高中数学数列通项学案

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求数列通项公式的常用方法

一、S〃与〃”的关系式法：

S],〃=1

,n>2

例1已知数列｛。“｝的前n项和s“=2"-1,求通项

解：当“=1时，S=2—l=l=q

当心2时，a,=s“一s,i=(2"-1)—Qi-1)=2"T

而4=»=1符合上式，.•.a“=2'T

例2已知数列｛/｝的前〃项和s“满足凡M=；s“，其中％=1,求右.

解：s“=3%+|①s,i=3%(n>2)②

①-②得an=3«„+1-3a„4a,,=3a„+1

即=g(/?>2)又％=：再=：不适合上式

an3333

z)4

数列｛七｝从第2项起是以§为公比的等比数列

注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由s“与明的关系式，类比

出怎T与.S,”的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验卬是否适合用上面的方法

求出的通项.

二、累加法：an-an_l=f(n),/(〃)是一个关于"的函数

例34=0,4"]+2〃-1,求通项

解:

2

"凡N―勺=2〃_]

an-an_{=2(〃-1)一1二2〃一3(〃22){n-1)

a3-a2=2x2-1=3(2)

(1-,—ciy=2x1—1=1⑴

(1)+(2)+---+(7?-1)

an-ax=1+3+5+…+(2〃-3)

:.ci"=1+3+5+••,+(2〃—3)

_(〃-1)(1+2〃-3)

~~2-

=(〃一1)2(〃22)

:4=0也符合上式

,勺=(”1)2

三、累乘法：—=f(n)

an-\

例4q=l,a“=」7a,i(〃N2,"eN*)求通项a.

n-l''

解：

n

•・y=-

.・乌=/7("Z2)(n-l)

a,i«-1

an-z«-2

“3_3

^"2⑵

a_2

2(1)

61

(l)x(2)x...x(/t-i)

n-ln

=2xx••«xx

2n-2n-l

—=n•/aA=1

q

an=n(n>2)

:4=1也符合上式

•,­%"

四、构造法：

（一）待定系数法

1.两边加常数：在数列｛/｝中有勺=履1+8（人力均为常数且左。0）,从表面形式上来

3

看凡是关于%T的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:

例5已知4=l,a„=2a“T+171>2,HGN*)求通项*

解:

,/an=2a,I+1(〃>2)

+见=2〃”_]+1+几

_1+A

=2(%+^―)

令士HI

.,.%+1=2«*+1)

.4,+1=2•.,〃]=1/.q+1=2

%+1

.・・数列｛4+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列

a”+1=（4+1）•2"T=2"

n

:.an=2-\（n>2）

•.•q=他符合上式

,n

2.两边加指数函数式：在数列｛4｝中有。,用=ban+c（b,c为常数且不为0,，”/eN*）”

型的数列求通项明.

处理方法：两边同除以得到一个“4=雨:,1+6”型的数列，再用上面（一）方

法处理，便可求出之的通式，从而求出巴.

C

例6数列｝满足：%=3q+i=2an+3・2"+：求4.

解:

4

・向=—+3

32%+3220+i2"

。”+|_&=3令c,喙

2“+i2”'

a.3

■■•^1-^=3c,=—=—

122

.•.{q}是以T为首项,以3为公差的等差数列

=-+3(«-1)=3«--

22

=幺

2"

3

也=2飞=2〃・(3"万)=(6〃-3)・2-

3.两边加一次函数型：4用=P4+an+b(P*1,0,a/°)

解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令。田+宜〃+1)+'=/?(/+皿+了)，与己

知递推式比较，解出x,y,从而转化为｛凡+m+»是公比为p的等比数列.

a

例7在数列｛。"｝中，G=；，%+i=~n+〃+1，求数列的通项an

解：由题意可得：an+i+k(<n+\]+h=-(ail+kn+b)

—2k=l2

满足：a„=-an+«+1,所以有，，得到

+1-k-2b=l

b--

4

新数列14-；〃一；

是以为首项，-1为公比的等比数列.

4

所以a“一；〃_：=_；,(_l)”।，即凡山〃+L(〃GN*

424'

ka

(二)取倒数法：适用于4=n-l〃之2,〃£N*)(k,m,p均为常数加w0),

叫i+P

两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于勺=①1+匕的

式子.

2a.

例8已知q=2,a“=-七InN2,nwN*)求通项a.

4T+2

解…f

5

1

J_=32=_L+_L即_L_(nN2,nwN*)

42%a,-2a„an-l242

数列,|是以!为首项，以1为公差的等差数列

22

.11/nIn

*2''22

2

=-(n>2)

n

••・q=2也符合上式

2

a=-

nn

(三)取对数法：适用于4'=4/(〃22)(p,q为非零常数)

例9已知a,=3,q=%/(〃22)求通项明

解：由q=3,。,,=。“_；(〃之2)知%>0

在4=4一：的两边同取常用对数得

lga“=lga,i2=2ig4T即的=2

1g1

•••数列｛1g%｝是以1g3为首项，以2为公比的等比数列

故lgq=2"T1g3=1g32""

22

an=3'1(n>2)q=3也符合上式an=3"'

五、隔项成等差数列、等比数列

例10各项均为正数的数列｛4｝的前n项和为S„,且3S“=anan+],则%”=.

k=l

【解析】V35„=anan+i：.3SnA=anAan(n>2)

两式相减得3(S“-S,T)=a,,(%+「%),即3a„=an(an+i-

又因为｛4｝的各项均为正数，所以用