高中数学：圆锥曲线复习题附答案解析

圆锥曲线复习题

1

1.已知点M与两定点£(1,0),F(4,0)的距离的比为一.

2

(1)求点例的轨迹方程；

(2)设点M的轨迹为曲线「，若经过点。(-2,3)的直线/与曲线「有且只有一个公

共点，求直线/的方程.

(3)若曲线「与x轴相交于A、B两点，点P是曲线「上不同于A、B的任意一点，直

线南、分别交直线x=6于M、N点.当点P变化时，以MN为直径的圆C是否经过

曲线「内的一定点？请证明你的结论.

【分析】(1)设"的坐标，由题意可得M的横纵坐标的关系，整理可得M的轨迹方程；

(2)过。的直线与曲线「相切时，分切线的斜率存在和不存在两种情况，当直线的斜率

不存在时显然满足条件，当直线的斜率存在时，设直线的方程，求出圆心到直线的距离，

由题意可得参数的值，进而可得切线的方程；

(3)曲线「的方程中，令y=0,可得横坐标的值，即可得A,8的坐标，设P的坐标,

由P在圆上，可得横纵坐标的关系，求出直线PB的方程，与x=6联立，求出M,

N的坐标，求出以MN为直径的圆的方程，由P关于x轴的对称性可得定点必在x轴上，

令j=0可得x的值，进而可证得结论.

【解答】解：(1)设M(x,》)，由题意可得餐

V(x-4)2+y22

整理可得：/+)?=4,

即M的轨迹方程为：/+/=4；

(2)由题意知/是圆/+丁=4的切线，

⑴当切线的斜率不存在时，x=-2满足方程；

(〃)当/的斜率存在时，设直线/的方程为：y=k(x+2)+3,

即履-)，+24+3=0,

所以圆心到直线/的距离d=毕型

行

由题意可得2=毕坦，解得：仁-舟，

麻12

所以切线/的方程为：尸一W(x+2)+3,即5x+12y-26=0,

所以圆的切线方程为：x=-2或5x+12y-26=0；

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（3）证明：在/+夕=4,中，令y=0,可得A（-2,0）,B（2,0）,

设尸（xo，yo）,则（yjwo）,

所以B4：y=-^（x+2）,PB：y=（x-2）,

'XQ+2'x0—Z

令x=6,得M（6,8y°）,N（6,4yo）,

XQ+2XQ—2

所以圆C为：（X-6）2+b，-（2-+且竺）］2=（_1Z0__义包）2,

XQ+2XQ—2XQ+2XQ—2

化简可得：-12x4-36-（fy。-十.2过）.+=（）,

XQ+2XQ_2XQ—4

因为32+涧2=4,所以—Jo=一］,

UJUr，…%。2-4

所以可得7+y2-12x+4-（—"-+—"-）y=0,

XQ+2XQ-2

由动点P(x,y)关于X轴的对称性可得，定点必在X轴上，

令y=0,可得x=6±4&,又(6-4V2,0)在曲线「内，

所以可证得：当点P变化时，以MN为直径的圆C经过曲线「内一定点(6-4V2,0).

【点评】本题考查求轨迹方程直线与圆的综合，圆恒过定点的证明方法，属于中档题.

2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴，长轴长为2旧，离心率为手.

(1)求椭圆C的方程；

(2)经过椭圆的左焦点Q作直线/,且直线/交椭圆C于P,。两点，问x轴上是否存

在一点M,使得诂・血为常数，若存在，求出M坐标及该常数，若不存在，说明理由.

【分析】(1)利用待定系数法设出椭圆的标准方程，由椭圆的几何性质，列出方程组，

求出“，c的值，再利用a,b,c的关系求出儿即可得到答案；

(2)①当直线/与x轴不垂直时，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，得到韦达定理，

然后利用数量积的坐标表示结合韦达定理化简诂•成，利用它是常数，求出,的值，得

到M坐标及该常数;②当直线/与x轴垂直时，求出P,Q的坐标，求出t的值以及常数.结

合以上两种情况，即可确定答案.

2y2

【解答】解：⑴设椭圆C的标准方程为x国+言=l(a>b>0),

（2a=2V3

a=V5,

由题意可得,c_V3，

J一3

所以b2=a2-c2—2

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x2y2

故椭圆C的方程为+—=1；

32

(2)由(1)可知，Fi(-1,0),

假设在x轴上存在一点M(f,0),使得诂恒为常数.

①当直线/与x轴不垂直时，设其方程为y=Z(x+1),设P(xi，yi),Q(X2，”)，

y—k(x+1)

联立方程组y2,可得(2+3必)/+6必x+3必-6=0,

国+2=1

所以11+%=--——7，%i%2=

22+3/2+3/

故MP-MQ=(%1-t)(%2-t)+=(%1-t)(%2-C)+々2(/+1)(%2+1)

=(fc2+1)%1%2+(fc2-0(%1+%2)+1+产

2

_(必+1)(3&2-6)(-22_(6t-l)fc-62

---------n-------------?--rK十。--------O---1C

2+3公2+3/c，2+3-

(2T)(2+3/)-(4t+竽)14t+竽

=------------7------—+d=/+2t—5------5

2+3—32+3/

因为诂•血是与女无关的常数，

则有4t+号1A=0,4即t=V，

此时MP-MQ=-学

②当直线/与x轴垂直时，此时点P、。的坐标分别为(—1,竽)，(—1,一孥)，

当t=-g时，亦有诂•威=一茅

综上所述，在x轴上有在定点M(-g,0),使得诂•麻恒为常数，这个常数为――.

【点评】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与

圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设

而不求”的方法进行研究，属于中档题.

3.在平面直角坐标系xOy中：

①已知点A(V3,0),直线%%=竽，动点尸满足到点A的距离与到直线/的距离之

V3

比Lb三；

T2T1T

②已知点S,T分别在x轴，y轴上运动，且|S7l=3,动点P满OP=(0S+方。7；

③已知圆C的方程为』+丁=4,直线/为圆C的切线，记点做百，0),8(-旧，0)到直

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线/的距离分别为di,d2,动点P满足照|=由，\PB\=di.

（I）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点尸的轨迹方程;

（H）记（I）中动点P的轨迹为E,经过点。（1,0）的直线/'交E于M,N两点,

若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q,求点。纵坐标的取值范围.

【分析】（1）分别由①②③条件列出x,y关系式，化简即可得轨迹方程;

（2）设。（0,和），当/'斜率不存在时，和=0,当厂斜率存在时，设直线厂的方程

为了=%（》-1）（上片0）,M（xi，巾），N（X2，”），联立直线/'与椭圆方程，由根与系

8k之

数的关系得，X1+X2=*W，进而得到线段MN中点（X3,"），则X3,”，线段MN的

1+4F

垂直平分线的方程，令x=0,得川二一^二占，再求出范围.

1+4F1+4fc

l（x-V3）2+y22

【解答】解：（1）若选①，设P（x,y）,根据题意，-----南一，整理得彳+/=1,

lx--I

x2

所以动点P的轨迹方程为一+）2=1;

4

若选②，设P(x,y),S(X’，0),T(0,y')则J(x')2+(y，)2=3(*).

=

-»2T1-*\XXY'—-TY

因为OP=《OS+gOT,所以《:，整理得2”，

="(y'=3y

22

代入(*)得;+尸=1,所以动点P的轨迹方程为3+y2=1；

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若选③，设尸（心》），设直线/与圆相切于点〃，则I例+|P8|=di+d2=2|O”|=4>2遮=\AB\f

由椭圆定义知点尸的轨迹是以A,5为焦点的椭圆，所以2a=4,2c=|AB|=2V3,

x2

故〃=2,c=V3,h=\,所以动点P的轨迹方程为一+y=1;

4

（2）设。（0,刃），当/'斜率不存在时，然=0,

当/'斜率存在时，设直线/'的方程为（x-1）（20）,M（XI，yi）,N（X2,”）,

y=k（x—1）

由彳2，消去），整理得（1+4狂）/-8Fx+41）=0

（彳+y=1

△>0恒成立，Xl+X2=----2,