自变量的取值为x>-2,

不等式kx+b>4的解集是x>-2,

故选A.

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式；观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较

函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围.也考查了数形结合的思想.

9.如图，AB是。。的直径，C,D是。。上AB两侧的点，若ND=30。，则tan/ABC的值为（）

A.—B.—C.73D.—

22-3

【答案】C

【解析】

【详解】【分析】先根据圆周角定理得出NBAC=/D=30。，ZACB=90°,继而求得/ABC=60。，再由特殊角

的三角函数值即可得答案.

【详解】•:BC=BC，ZBAC=ZD=30°,

：AB是。0的直径，.,.ZACB=90°,AZABC+ZBAC=90°,

；./ABC=60°,

.*.tanZABC=^3，

故选C.

【点睛】本题考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值，求得/ABC=60。是解本题的关键.

10.如图，在oABCD中，AB=6,BC=10,AB±AC,点P从点B出发沿着B-A—C的路径运动，同时点Q

从点A出发沿着A-C-D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运

动的路程为x,y=PQ2,下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是()

【答案】B

【解析】

【详解】【分析】先利用勾股定理求出AC长，然后分三种情况分别求出y与x间的关系式即可进行判断.三

种情况是：①0WXW6,②6WXW8,③8&W14.

【详解】在RtAABC中，NBAC=90。，AB=6,BC=10,AC=^BC2-AB2>

当OWx/6时，AP=6-x>AQ=x,y=PQ2=AP2+AQ2=2x2-12x+36；

当6WxW8时，AP=x-6>AQ=x,/.y=PQ2=(AQ-AP)2=36；

当8<x<14时，CP=14-x,CQ=x-8,Ay=PQ2=CP2+CQ2=2x2-44x+260,

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，动点问题的函数图象，结合图形正确地分三种情况进行讨

论是解题的关键.

二、填空题(每题只有一个正确选项，本题共8小题，每题3分，共24分)

11.分解因式：2a3-8a=.

【答案】2a(a+2)(a-2)

【解析】

【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来,

之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此，

2a2—8a=2a(a2-4j=2a(a+2)(a-2).

12.据旅游业数据显示，2018年上半年我国出境旅游超过129000000人次，将数据129000000用科学记数

法表示为_.

【答案】1.29X108.

【解析】

【详解】【分析】科学记数法的表示形式为ax］。。的形式，其中上间＜10,n为整数.确定n的值时，要看把

原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数;

当原数的绝对值＜1时，n是负数.

【详解】129000000的小数点向左移动8位得到1.29,

所以129000000用科学记数法表示为1.29x108,

故答案为1.29X108.

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中i＜|a|＜10,n

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

13.有四张看上去无差别的卡片，正面分别写有“兴城首山”、“龙回头”、"觉华岛”、"葫芦山庄''四个景区的

名称，将它们背面朝上，从中随机一张卡片正面写有“葫芦山庄”的概率是

【答案】-

4

【解析】

【详解】【分析】共有4种可能，符合条件的有1种，利用概率公式进行计算即可得.

【详解】•••在这4张无差别的卡片上，只有1张写有“葫芦山庄”，

.•.从中随机一张卡片正面写有'‘葫芦山庄”的概率是1，

4

故答案为’.

4

【点睛】本题考查了简单的概率计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14.如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为(2,3),则点C的坐标为

【答案】（2,-3）.

【解析】

［分析］根据菱形的轴对称性可知点C与点A关于x轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得.

【详解】•••四边形OABC是菱形，

:.A、C关于直线OB（x轴）对称，

VA（2,3）,AC（2,-3）,

故答案为（2,-3）.

【点睛】本题考查了菱形的性质、关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

15.如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍

作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45。，景点B的俯角为

30。，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为一米（结果保留根号）.

【答案】100+1006

【解析】

【分析】由已知可得NACD=NMCA=45。，/B=NNCB=30。，继而可得NDCB=60。，从而可得AD=CD=100

米，DB=100百米，再根据AB=AD+DB计算即可得.

【详解】VMN//AB,ZMCA=45°,ZNCB=30°,

AZACD=ZMCA=45°,ZB=ZNCB=30°,

VCD±AB,

.,.ZCDA=ZCDB=90°,ZDCB=60°,

•.,CD=100米,

AD=CD=100X.DB=CD«tan60°=£CD=1()0百米，

AB=AD+DB=100+10073（米），

故答案为100+100百.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，解题的关键是借助俯角构造直角三角形并解

直角三角形.注意方程思想与数形结合思想的应用.

16.如图，OP平分NMON,A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交

ON于点B、C,再分别以点B、C为圆心，大于!BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交

2

OP、ON于点E、F.若NMON=60。，EF=1,则OA=.

【答案】26

【解析】

【分析】由作法得ADJ_ON于F,再由OP平分NMON,可得NEOF=工NMON=30。，在RtAOEF中，求

2

出OF=&EF=6,继而在RsAOF中，即可求出OA长.

详解】由作法得AD_LON于F,.".NAOF=90。,

；OP平分NMON,.\ZEOF=—ZMON=-x60°=30°,

22

在RtAOEF中，OF=6EF=5

在RSAOF中，ZAOF=60°,，OA=2OF=2百，

故答案：2G.

【点睛】本题考查了尺规作图——垂线，解直角三角形的应用等，熟练掌握相关知识是解题的关键.

17.如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将^BCE沿BE折叠后得到aBEF、且点F在矩形ABCD

的内部，将BF延长交AD于点G.若空=',则殁=_.

GA7AB

【答案】a

【解析】

【分析】连接GE,根据中点定义可得DE=CE,再根据翻折的性质可得DE=EF,ZBFE=90°,利用“HL”证

DGi

明RlAEDG^RtAEFG,根据全等三角形对应边相等可得FG=DG,根据——=一，设DG=FG=a,则AG=7a,

GA7

故AD=BC=8a,则BG=BF+FG=9a,由勾股定理求得AB=4。，再求比值即可.

【详解】连接GE,

•.•点E是CD的中点，；.EC=DE,

,/将ABCE沿BE折叠后得到^BEF、且点F在矩形ABCD的内部，

；.EF=DE,ZBFE=90°,

GE=GE

在RtAEDG和RtAEFG中〈，

DE=EF

ARtAEDG^RtAEFG（HL）,

・・・FG=DG,

■DG1

..----——,

GA7

.•.设DG=FG=a,贝ljAG=7a,故AD=BC=8a,则BG=BF+FG=9a,

AB=J（9q）2_（7q）2=40a，

AD8。

故---二—V2,

AB4国

故答案V2.

E

B

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及翻折变换的性质，熟

记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.

18.如图，NMON=30。，点Bi在边OM上，且0Bi=2,过点Bi作B1A1_LOM交ON于点Ai,以AB为边

在AIBI右侧作等边三角形AIBICI；过点Ci作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2,以A2B2为边在

A2B2的右侧作等边三角形A2B2c2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3,以A3B3为边在A3B3

的右侧作等边三角形A3B3c3,…；按此规律进行下去，则△AnBn+lG的面积为(用含正整数n的代数式

23

【解析】

【详解】【分析】由题意AAIA2cl是等边三角形，边长为2叵，AA2A3c2是等边三角形，边长为

3x2叵，△A3A4c3是等边三角形，边长为3x3x2叵=(3)2x2叵，继而得到△AnBn+Cn的边长为

2322323

(-)n-仪2叵，然后根据等边三角形面积公式进行求解即可得.

23

【详解】由题意AAiA2G是等边三角形，边长为过I,

3

△A2A3c2是等边三角形，边长为3x2叵,

23

△A3A4c3是等边三角形，边长为3x3x38=(3)2x2叵,

22323

△A4A5c4是等边三角形，边长为3x3x3x2®=(3)3x2叵,

222323

△AnBn+lCn的边长为(3)甘仪2叵，

23

...△AnBn+lCn的面积为立X[(-)n-lx2^1]2=(-)2n-2乂且，

42323

3n

故答案为(二)2n-X上.

23

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的面积公式、解直角三角形等知

识，熟练掌握相关性质得出等边三角形的边长的规律是解题的关键.

三、解答题(每题只有一个正确选项，本题共2小题，共76分)

C2

19.先化简，再求值：(义-厂&)+，一,其中a=3T+2sin30。.

a-1cr-2a+\a+l

【答案】原式=四=7

a—1

【解析】

【详解】【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的除法运算，最后求出a的值代入进

行求解即可得.

2aa(a-1)a+\

【详解】原式=一；一一~*——

(Q—I)a

_2a-aa+1

ci—1a

a+1

=----,

a—1

[A-+1

i14Q

当a=37+2sin300=—+2x—=一时，原式二^-=7.

3234

§一1

【点睛】本题考查了分式的化简求值，涉及到负指数幕、特殊角的三角函数值等内容，熟练掌握

运算的顺序及法则是解题的关键.

20.”机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解

情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四和IA.非常了解，B.比较了解，C.基本了解，D.不

太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图.

学童曲1涉5了解情况线缢十图学韧5E®搠了解情:胭朦

请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）本次共调查一名学生：扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是；

（2）补全条形统计图；

（3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名？

（4）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、

丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同

时被选中的概率.

【答案】（1）60、90°；（2）补全条形图见解析；（3）估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有320

名；（4）甲和乙两名学生同时被选中的概率为

6

【解析】

【详解】【分析】（1）用A的人数以及所占的百分比就可以求出调查的总人数，用C的人数除以调查的总人

数后再乘以360度即可得；

（2）根据D的百分比求出D的人数，继而求出B的人数，即可补全条形统计图；

（3）用“非常了解''所占的比例乘以800即可求得；

（4）画树状图得到所有可能的情况，然后找出符合条件的情况用，利用概率公式进行求解即可得.

【详解】（1）本次调查的学生总人数为24・40%=60人，

扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°x—=90°,

60

故答案为60、90°；

（2）D类型人数为60x5%=3,则B类型人数为60-（24+15+3）=18,

补全条形图如下：

学生对交康施了快情况条形婉计图

（3）估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有800x40%=320名;

（4）画树状图为:

/NZ\

甲丁丙甲乙丁

共有12种等可能的结果数，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为2,所以甲和乙两名学生

21

同时被选中的概率为一=：.

126

【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、列表法或树状图法求概率、用样本估计总体等，

读懂统计图，从不同的统计图中找到必要的有关联的信息进行解题是关键.

21.某爱心企业在政府的支持下投入资金，准备修建一批室外简易的足球场和篮球场，供市民免费使用，修

建1个足球场和1个篮球场共需8.5万元，修建2个足球场和4个篮球场共需27万元.

（1）求修建一个足球场和一个篮球场各需多少万元？

（2）该企业预计修建这样的足球场和篮球场共20个，投入资金不超过90万元，求至少可以修建多少个足

球场？

【答案】（1）修建一个足球场和一个篮球场各需3.5万元，5万元；（2）至少可以修建7个足球场.

【解析】

【详解】【分析】（1）设修建一个足球场x万元，一个篮球场y万元，根据等量关系：建1个足球场和1个

篮球场共需8.5万元，修建2个足球场和4个篮球场共需27万元，列方程组进行求解即可得；

（2）设足球场m个，则篮球场（20-m）个，根据投入资金不超过90万元列出不等式进行求解

即可得.

【详解】（1）设修建一个足球场x万元，一个篮球场y万元，根据题意可得：

x+y=8.5fx=3.5

〈.，e，解得：\「，

2x+4y=27[y=5

答：修建一个足球场和一个篮球场各需3.5万元，5万元：

（2）设足球场m个，则篮球场（20-m）个，根据题意可得：

3.5m+5(20-m)<90,

2

解得：m>6—，

3

答：至少可以修建7足球场.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，弄清题意，找准备等量关

系列出方程组、找准不等量关系列出不等式是解题的关键.

22.如图，一次函数y=kx+b(叵0)的图象与反比例函数丫=巴(a和)的图象在第二象限交于点A(m,2).与

x

X轴交于点C(-l,0).过点A作ABLx轴于点B,AABC的面积是3.

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)若直线AC与y轴交于点D,求ABCD的面积.

x

o22

【答案】(1)反比例函数的解析式为丫=--,一次函数的解析式为y=--X--；⑵SABCD=1.

x33

【解析】

【分析】(1)根据点A坐标，点C坐标，结合AABC的面积是3,求出m的值，从而确定点A的坐标，利

用待定系数法即可求出反比例函数解析式，一次函数解析式；

(2)求出点D坐标，利用三角形面积公式进行求解即可得.

【详解】(1)：AB_Lx轴于点B,点A(m,2),...点B(m,0),AB=2,

•.•点C(-1,0),ABC=-1-m,

；.SAABC=LAB・BC=-1-m=3,/.m=-4,.,.点A(-4,2),

2

•点A在反比例函数丫=区(a#))的图象上，，a=-4x2=-8,

x

Q

...反比例函数的解析式为y=--，

x

将A(-4,2)、C(-1,0)代入y=kx+b,得：

k=~-

(-4k+b=2322

《，，八，解得：1:，.••一次函数的解析式为y=--X--；

一女+6=0,233

Ib=

222

(2)当x=0时，y=-----x------=------

333

2),

...点D(0,

3

2

/.OD=-,

3

1

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法，三角形的面积等，熟

练掌握待定系数法是解本题的关键.

23.如图，AB是。。的直径，AC=BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F,使EF=CE.连接AF

交。O于点D,连接BD,BF.

（1）求证：直线BF是。O的切线;

（2）若OB=2,求BD的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）BD=±5.

5

【解析】

【分析】（1）连接OC,由已知可得NBOC=90。，根据SAS证明aOCE丝ABFE,根据全等三角形的对应角

相等可得NOBF=/COE=90。，继而可证明直线BF是。O的切线；

（2）由（1）的全等可知BF=OC=2,利用勾股定理求出AF的长，然后由SAABF=，ABBE=工,

22

即可求出BD=二丝.

5

【详解】解：(1)连接0C,

：AB是。0的直径，AC=BC'•••ZBOC=90°,

：E是OB的中点，.*.OE=BE,

在AOCE和ABFE中,

OE=BE

<NOEC=NBEF,

CE=EF

.,.△OCE^ABFE(SAS),

.\ZOBF=ZCOE=90°,

直线BF是。O的切线；

(2)VOB=OC=2,由(1)得：△OCEgaBFE,

，BF=OC=2,

AF=y/AB2+BF2=%+2?=2右)

...SAABF=-ABBF=-AFBD，

22

即4x2=2不BD,

・nn-4布

••DLJ-----------.

5

【点睛】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法，熟

练掌握相关的性质与定理是解题的关键.

24.某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元.试销

期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5WXW5.5,

另外每天还需支付其他费用80元.

销售单价X（元）3.55.5

销售量y（袋）280120

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？

（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）y与x之间的函数关系式为y=-80x+560；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为4

元；（3）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元.

【解析】

【详解】【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b,将x=3.5,y=280；x=5.5,y=120分别代入求出k、b

的值即可得；

（2）根据利润=（售价-成本）x销售量一其他费用列出方程进行求解即可得；

（3）根据利润=（售价-成本）x销售量一其他费用列出函数关系式，然后利用二次函数的性质进行

解答即可得.

【详解】（1）y=kx+b>将x=3.5,y=280；x=5.5,y=120代入，

3.5左+匕=280%=—80

得《,解得《

5.5/+。=120b=560，

则y与x之间的函数关系式为y=-80x+560；

（2）由题意，得（x-3）（-80x+560）-80=160,

整理,得X?-10x+24=0,解得xi=4,X2=6,

V3,5<x<5,5>x=4,

答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元：

（3）由题意得：w=（x-3）（-80X+560）-80

=-80x2+800x-1760

=-80（x-5）2+240,

V3.5<x<5.5,.•.当x=5时，w有最大值为240,

故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元.

【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用等，读懂题意，找

准数量关系列出函数关系式、找准等量关系列出方程是解题的关键.

25.在AABC中，AB=BC,点。是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A,O,C重合）.过

点A,点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F,连接OE,OF

（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；

（2）如图2,当NABC=90。时，请判断线段OE与OF之间数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若|CF-AE|=2,EF=26,当APOF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长.

【答案】⑴OF=OE；（2）OF_LEK,OF=OE,理由见解析；（3）OP的长为逐一0■或3巨.

3

【解析】

【详解】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K,证明AAOE畛△COK,从而可得OE=OK,再根据直

角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；

（2）如图2中，延长E0交CF于K,由已知证明△ABE0Z\BCF,AAOE^ACOK,继而可证得

△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF_LEK,OF=OE；

（3）分点P在A0上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.

【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K,

VOA=OC,ZAOE=ZCOK,AAAOE^ACOK,；.OE=OK,

「△EFK是直角三角形，.*.OF=—EK=OE；

2

（2）如图2中，延长EO交CF于K,

ZABC=ZAEB=ZCFB=90°,

.,.ZABE+ZBAE=90°,NABE+NCBF=90。，AZBAE=ZCBF,

VAB=BC,/.△ABE^ABCF,；.BE=CF,AE=BF,

VAAOE^ACOK,，AE=CK,OE=OK,；.FK=EF,

.•.△EFK是等腰直角三角形，AOF1EK,OF=OE；

(3)如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K,作PH_LOF于H,

图3

；|CF-AE|=2,EF=2百，AE=CK,/.FK=2,

反

在RtAEFK中，tanZFEK=—,；.NFEK=30°,NEKF=60°,

3

；.EK=2FK=4,OF」EK=2,

2

•••△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2,

在RtAPHF中，PH弓PF=1,HF=g,OH=2-g,

•,.8=/+(2—厨=V6-V2.

o

图4

如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，ZPOF=ZPFO=30°,

・•・ZBOP=90°,

OP=—OE=^^

33

综上所述：OP的长为卡—0或2叵.

3

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、