专题8.3球的切接问题（3类必考点）（人教A版）

专题8.3球的切接问题TOC\o"13"\t"正文,1"\h【基础知识】 1【考点1：内切球半径、表面积、体积】 2【考点2：与内切球有关的最值问题】 7【考点3：外接球半径、表面积、体积】 11【考点4：与外接球有关的最值问题】 15【基础知识】1.1球的性质球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R，截面圆的半径，球心到截面圆的距离为，则.1.2长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.1.3几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为，球的半径为，①正方体的外接球，则；②正方体的内切球，则；③球与正方体的各棱相切，则.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.4与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.1.5.解决与球有关的切、接问题的方法：(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点中两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．1.6.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的．【考点1：内切球半径、表面积、体积】【知识点：内切球半径、表面积、体积】1．（2024高一下·山西大同·阶段练习）各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正四面体的结构特征及其内切球、外接球半径关系、空间几何体的体积公式计算即可.【详解】易知正四面体的内切球球心与外接球球心重合，设正四面体的内切球半径为r，外接球半径为R，四面体各面面积为S，则由四面体的体积得，所以四面体的内切球和外接球的体积之比为，故选:A.2．（2024高三下·贵州·阶段练习）若一圆锥的内切球半径为2，该圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圆锥侧面展开图扇形弧长可构造方程求得，利用圆锥轴截面面积可构造方程求得的值，代入圆锥体积公式即可.【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，圆锥侧面展开图为一个半圆，侧面展开图扇形弧长为，则，作出圆锥的轴截面如下图所示，其中为圆锥内切球球心，

，，又，，解得或（舍去），，圆锥体积为.故选：C3．（2024高三下·河南·阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出棱锥的高，进而得到棱锥体积，设出内切球半径，根据体积得到方程，求出半径，进而得到表面积.【详解】设内切球的半径为的中点为，则⊥平面，因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，所以，因为，由勾股定理得，故棱锥的体积为，棱锥的表面积为，设内切球的半径为，

则由等体积法可得，解得，所以．故选：A4．（2024·湖北·二模）已知圆锥的顶点为，其三条母线，，两两垂直．且母线长为6．则圆锥的内切球表面积与圆锥侧面积之和为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由三条母线两两垂直且长为6可得，圆锥的底面圆内接正边长，进而由正弦定理得底面圆的半径，再求出圆锥的高，就可得圆锥轴截面面积，又圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径，等面积即可得内切球的半径，进而得所求.【详解】因为，，两两互相垂直且长度均为6，所以为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长，由正弦定理得底面圆的半径，所以圆锥的高．如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径，轴截面三角形面积为，所以内切球的半径．内切球的表面积为，圆锥的侧面积为，所以其和为.故选：C.5．（2324高一下·河南三门峡·期中）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等体积可求得内切球半径，再取截面并根据比例求得球的半径，则可求得球的表面积．【详解】取三棱锥过内切球球心的截面，如图所示：依题意得，底面的外接圆半径为，解得；点到平面的距离为，所以，所以，设球的半径为，所以，则，得，设球的半径为，则，又，得，所以球的表面积为．故选：A．6．（2024·四川成都·二模）已知圆锥的高是，其轴截面为等边三角形，则其内切球体积为.【答案】/【分析】作出圆锥的轴截面，求出内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，从而求出其体积.【详解】作出圆锥的轴截面如下所示：其中为的中点，，依题意可知为等边三角形且，则内切圆的半径，所以圆锥的内切球的体积.故答案为：7．（2024·湖南·二模）一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为.【答案】/【分析】根据三角形相似求出内切球半径，再利用球的表面积公式求其表面积.【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，为内切球的球心，是棱锥的高，分别是的中点，连接是球与侧面的切点，可知在上，，设内切球半径为，则，由△∽△可知，即，解得，所以内切球表面积.故答案为：.【考点2：与内切球有关的最值问题】【知识点：与内切球有关的最值问题】1．（2024高三上·山东济南·阶段练习）将一个母线长为，底面半径为的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，由圆锥的结构特征可得其内切球的半径与该圆锥过顶点与底面直径的轴截面的内切圆半径相等，借助等面积法求出该半径，结合球的表面积公式即可得.【详解】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，该内切球的半径与该圆锥过顶点与直径的轴截面的内切圆半径相等，画出该轴截面如图，由母线长为，底面半径为可得该圆锥的高，设内切球的半径为，则有，解得，即内切球表面积为.故选：A.2．（2024高二上·重庆黔江·阶段练习）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的最大值是，最小值是.【答案】【分析】先利用正方体的性质求得的取值范围，再利用空间向量的数量积即可得解.【详解】设正方体内切球球心为S，是该内切球的任意一条直径，易知该内切球的半径为1，当点在正方体的面的中心时，取得最小值1；当点在正方体的顶点时，取得最大值，所以；故，所以的最大值是，最小值是.故答案为：；.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用数量积运算，将转化为，从而得解.3．（2024·四川宜宾·二模）所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点，则线段长度的最大值为.【答案】【分析】根据题意，正四面体的外接球和内切球的球心重合且在正四面体的内部，求出外接球半径，内切球半径，线段长度的最大值为得解.【详解】由正四面体的棱长为6，则其外接球和内切球的球心重合且在正四面体的内部，设球心为，如图，连接并延长交底面于，则平面，且为底面的中心，所以，在中，可求得，设外接球半径为，内切球半径为，则，解得，，所以线段长度的最大值为.故答案为：.4．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的母线，侧面积为，则圆锥的内切球半径为；若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为．【答案】【分析】根据题意可求得底面圆半径，高，求出轴截面内切圆半径即可得圆锥的内切球半径为，再根据正四面体外接球与棱长之间的关系即可求得最大棱长为.【详解】如图，在圆锥中，设圆锥母线长为，底面圆半径为，

因为侧面积为，所以，即．因为，所以，所以．棱长为的正四面体如图所示，

则正方体的棱长为，体对角线长为，所以棱长为的正四面体的外接球半径为．取轴截面，设内切圆的半径为，则，解得，即圆锥的内切球半径为．因为正四面体能在圆锥内任意转动，所以，即，所以正四面体的最大棱长为．故答案为：；【点睛】方法点睛：在求解正四面体外接球（内切球）问题时，可根据正四面体的结构特征构造正方体求出外接球半径，也可直接利用结论：棱长为的正四面体的外接球半径为，内切球半径为.5．（2024高二上·广东·阶段练习）圆台及其内切球的体积分别为、，则的取值范围为．【答案】【分析】设圆台的上，下底面半径分别为，（），画出球内切于圆台的轴截面，利用图形中的长度关系可求出球的半径，再根据球和圆台的体积公式表示出、，再由基本不等式计算可得.【详解】设圆台的上，下底面半径分别为，（），球内切于圆台的轴截面如图：

则，，，，为球的直径（圆台的高），球的半径为，则球的体积，圆台的体积，所以，因为，所以，即的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是找到圆台的高与上、下底面半径的关系，再由球、圆台的体积公式得到目标式子.【考点3：外接球半径、表面积、体积】【知识点：外接球半径、表面积、体积】1．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知正四棱台的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径的球O的表面上，则该四棱台的高为（

）A．2 B．8 C．2或12 D．4或8【答案】C【分析】做出截面，根据圆心是否位于截面内部分两种情况，根据线段关系即可求解.【详解】如图，做出截面，此时圆心位于截面内部，取中点，中点，连接、和，易得点在上，由题意得，，，因为，，所以，当不在截面内，同第一种情况理可得，，所以，综上所述：该四棱台的高为或.故选：C.2．（2024·江西九江·二模）已知一个圆台内接于球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）.若该圆台的上、下底面半径分别为1和2，且其表面积为，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圆台表面积得母线长和圆台的高，由勾股定理求出球的半径，可计算体积.【详解】设圆台母线长为l，上、下底面半径分别为和，

则圆台侧面积为，上、下底面面积分别为和.由圆台表面积为，得，所以圆台高，设球半径为，圆台轴截面为等腰梯形，且，高为1.作于点，设，由，则球心在圆台外部.则有，解得，所以球的体积为.故选：C.3．（2024·宁夏石嘴山·一模）已知正四棱锥的底面边长为2，高为4，它的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是【答案】【分析】正四棱锥的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高线上，求解三角形可得球的半径，可求球的表面积.【详解】如图，正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记外接球半径为，，，，底面正方形边长为2，在中，，可得，解得，∴球的表面积故答案为：4．（2024·青海西宁·二模）已知是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为．【答案】【分析】根据题意，由余弦定理可得，再由正弦定理可得外接圆的半径，从而可得球的半径，然后分别计算三棱锥的底面积与高，即可得到结果.【详解】设球的半径为外接圆的半径为，在中，，则由余弦定理得，即，所以，所以．因为球的表面积为，则，解得，所以球心到平面的距离，即三棱锥的高为，又，所以三棱锥的体积．故答案为：5．（2024·陕西汉中·二模）已知三棱锥，则三棱锥的外接球表面积为．【答案】【分析】由题意知，该三棱锥为正三棱锥,取底面的中心M，连接AM，则球心O落在AM上，求出棱锥的高，由此得到关于外接球半径的方程求解即可.【详解】如图:由题意知，底面为等边三角形，设M为其中心，则，又，所以该三棱锥为正三棱锥，所以，所以外接球半径，则外接球球心在AO的延长线上，所以，则，所以在中，，即，解得，所以外接球表面积为故答案为：.6．（2324高三下·辽宁·开学考试）已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为.【答案】【分析】根据，得到，的外接圆的圆心分别为边的中点，则外接球的球心为两中点连线的中点求解.【详解】如图所示：

因为，，，则，所以的中点分别为，的外接圆的圆心，所以直三棱柱的外接球的球心是的中点，所以其半径，所以球的表面积.故答案为：.【考点4：与外接球有关的最值问题】【知识点：与外接球有关的最值问题】1．（2024·广西柳州·三模）已知P，A，B，C是半径为2的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理可求得外接圆半径r，进而可得球心到平面的距离，结合球的性质可知三棱锥的高的最大值，从而得解.【详解】设的边长为a，则，所以，

设的外接圆的圆心为M，半径为r，则，得，则球心到平面的距离，当共线且位于之间时，三棱锥的高最大，为，此时三棱锥的体积也最大，最大值为故选：B．2．（2324高二上·贵州六盘水·期末）已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，，且三棱锥的体积最大值为，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三棱锥体积的最大值求得此时到平面的距离，利用勾股定理计算出外接球的半径，再由公式求出表面积.【详解】设三棱锥外接球球心为，在三角形中，由余弦定理得，由于，所以，设三角形外接圆半径为，外心为.由正弦定理得.由三角形的面积为定值，则当三棱锥体积最大时，到平面的距离最大，设此时到平面的距离为，所以三棱锥的体积最大为，故，由图可知，三棱锥体积最大时三点共线且，由球心性质可知，平面.设外接球的半径为，在中，，则，即，解得.则该球的表面积.故选：C.3．（2024·山东潍坊·一模）已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（

）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】C【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设，把棱锥体积用含有的代数式表示，再由基本不等式求最值．【详解】在直三棱柱中，所以为直角三角形，则外接圆的圆心为斜边的中点，同理外接圆