高中数学人教A版习题选修1-1：综合质量评估 含答案

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综合质量评估

第一至第三章

（120分钟150分）

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分洪60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1."x>3"是"不等式x2-2x>0”的（）

A.充分不必要条件

B.充分必要条件

C.必要不充分条件

D.非充分必要条件

【解析】选A.解不等式x2-2x>0得x<0或x>2,故"x>3"是"不等式x2-2x>0"的充分不

必要条件.

2.（2016•临沂高二检测）命题：，XWR,都有x2-x+l>0"的否定是（）

A.VXGR,都有x2-x+l<0

B.3x（）eR,使Xg-xo+l〉。

2

0

D.3x°eR,使x2-x（）+1<0

【解析】选c.全称命题的否定是特称命题.

3.函数y=f（x）的图象如图1所示，则y=f'（x）的图象可能是（）

【解析】选D.由函数y=f（x）的图象可知当x<0时,函数单调递增，故f'（x）>0,当x>0时，函数

单调递减，故f'(x)<0.

4.(2016诃南南阳高二期末)若函数6)=*3+2*2+3*-9在*=-1时取得极值很也等于()

A.1B.2C3D.4

【解析】选Cf(x)=3x2+2ax+3.由题意知f(-1)=0,解得a=3.

5.设曲线y=ax2在点(l,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a的值为()

11

A.1B-C.--D.-1

22

【解析】选A.y・2ax,于是曲线y=ax?在点(l,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得

a=l.

x2y2

6.已知点P是双曲掾看=l(a>0)上一点，双曲线的一^渐近线方程为3x-2y=0,Fi,F2分别

是双曲线的左、右焦点若|PFi|=3,则|PF2降于()

A.7B.6C.5D.3

【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF2].

【解析】选A曲双曲线方程得渐近线方程为3x±ay=0,

贝Ua=2,双曲线中c=VHb=3,

由|PFi|=3知P为双曲线左支上一点，

则|PF2|=|PFI|+4=7.

7椭圆盘+£=l(a>b>0)的离心率为?，则双曲线l(a>0,b>0)的离心率

为()

5V52V5

A]B-C-D-

Ja2-b2V3

【解析】选B.由题意知-------=—,^a2=4b2,

a2

又a>b>0,所以a=2b.

【补偿训练】设双曲掾-3=1的一条渐近线与抛物线y=x2+l只有一个公共点，则双曲线

的离心率为()

5

A-5

4B.D.V5

【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x2+l相切，联立方程得

y=kx,b

9整理得x2-kx+l=0,则△=k2-4=0,解得k=±2,即-=2,故双曲线的离心率

[y=X2+1,a

8.(2016•青岛高二检测)设函数f(x)=|x2-9lnx在区间上单调递减,则实数a的取值范围是

()

A.(l,2]B.D.(0,3]

，〃工,

【解析】选u.A.fOux9-1(x+3-)(-x-3)-(x>0),

XX

令f'(x)40得0<X43.

所以f(x)在(0,3]上单调递减，

fa-1>0,

所以解得l<aC.

(a+1<3,

9.已知双曲线互-々=l(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=V3x,它的一个焦点在抛物线

ab

y2=24x的准线上很(]双曲线的方程为()

x2y2x2y2x2y2x2y2

A—-----=1B--——1C-------—=1D—--=1

,36108*927,10836,279

x2y2

【解析】选B.因为双曲线乃匕=l(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，所以

ab

F(-6,0)是双曲线的左焦点即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=V3x,^W-=V3,

a

乂22

解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为92=1.

yz/

10.(2016・大连高二检测)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点，若三角形

OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36n,则p的值为()

A.2B.4C.6D.8

【解析】选D.因为“OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切，所以

△OFM的阳妾圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.

因为圆的面积为36n,所以圆的半径为6,

又因为圆心在OF的垂直平分线上,|0F|=5

所以]+t=6,p=8.

11.(2015•济南二模)已知函数f(x)=|x3+|ax2+bx+c在xi处取得极大值，在x2处取得极小值,

a+2b+4

满足刈日-1,0小240,1),则——丁的取值范围是()

a+2

A.(0,2)B.(l,3)

C.D.

【解析】选B.因为f(x)=|x3+|ax2+bx+c,

所以f'(x)=x2+ax+b.

因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值，在区间QD内取得极小值，

所以f(x)=x2+ax+b=0在(-L0)和。1)内各有T根，

f,(0)<0,f'(-l)>0,f'(l)>0,

[b<0,

即，1-a+b>0,

(1+a+b>0,

在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图，

\-a+b=0

飞成1，/

1+"+/>=()

a+2b+4b+1

........-=l+2x-

令其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,

b+1

分析可得0<廿,

a+2b+4

则1＜三才(3,

a+2b+4

所以——「的取值范围是(L3).

a+2

x2

12.(2016・厦门模拟)若点。和点F(-2,0)分别是双曲线”-y2=l(a>0)的中心和左焦点点P

a

—>—>

为双曲线右支上的任意一点，则OP-FP的取值范围为()

A.UU(3,+oo).

18.(12分)(2016•衡水高二检测)已知函数f(x)=x3-|x2+bx+c.

⑴若f(x)的图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围.

⑵若f(x)在X=1处取得极值，且XW时,f(x)<c2恒成立求C的取值范围.

【解析】(l)f'(x)=3x2-x+b,f(x)的图象上有与X轴平行的切线，则f'(x)=o有实数解.

即方程3x2-x+b=0有实数解.

所以△=1-1260,

解得b<^.

⑵由题意相x=l是方程3x2-x+b=0的小根，

+1=

设另一个根为x0,!OiJ<:

[xoxl=|,

「---

解得=-5，

、b=-2.

所以f(x)=x3--x2-2x+c,

f(x)=3x2-x-2.

当xe(一时,F(x)<0;

当XW(1,2]U—1,一|)时,f(x)>0.

222

所以当x=-§时,f(x)有极大值万+C,

又f(-l)=?c,f⑵=2+c,

所以当xw时,f(x)的最大值为f(2)=2+c.

因为当XW时,f(x)«2恒成立.

所以c2>2+c,解得c<-l或c>2,

所以c的取值范围是(-8,-1)u(2,+8).

19.(12分)已知椭圆的两焦点为Fi(函,0)后(6,0),离心率e=y.

Q)求此椭圆的方程.

(2)设直线Zy=x+m,若/与此椭圆相交于P,Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值

x2y2

【解析】(1)设椭圆方程为”+8=l(a>b>0),

a，bz

则d篝,

所以a=2,b2=a2-c2=l.

所以所求椭圆方程为了+丫2=1.

a=x+m,

⑵由b+4y2=4消去%

得5x2+8mx+4(m2-l)=0,

贝必=64m2-80(m2-l)>(X得m2<5(*).

设P(xi,yi),Q(x2,y2),

,8m4(m2-l)

贝！IXi+X2=--^~,X1X2=--------,

yi-y2=xi-x2,

IPQ匕(Xi-乂2)2+%一丫2)2

2_16(m2-l)

=2.

5

15

解得m2=甘，满足(*),

O

、，V30

所以m=±-^—.

20.(12分)已知函数f(x)=-^x3+2ax2-3a2x+b(a>0).

⑴当f(x)的极小值为《，极大值为-1时,求函数f(x)的解析式.

(2)若f(x)在区间上为增函数，在区间上是减函数，在上是增函数,

在上是减函数，在上是增函数，在上为增函数,在区间=-4,

—>—»

所以TATB=(xi+l,yi)-(x2+1/2)

=xiX2+(xi+X2)+l+yiy2

2k2+44

=1+---5-+1-4=f=1.

k2k2

解得k=±2.

(2)因为yi>0,

、YiYi4

所以tanzATF=-----=-n—=-------3-41.

勺+id+1T

4

当且仅当yi=—

即yi=2时取等号.

故NATF的最大值为*

22.(12分)已知函数f(x)=-|x3+|x2-2x(aFR).

⑴当a=3时,求函数f(x)的单调区间.

(2)若对于任意*£[1,+8渚3有f'(