苏教版2019版高中数学必修第一册第5章函数概念与性质知识点清单

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第5章函数概念与性质知识点清单

目录

第五章函数概念与性质

5.1函数的概念和图象

5.2函数的表示方法

5.3函数的单调性

5.4函数的奇偶性

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第五章函数概念与性质

5.1函数的概念和图象5.2函数的表示方法

一、函数的概念

1.函数的概念

一般地，给定两个非空实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A

中的每一个实数x,在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A—B为从

集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),xEA.其中，x叫作自变量，集合A叫作

函数的定义域，集合｛y|y=f(x),x£A｝称为函数的值域.

2.函数的三要素

(1)一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.

(2)如果两个函数的对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数.

二、函数的表示方法

1.列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法.

2.解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法.

3.图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法.

三、分段函数

1.在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式的函数叫作分段函数.

四、求函数的定义域

1.已知函数解析式求定义域

⑴如果函数解析式是整式，那么在没有指明它的定义域的情况下，函数的定义域是实

数集R.

⑵如果函数解析式含分式或0次黑，那么函数的定义域是使分母或指数悬的底数不为

零的实数的集合.

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⑶如果函数解析式仅含偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零

的实数的集合.

⑷如果函数解析式是由几部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都

有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集).

⑸由实际背景确定的函数，其定义域不仅要考虑解析式有意义，还要考虑自变量的实

际意义.

2.求抽象函数的定义域

⑴无论什么样的函数，定义域指的永远是自变量的取值范围.

⑵相同的对应关系所作用对象的范围是一致的，即函数他)，f(cp(x)),f(h(x))中的匕

cp(x),h(x)在对应关系f下的取值集合相同.

⑶抽象函数定义域的求解类型及方法：

①已知f(x)的定义域为A,求f(cp(x))的定义域，实质是已知cp(x)的取值集合为A,求x

的取值集合.

②已知f((p(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知(p(x)中的x的取值集合为B,

求出cp(x)的取值集合，此集合就是f(x)的定义域.

③已知f((p(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域，实质是已知管(X)中的X的取值集合

为C,求出(p(x)的取值集合D,再令g(x)的取值集合为D,求出x的取值集合，此集

合就是f(g(x))的定义域.

五、求函数的值或值域

1,求函数值的方法

⑴已知函数f(x)的解析式时，只需用常数a替换解析式中的X进行计算即可.

(2)已知函数f(x)与g(x),求f(g(a))的值，应遵循由内到外的原则.

注意：用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.

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2,求函数值域的常用方法

⑴观察法：对于一些比较简单的函数，可根据其解析式的结构特征通过直接观察得到

值域.

⑵图象法：画出函数的图象，利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数

的值

域.

⑶配方法：此方法是求二次函数值域的基本方法，通常把函数式通过配方转化为完全

平方式与常量和差的形式.

⑷分离常数法：主要针对形如y二黑(ac声0,adXbc)的函数，常把分子分离成不含

had

自变量的形式，即y二喏二%三，其值域是｛y|yx》.

cx+dccx+ds’c

⑸换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±而王④，通过换元把它们转化为熟悉的函

数，间接求出原函数的值域，注意换元后新元的取值范围.

⑹判别式法：将函数转化为关于自变量的二次方程，利用判别式求因变量的范围，常

用于“分式函数”等，注意自变量的取值范围.

⑺反表示法：将函数中的自变量用因变量表示，结合原函数的定义域解不等式，从而

求出函数的值域.

六、求函数的解析式

1.当函数类型已知时，可采用“先设后求，待定系数”法来求其解析式.解题步骤如

下：

⑴设出含有待定系数的解析式.

⑵把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程(组).

⑶解方程(组)，得到待定系数的值.

⑷将所求待定系数的值代回原式并化简整理.

2.当函数类型未知时，可根据条件选择以下方法求其解析式.

⑴代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式，通常把g(x)作为一个整体替换f(x)

中的X.

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⑵换元法：已知f(g(x))是关于x的函数，求f(x)的解析式，通常令g(x)f由此能解出

x二e(t),将x二e(t)代入f(g(x))中，求得f⑴的解析式，再用x替换匕便可得到f(x)的解

析式.

⑶配凑法：将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法，使之变形为关于g(x)

的函数解析式，然后以x代替g(x),即得所求函数解析式，这里的g(x)可以是多项式、

分式、根式等.

⑷消元法(方程组法)：已知f(X)与喂)或f(-x)的解析式，可根据已知条件用｝或-x替换

X,再构造出另外一个等式，组成方程组，通过解方程组求出f(x).

⑸赋值法：依题目的特征，可对变量赋特殊值，由特殊到一般寻找普遍规律，从而根

据找出的一般规律求出函数解析式，此法一般适用于求抽象函数的解析式.

七、分段函数

L对分段函数的理解

⑴分段函数是一个函数，而不是几个函数，只是根据自变量的不同范围分成了几段而

已.

⑵画分段函数图象时，应分别画出每一段函数的图象.

⑶研究分段函数时，先分段考虑，再整体把握，注意各段的自变量在区间端点处的取

值情况.

2.分段函数的求值策略

⑴已知自变量的值求函数值的步骤：

①确定自变量属于哪一个区间；

②代入该区间所对应的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x。))的形式时，应从内

到外依次求值.

⑵已知函数值求对应的自变量的值：可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注

意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再

求解.

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5.3函数的单调性

一、函数的单调性

1.一般地，设函数y=f(x)的定义域为A,区间IUA.

(1)如果对于区间।内的任意两个值Xi,x2,当X1<X2时,都有f(Xi)<f(X2),那么称y=f(x)

在区间I上单调递增(如图1),I称为y=f(x)的增区间.

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称f(x)是增函数.

(2)如果对于区间I内的任意两个值Xi,x2,当Xi<X2时,都有f(xj>f(x2),那么称y=f(x)

在区间I上单调递减(如图2),I称为y=f(x)的减区间.

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称f(x)是减函数.

⑶如果函数y二f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么称函数y=f(x)在区间I上具有

单调性.增区间和减区间统称为单调区间.

2.易错

⑴某函数有两个或两个以上的单调递增(减)区间时，单调递增(减)区间之间用”或

者“和”连接，不用U“或”“且”连接.

⑵函数在区间端点处无意义时要写成开区间，有意义时开闭均可.

二、函数的最值

设y二f(x)的定义域为A.

如果存在x°EA,使得对于任意的xEA,都有f(x)Wf(x0),那么称f(x。)为y=f(x)的最大

值，1"己为ymax=f(Xo)I

如果存在x°EA,使得对于任意的xEA,都有f(x)Nf(x0),那么称f(x。)为y=f(x)的最小

值，1^,为Ymin—f(Xo).

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三、函数单调性的判断(证明)

1.判断函数单调性的方法

⑴图象法：根据函数图象的升降情况进行判断.

(2)直接法：运用已知结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例

函数的单调性均可直接得出.

⑶性质法：

①f(x),g(x)在公共区间上的单调性如下表：

y=f(x)y二g(x)y=f(x)+g(x)y=f(x)-g(x)

增增增

增减增

减减减

减增减

②复合函数单调性的判断依据：

由函数u二g(x)与函数y=f(u)复合,得到函数y=f(g(x)),其单调性的判断方法如表所示：

u=g(x)y二f(u)y=f(g(x))

增增增

增减减

减增减

减减增

复合函数的单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时单调递增，

相异时单调递减.注意函数的定义域.

2.利用定义证明函数单调性的步骤

(1)取值：设X1,X2是所给区间内的任意两个值，且X1<X2；

⑵作差、变形：计算f(X〉f(X2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化

为易判断正负的关系式；

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(3)判断符号：确定f(x1)-f(X2)的符号；

⑷下结论：根据f(X>f(X2)的符号与增函数、减函数的定义确定单调性

四、函数单调性的应用

1.利用函数的单调性求解最大(小)值

若函数f(x)在区间［a,b］上单调递增(减，则函数f(x)在X=a时取得最小(大)值f(a),

在x二b时取得最大(小)值f(b).

若函数f(x)有多个单调区间，则先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决

定出最大(小)值.

2.利用函数的单调性解不等式

利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义，将符号脱掉，列

出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.

3.利用函数的单调性求参数的取值范围

⑴利用单调性的定义:在单调区间内任取Xi,x2,且X1<X2,由f(Xi)-f(X2)<0(或f(Xi)-f(x2)>0)

恒成立求参数的取值范围.

⑵利用具体函数本身所具有的特征：如根据二次函数的图象的对称轴相对于所给单调

区间的位置建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求参数的取值范围.

4.注意：

①若某个函数在区间［a,b］上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.

②根据分段函数的单调性求参数的取值范围时，一般从两方面考虑：一方面，每个分

段区间上的函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面，要考虑分界点处

函数值之间的大小关系.若是增函数，则分界点左侧值小于或等于右侧值；若是减函

数，则分界点左侧值大于或等于右侧值，由此列出另外的式子，从而解得参数的取值

范围.

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五、含参数的二次函数在某闭区间上的最大（小）值

1.解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y=aW-hy+KaXO）的形式,

再由a的符号确定其图象的开口方向，根据对称轴方程x二h得出顶点的位置，再根据

函数的定义域结合大致图象确定最大（小）值.

2,含参数的二次函数的最值问题的类型

（1）区间固定，图象的对称轴变动，求最值；

⑵图象的对称轴固定，区间变动，求最值；

⑶最值固定，区间或图象的对称轴变动，求参数.

求解时通常都是根据区间和图象的对称轴的相对位置进行分类讨论.

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5.4函数的奇偶性

一、函数的奇偶性

偶函数奇函数

设函数y二f(x)的定义域为A

定义如果对于任意的xEA,都有-xEA,如果对于任意的xRA,者R有-xEA,并

并且f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)且f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇

是偶函数函数

图象特征关于V轴对称关于原点对称

二、函数奇偶性的判断

1.判断函数奇偶性的常见方法

⑴定义法：定义域是

否既不是奇函数

否关于原

乂不是偶函数

点对称

“)=子＞)奇函数

/㈠)或K)偶函数

是/(T)与/㈤既不是

一的关系奇函数

期-动片作)乂不是

偶函数

既是奇

A~x)=-Ax)函数乂

且AT)于付是偶函

数

注意：如果直接判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)比较困难时，可以研究其等价形式，即判

断f(x)±f(-x)是不是。或(f(x)70)是不是±1.

⑵图象法：

义动,——「关于原点对称-加)为奇函数

的

图

象晟于y轴对称一「欣沃偶函数

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⑶函数奇偶性的运算性质:

设的定义域分别是在它们的公共定义域上具有的结论如表所示:

f(x),g(x)D.,D2,

f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)f(g(x))

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

注意：在f(g(x))中,g(x)的值域是f(x)的定义域的子集.

2.分段函数奇偶性的判断

判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量，再向对称区间转化,

并进行双向验证.若函数在x=0处有定义，则还要验证f(0),即判断分段函数的奇偶

性时必须判断每一段上函数是否都具有f(-x)=-f(x)或