厦门市大同中学2022年数学高三第一学期期末复习检测模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知偶函数在区间内单调递减，，，，则，，满足（）A． B． C． D．2．正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（）A． B． C． D．3．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（）A．3 B．2 C． D．14．已知数列满足,(),则数列的通项公式()A． B． C． D．5．设集合，则()A． B．C． D．6．若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（）A． B． C． D．7．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为（）A． B． C． D．8．已知函数，则（）A． B．1 C．-1 D．09．若的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数的值为（）A．7 B．6 C．5 D．410．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．11．四人并排坐在连号的四个座位上，其中与不相邻的所有不同的坐法种数是（）A．12 B．16 C．20 D．812．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D．为纯虚数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点是椭圆上一点，过点的一条直线与圆相交于两点，若存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围为_________.14．曲线在点（1，1）处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为，则实数=____。15．已知椭圆，，若椭圆上存在点使得为等边三角形（为原点），则椭圆的离心率为_________．16．已知是函数的极大值点，则的取值范围是____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）当时，若恒成立，求的最大值；（2）记的解集为集合A，若，求实数的取值范围.18．（12分）如图，在三棱柱中，平面ABC.（1）证明：平面平面（2）求二面角的余弦值.19．（12分）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.过顶点，的平面与棱，分别交于，两点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：四边形是平行四边形；（Ⅲ）若，试判断二面角的大小能否为？说明理由.20．（12分）山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级。参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.举例说明.某同学化学学科原始分为65分，该学科C+等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C+等级.而C+等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为x，69-6565-58=70-x四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ∼N(60,12（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B+，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间(72,84)的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X表示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望.（附：若随机变量ξ∼N(μ,σ2)，则Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.68221．（12分）某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值.①已知，生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元．若从两条生产线上各随机抽检件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利元、元、元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.22．（10分）（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，已知平行于轴的动直线交抛物线：于点，点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线，，轴都相切，设的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线，分别与轴相交于点，.当线段的长度最小时，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

首先由函数为偶函数，可得函数在内单调递增，再由，即可判定大小【详解】因为偶函数在减，所以在上增，，，，∴.故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.2、D【解析】

如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，.因为，故，因为，故.由正弦定理可得，故，又因为，故.因为，故平面，所以，因为平面，平面，故，故，所以四边形为平行四边形，所以，所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为.故选：D.【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.3、A【解析】

根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率，即可得出答案.【详解】解：由于，根据导数的几何意义得：，即切线斜率，当且仅当等号成立，所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3.故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.4、A【解析】

利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．【详解】数列满足：，，可得以上各式相加可得：，故选：．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力．5、B【解析】

直接进行集合的并集、交集的运算即可．【详解】解：；∴．故选：B．【点睛】本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.6、A【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．7、A【解析】

设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，分别计算出，再利用公式计算即可.【详解】设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，由题意，，，则所求的概率为.故选：A.【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.8、A【解析】

由函数，求得，进而求得的值，得到答案.【详解】由题意函数，则，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9、C【解析】

由二项式系数性质，的展开式中所有二项式系数和为计算．【详解】的二项展开式中二项式系数和为，．故选：C．【点睛】本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键．10、B【解析】

直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可.【详解】依题意，，而，即，解得，则.故选：B.【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.11、A【解析】

先将除A，B以外的两人先排，再将A，B在3个空位置里进行插空，再相乘得答案.【详解】先将除A，B以外的两人先排，有种；再将A，B在3个空位置里进行插空，有种，所以共有种.故选：A【点睛】本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.12、D【解析】

将复数整理为的形式，分别判断四个选项即可得到结果.【详解】的虚部为，错误；，错误；，错误；，为纯虚数，正确本题正确选项：【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设，设出直线AB的参数方程，利用参数的几何意义可得,由题意得到，据此求得离心率的取值范围.【详解】设，直线AB的参数方程为，(为参数)代入圆，化简得：，，，，存在点，使得，，即，，，，故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解，考查直线、圆与椭圆的综合运用，考查直线参数方程的运用，属于中档题.14、或1【解析】

利用导数的几何意义，可得切线的斜率，以及切线方程，求得切线与轴和的交点，由三角形的面积公式可得所求值．【详解】的导数为，可得切线的斜率为3，切线方程为，可得，可得切线与轴的交点为，，切线与的交点为，可得，解得或。【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，以及直线方程的运用，三角形的面积求法。15、【解析】

根据题意求出点N的坐标，将其代入椭圆的方程，求出参数m的值，再根据离心率的定义求值.【详解】由题意得，将其代入椭圆方程得，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，属于中档题.16、【解析】

方法一：令，则，，当，时，，单调递减，∴时，，，且，∴在上单调递增，时，，，且，∴在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意；当时，存在使得，即，又在上单调递减，∴时，，，所以，这与是函数的极大值点矛盾．综上，．方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，由知须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）当时，由题意得到，令，分类讨论求得函数的最小值，即可求得的最大值.（2）由时，不等式恒成立，转化为在上恒成立，得到，即可求解.【详解】（1）由题意，当时，由，可得，令，则只需，当时，；当时，；当时，；故当时，取得最小值，即的最大值为.（2）依题意，当时，不等式恒成立，即在上恒成立，所以，即，即，解得在上恒成立，则，所以，所示实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的解法，以及不等式的恒成立问题的求解与应用，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.18、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）证明平面即平面平面得证；（2）分别以所在直线为x轴，y轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，再利用向量方法求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为平面ABC，所以因为.所以.即又.所以平面因为平面.所以平面平面（2）解：由题可得两两垂直，所以分别以所在直线为x轴，y轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则，所以设平面的一个法向量为，由.得令，得又平面，所以平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不能为.【解析】

（1）由平面平面，可得平面，从而证明；（2）由平面与平面没有交点，可得与不相交，又与共面，所以，同理可证，得证；（3）作交于点，延长交于点，连接，根据三垂线定理，确定二面角的平面角，若，，由大角对大边知，两者矛盾，故二面角的大小不能为.【详解】（1）由平面平面，平面平面，且，所以平面，又平面，所以；（2）依题意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面与平面平行，即两个平面没有交点，则与不相交，又与共面，所以，同理可证，所以四边形是平行四边形；（3）不能.如图，作交于点，延长交于点，连接，由，，，所以平面，则平面，又，根据三垂线定理，得到，所以是二面角的平面角，若，则是等腰直角三角形，，又，所以中，由大角对大边知，所以，这与上面相矛盾，所以二面角的大小不能为.【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题.20、(1)（i）83.;（ii）272.(2)见解析.【解析】

（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足N60,122（2）根据各等级人数所占比例可知在区间61,80内的概率为25，由二项分布即可求得X【详解】（1）（i）设小明转换后的物理等级分为x，93-8484-82求得x≈82.64.小明转换后的物理成绩为83分；（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布N60,所以P(72<ξ<84)=P(60<ξ<84)-P(60<ξ<72)===0.136.所以物理原始分在区间72,84的人数为2000×0.136=272（人）；（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间61,80内的概率为25随机抽取4人，则X~B4,PX=0=3PX=2=CPX=4X的分布列为X01234P812162169616数学期望EX【点睛】本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题。21、(1)(2)①生产线上挽回的损失较多.②见解析【解析】

(1)由题意得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围即可确定其最小值；(2)①.由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论