高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (57)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题（高难度）（57）

一、单项选择题（本大题共7小题，共35.0分）

1.如图，正方体4BC0-418停1。1的顶点C在平面a上，若和&D与平面a都成60。角，则4也

与平面a所成角的余弦值为

AB

-1433

2.如图所示，在团4BC中,AB=BC=2/4BC=120。.若平面ABC外的点P和线段AC上的点

满足PD=DA,PB=BA,则四面体P8CD的体积的最大值为

A-1D.I

3.乌鸦喝水的故事家喻户晓，小明同学听完这个故事后，决定亲手做个试验.已知小明从家里找

的是一个底面直径为20a”，高为100cm的圆柱形瓶子，用相同的玻璃珠代替石子，若球形的玻

璃珠的直径为10。"，则在忽略瓶子厚度且玻璃珠不超出瓶口所在平面的情况下，瓶子中玻璃珠

所占有的最大体积为（）

A125OO7Ton13000710厂134007Ton140007To

A.---cm5B.cm5C.---cmJD.----cm5

3333

4.在棱长为2的正方体4BCD-4B1GD1中，E为棱CG的中点，P,Q

分别为面A/iGDi和线段B]C上的动点（P,Q不重合），则4PEQ周长

的最小值为（）

A.2V2

B.同

C.VTT

D.2V3

5.已知在三棱锥S-ABC中,SA=SB=SC,且S在底面的射影在AABC内，设二面角S-4B-C,

S-BC-A,S-CZ—B分别为a,/?,y,^^ASB>^.BSC>/.CSA,贝U()

A.a>p>yB.y>p>aC.0>a>yD.不确定

6.已知直四棱柱4BC0-&BiCi5的侧棱长为8,底面矩形的面积为16,一个小虫从C点出发沿

直四棱柱侧面绕行一周后到达线段eq上一点M,若AM，平面&BD,则小虫爬行的最短路程为

（）

A.8B.16C.2V65D.4V17

7.将边长为5的菱形A8CQ沿对角线AC折起，顶点8移动至8'处，在以点B',A,C,O为顶点

的四面体ZB'CD中，棱AC,B'D的中点分别为E,F,若4c=6,且四面体AB'CC的外接球球心

落在四面体内部，则线段E尸长度的取值范围为（）

A.（华,4）B.（与,2再）C.（V3,2V3）D.（6,4）

二、多项选择题（本大题共1小题，共4.0分）

8.己知矩形ABC£>,48=1,BC=2,将EMBC沿AC折起到ElAPC位置，则下列结论正确的是（）

A.三棱锥P-4C0体积最大值是公

15

B.存在某个位置使得PC1PD

C.三棱锥P-4CO的外接球半径为定值

D.存在某个位置使得力C1PD

三、填空题（本大题共9小题，共45.0分）

9.在三棱锥P-4BC中，PA1平面ABC,AB=AC=2痘,4BAC=120°,PA=4,则三棱锥P-

4BC外接球的表面积为.

10.已知一个高为旧的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2次的等边三角形，则三棱锥的表

面积为，若三棱锥内有一个体积为U的球，则丫的最大值为

11.已知球。的内接正方体4BCD-的棱长为1,点尸在线段BDi上，过点P垂直于BO】的

平面截球。所得的截面圆的面积为|兀，则线段PB的长为

12.在三棱锥4一8。。中，48/^=48。。=60。，二面角4一BC-D的余弦值为一/当三棱锥4一

BCD的体积的最大值为2四时，其外接球的表面积为

13.如图，在棱长为1的正方体ABC。一418道［。1中，点M是4。的

中点，动点P在底面ABCC内（不包括边界），若&P〃平面

则GP的最小值是-

14.如图，正方形4BC。中，E,尸分别是BC,CO的中点，沿AE,EF,

AF把这个正方形折成一个四面体，使8,C,。三点重合，重合后的点

记为若四面体内切球的表面积为则正方形的边长

G.4-EFG4488

为.

15.如图所示，点S在平面48c外，SBLAC,SB=AC=2,E、F

分别是SC和AB的中点，则E尸的长是.

16.在直三棱柱ABC—4B1G中，484（7=120。且48=4。=3,BB1=4,则此三棱柱外接球的表

面积为________

17.己知正三棱锥P-4BC,AB=2V3.PA=25/5，则此三棱锥外接球的半径为.

四、解答题(本大题共U小题，共132.0分)

18.在四棱锥P-ABCD中，侧面△PAD为正三角形，底面A8CD为棱长4B=2,乙4BC=60。的菱

形，平面ABCD_L平面N分别是4。与PO的中点，E在AP上且荏=乙存.

4

(1)证明ME1平面MNC-,

(2)求三棱锥EMNC的体积.

19.如图，已知圆柱内有一个三棱锥4-BCD,AO为圆柱的一条母线，DF,8c为下底面圆。的直

径，AD=BC=2.

(I)在圆柱的上底面圆内是否存在一点E,使得EF〃平面ABC?证明你的结论.

(II)设点”为棱AC的中点，DN=2NC<求四棱锥B-ADNM体积的最大值.

20.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABC。为平行四边形，平面PAB，平面ABCD,PB=PC,^ABC=

45。，点E是线段PA上靠近点A的三等分点.

(1)求证：AB1PC；

（2）若4P4B是边长为2的等边三角形，求直线与平面PBC所成角的正弦值.

21.某工厂有一张边长为4m的正方形薄铝板48CD（图甲），点E,F分别在A8,BC上，且4E=CF=x（

单位：m）.现将该薄铝板沿EF裁开，再将4EME沿OE折叠，4DC尸沿。F折叠，使D4,CC重

合，且4c重合于点M,制作成一个无盖的三棱锥形容器D-MEF（图乙），记该容器的容积为

单位：m3）,（注：薄铝板的厚度忽略不计）

（1）若裁开的三角形薄铝板EF8恰好是该容器的盖，求x,K的值:

（2）试确定x的值，使得无盖三棱锥容器D-MEF的容积V最大.

22.如图，四边形A8CC为正方形，PAHCE,AB=CE=^PA=1,P4，平面ABCD

（1）证明：PE1平面

（2）求点C到平面PBD的距离.

23.某工厂有一张边长为4根的正方形薄铝板ABCD（图甲），点E,尸分别在A&BC上，且4E=CF=x（

单位：m）.现将该薄铝板沿EF裁开，再将AIME沿。E折叠，△DC尸沿OF折叠，使D4,DC

重合，且4c重合于点例，制作成一个无盖的三棱锥形容器D-MEF（图乙），记该容器的容积为

X单位：m3）,（注：薄铝板的厚度忽略不计）

图甲

(1)若裁开的三角形薄铝板EFB恰好是该容器的盖，求x,V的值;

(2)试确定x的值，使得无盖三棱锥容器D-MEF的容积V最大.

24.三棱锥P-ABC中，侧面P4C底面ABC,Z.APC=90°,且4B=4,AP=PC=2,BC=2VL

(1)求证：PA1平面PBC；

(2)若E为侧棱PB的中点，求直线AE与底面48c所成角的正弦值.

25.如图，在直三棱柱4BC-&Bi的中，△&B1Q为等腰直角三角形，A/i=B&=2,。为棱BB】

上的点，E为棱CCi的中点，BBi=24iBi

(1)若例为BiCi的中点，44上是否存在点N,使得MN〃平面4DE?若存在，求出标的值;

若不存在，请说明理由.

(2)求几何体ACE-&B1G的体积.

26.如图，在平行六面体ABCD—力道传1。1中，AB=ArB=AAx=2AD,/-DAB=pADDMi为矩

形.

(I)证明：平面DBBiDi1平面BCG%

(口)求直线4名与平面44CG所成角的正弦值.

27.平面凸六边形MBB1NGC的边长相等，其中B/C1C为矩形，乙BMC==90。.将^BCM,

△/GN分别沿BC,BiG折至ABC,且均在同侧与平面BBiGC垂直，连接4人,如图

所示，E,G分别是BC,CG的中点.

(1)求证：多面体4BC—4BiG为直三棱柱;

(2)求二面角4-EG-4平面角的余弦值.

28.如图，四棱锥P-4BC。中，底面ABCD是梯形,NABC=

90°,AB=1,BC=立,DC=2,E是棱。C的中点；侧面PAD

是正三角形，侧面P4。1底面A8CD

①求证：PE工BD；

②求点4到平面的距离.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

本题考查直线与平面所成的角，考查余弦定理的运用，考查空间想象能力，属于难题.

由题意如&C与直线直线为E）的余弦值恰为4C与平面a所成角的正弦，利用余弦定理求解即可.

解：设直线/过点儿且垂直于a,则与411y都与直线/夹角为30。，连结BQ,

由题意得是等边三角形，取中点E,

由题意得&E可以承担直线/的角色，但同时与直线4道、4O夹角为相等的直线，最小也要30°,

••・此时直线/是唯一的，由题意知&C与直线“直线&E）的余弦值恰为&C与平面a所成角的正弦，

设正方体4BCD-&B1C1D1的棱长为2,

则&C=V22+22+22=2V3，CE=|V22+22=近，A、E=J(2>/2)2-(V2)2=V6-

•••设力iC与平面a所成角为0,

&<2+4遇2-<£2_12+6-2_272

则sin。=COS/J41cE

2XA1CXA1E2X273X763

41c与平面a所成角的余弦值为：cosJ=Ji一（沿;=i.

故选B.

2.答案：B

解析：

本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，对思维能力和

解题技巧有一定要求，难度大.

由题意，&ABD34PBD,可以理解为APB。是由△ABD绕着8。旋转得到的，对于每段固定的

底面积BCD为定值，要使得体积最大，APBD必定垂直于平面ABC,此时高最大，体积也最大.

解：如图，M是4c的中点.

①当40=t<4M=旧时，如图，此时高为P到B力的距离，也就是4到8。的距离，即图中AE,

Z)M=V3-t,由△4DE-AB0M,可得

K=|xjx(2V3-t)x1品小嵩fee⑹

②当4。=t>4M=遍时，如图，此时高为尸到8力的距离，也就是A到8。的距离，即图中AH,

tMD

R

DM=t-^3,由等面积，可得940XBM=180xA”,

xtx1=A/3)2+1^则hJ(V3-t)2+i

联通”必"前小满g"顼

综上所述嵩『CM⑸’

令m=J(V5_t)2+]e[1,2),则u=m=1时，Vmax=

故选B.

3.答案：B

解析：

本题考查球，圆柱的体积公式及几何体的性质，考查学生的运算能力及化归能力，属于中档题,

解：由题意，要装更多的球，则需球和圆柱型瓶子的侧面相切，且相邻的4个玻璃球两两相切,

这样相邻的4个玻璃球的球心连线构成棱长为10c机的正四面体，

如图，E,F分别为正四面体相对棱的中点，

因为CF=DF,所以EFlCD,

同理可得EF1AB,E尸为相对棱的距离，

因为CF=5V3cm,

所以EF=l(5V3)2-52=5V2cm>每装两个玻璃球为称为“一层”，这样装〃曾玻璃球，

则最上层玻璃球球面上的点距离瓶底的距离为[10+5V2(n-l)]cm.

若使玻璃球不超出瓶口所在平面，则需满足10+5V2(n-1)<100-

解得n<1+9V2.

所以最多可装13层玻璃球，故瓶子中玻璃球所占有的最大体积为

26X±XTTX53

33

故选3.

A

B

E

C

4.答案：B

解析:

由题意得：APEQ周长取最小值时，P在&C1上，在平面BiGCB上，设E关于&C的对称点为例，

关于BiG的对称点为M求出例M即可得到APEQ周长的最小值.本题考查棱柱的结构特征，考查

对称点的运用，考查余弦定理，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中

档题.

解：由题意得：APEQ周长取最小值时，P在BiG上，

在平面aGCB上，设E关于aC的对称点为M,关于BiG的对称点为N,

连结MN,当MN与B1Q的交点为P,MN与B]C的交点点M时，

则MN是4PEQ周长的最小值，

EM=2,EN=V2,NMEN=135°,

...MN=J4+2-2X2XV2X（一号）=VlO-

PEQ周长的最小值为同.

故选反

5.答案：A

解析：

本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算

求解能力，是中档题.

设S在底面回4BC内的射影为O,连接S。，则SO工平面ABC,过。作0。_L4B交AB于。，过。作

OEA.BC交BC于E,过。作OFJ.AC交AC于F,推导出4B>BC>C4,得至l」SD<SE<SF,由

此得到a>0>y.

解：如图，设S在底面UMBC内的射影为O,连接SO,则SOJ■平面ABC,过。作0D1AB交AB于

D,过。作0E1BC交8c于E,过。作OF14C交AC于尸，

连结OA,OB,OC,SD,SE,SF,则a=/SO。，p=ASEO,y=zSFO,

•・•SA=SB=SC,乙ASB>乙BSC>乙CSA,

：•AB>BC>CA,SD<SE<SF,

在R4S0D.RtASOE.RtASOF中，sina=sin£=弟siny=

：•sina>sin/?>siny

因为y=sinx在（0.上为增函数，所以a>£>y.

故选A.

6.答案：C

解析：解：因为AM_L平面4BD,8Du平面&BD,

所以AM1BD,

又CQ1BO,AMnCCr=M,AM,CCrc^FffiACM,

所以BDJ_平面ACM,

乂ACu平面4cM,所以4CJ.BD,

故矩形ABCD为正方形，所以底面边长为4.

设AC与BO的交点为O,连接40,

因为AM_L平面力1BC,4iOu平面4记。，所以2M_L4i。，

可证△Ai40sZ\4CM,

所以止=把，

AOCM

所以吃=越，

2V2CM

所以CM=2.

将直四棱柱48。。一&当。1。1的侧面沿。6展成一个矩形，连接CM即为最短，所以CM=

V162+22=2V65.

6C；

故选：c.

首先基本的思路是利用侧面展开图求最小值，前提是先根据AM1平面4BD确定M点的位置，最后

利用勾股定理计算即可.

本题考查棱柱的性质以及利用侧面展开图求侧面两点间距离的最小值问题，同时考查学生利用转化

思想解题的意识，以及学生的直观想象、数学计算等核心素养.属于中档题.

7.答案：A

解析：

由题意画出图形，可证AC1平面B'ED,得到球心。位于平面B'ED与平面ACF的交线上，即直线EF

上，由勾股定理结合=OB',0E<EF,后?<岳8'=4可得线段£：尸长度的取值范围.

本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，属中档题.

解：如图，由已知可得，AC±B'E,且4clDE,.•.力C_L平面B'EC,

•••E是AC的中点，到点4、C的距离相等的点位于平面ACF内，

同理可知，到点B'、。的距离相等的点位于平面ACF内，B|X/\

••,球心。到点A,B',C,。的距离相等，.•.球心。位于平面B'E。与平面ACF的\

交线上，即直线EF上.

•••球心。落在线段E尸上(不含端点瓜F),

显然EF_LB'D,由题意£71=3,EB'=4,则。42=0七2+9,A

SLOB'2=OF2+FB'2=OF2+EB'2-EF2=(EF-OE)2+16-EF2=OE2+16-2EF-OE.

22则

•••OA=OB',0E+9=OE+16-2EF-OE,OE=—2EF,

显然。E<EF,.•.白<EF,即EF>包.

2EF2

又EF<EB'=4,且<EF<4.

2

故选A.

8.答案：AC

解析：

本题考查的是三棱锥的体积，线线垂直，三棱锥外接球半径.

根据三棱锥的体积，线线垂直，三棱锥外接球半径等知识点逐一判断即可得出答案.

解：当面PAC_L平面AC。时，

三棱锥P-ACD体积最大，

“YCO=]x：xlx2x*=等，选项A正确；

假设存在某个位置使得PCLPD，贝iJCO>PC,矛盾，所以选项B错误；

设AC中点为。，有=0C=0P=。。=在，

2

即三棱锥P-4co的外接球半径为更，选项C正确；

2

假设存在某个位置使得ACLPD-过P作PM±AC于M,

则ACJ•平面PM。，AC±MD,矛盾，所以选项。错误，

故选AC.

9.答案：647r

解析：

本题考查三棱锥的外接球表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键.

先补形成三棱柱，确定球心的位置。，求出2C,可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外

接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积.

解：如图，先将三棱锥P-力BC补形成三棱柱PB'C'-48C,

设△ABC外接圆的圆心为O',过O'作直线。'。〃1平面A8C交平面尸B'C'于0",取。'0”的中点0,

显然，点0到三棱柱PB'C'-ABC的6个顶点的距离相等，则点0为三棱锥P-ABC外接球的球心.

•••AB=AC=2V3,/-BAC=120°,

由余弦定定理得BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosl200=36,BC=6,

•••由正弦定理可得44BC外接圆的直径2«r=BC=逅6=4.,3n,z

2

•••O'A=r=2-/3,

vPA1平面ABC,PA=4,贝lj。。'=2,

.1该三棱锥的外接球的半径为04=J(00，)2+(0%)2=卜+(2⑨2=4,

该三棱锥的外接球的体积47rx42=64TI.

故答案为：647r.

10.答案：9遍,噜

解析:

本题考查三棱锥的表面积及其内切球的体积.考查空间思维能力，属于较难题.

根据题意，确定出满足条件的球为该三棱锥的内切球，对应的等量关系式为一个大三棱锥的体积等

于若干个小三棱锥的体积和，从而建立其内切球半径所满足的条件.

解：该三棱锥侧面的斜高为J(3x3+遍2=2,

WJ%=3X1X2V3X2=6V3,

S底=3x2A/3x3=3A/3,

所以三棱锥的表面积S差=6V3+3V3=9V3.

由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大.

设三棱锥的内切球的半径为r,

则三棱锥的体积嚷=”走•r=齐座•亚

所以r=更，

3

所以三棱锥的内切球的体积最大为监ax=^r3=—.

max327

故答案为9次，%.

27

11.答案：白或警

解析：解：如图所示，由题意可知BQ是球的直径，P是截面圆的圆心，设。为球心，例为截面圆

上任一点，

可知则0M=R,由已知得2R=V3.AR=—,

2

设截面圆的半径为『，则兀/=拳

PB=R-OP=,

263

或PB=R+OP=—+—=—.

623

故答案为：3或递.

33

根据题意可知，是球的直径，P是直径的一点，因为截面与BDi垂直，所以P8即为球心到P的

距离加上半径，或半径减去P到球心的距离，所以只要算出球心到户的距离即可.

本题考查球的内接正方体问题，以及球的截面圆的性质，正确分析出BO1是圆的直径是解题的关

键.属于中档题.

12.答案：247r

解析：

本题考查三棱锥的体积公式，二面角的定义以及球的表面积等知识，考查了推理能力与计算能力，

属较难题.

由题意画出图形，可知当AB=4C,BD=CO时，三棱锥4-BCD的体积最大，此时，&ABC与4BDC

是等边三角形，再由三棱锥4-BCD的体积的最大值为2①，求解外接球的半径，则外接球的表面积

可求.

解：如图，设球心。在平面A8C内的射影为。1，在平面BCO内的射影为。2，

取BC中点M,连接。1M、02M,

•••01、。2为△48C、ABC。的外接圆圆心，

•••01M1BC,02M1BC,

则二面角A-BC-。的平面角为401Mo2，则8SNO1MO2=

点A在截面圆01上运动，点。在截面圆。2上运动，

由图知，当AB=AC,BD=CD时，三棱锥A-BCD的体积最大，此时△48。与4BDC是等边三角形,

则A、Oi、M三点一线，I）、外、M三点一线,

设BC=a,

23

则4M=DM=ya,S&BCD=^-a,h=AMsin（rt-z.01M02）=ya.VA_BCD=|SA0BC-h=^a=

2布

解得a=2W，所以DM=3,D02=2,02M=1,

设z_4MD=20,则cos28=2cos2。-1=-3解得tan。=&，

所以。。2=V2O2Af.

又02M=1,所以。。2=V2,

则球。的半径R=y/DO2+OO2=V6>

故所求外接球的表面积为S=4兀/?2=24TT,

故答案为247r.

13.答案：建

5

解析：

本题考查线面平行的应用，面面平行的判定与性质，正方体的结构特征，考查空间想象能力和运算

求解能力，属于中档题.

在&D1上取中点Q,在BC上取中点N,连接。N,NB「B^Q,QD,则动点尸的轨迹是DN（不含。，

N点）.又CQ_L平面A8C。，当CP10N时，C4取得最小值.运用勾股定理求解即可

解：在&£»i上取中点。，在BC上取中点N,连接ON,NBi，BiQ,QD.如图所示：

vDN//BM,DQ//&M,且DNnDQ=D,=

.♦•平面BiQDN〃平面&BM,则动点P的轨迹是DN（不含。，N点）.

又CC]，平面ABCD,

当CPJ.DN时，|C[P|取得最小值.

此时，叱嬴=雷=扁=套，

•♦・21》崎+12=鼻

故答案为早

14.答案：2

解析：

本题主要考查球体表面积公式，考查空间想象能力，属于较难题.

设正方形边长为a,内切球半径为r,利用等体积法有有匕_EFG=Vo-EFG+Vo-AEF+^O-AEG+^O-AFG-

可得a=8r,再结合已知进行求解即可.

解：依题意，折叠后的四面体如图1.设正方形边长为。，内切球半径为「，贝i〃G=a,EG=FG=].记

四面体内切球球心为。，如图2,

^A-EFG=^O-EFG+^O-AEF+^O-AEG+^O-AFG-

BPVA-EFG

=3(S&EFG+SfEF+S-EG+S—FG),丁，

即工xix-x-xa=-xa2xr,所以a=8r.又4〃丁2=1即r»=工，所以Q=2.

3222344

故答案为2.

图2

15.答案:V2

解析：

本题考查棱锥的结构特征，属于中档题；

取SA的中点M,连接ME,MF.又分别是SC和AB的中点，利用数量积的中位线定理可得:ME〃/1C,

MF//SB,ME=^AC=1,MF==1.又SB14C,可得EM_LFM.在Rt△EFM中，利用勾股定

理即可得出.

解：如图所示，取SA的中点M,连接ME,MF.

又E,F分别是SC和AB的中点，

ME//AC,MF//SB,ME=^AC=1,MF=^SB=1.

又SB_L4C,•••EMLFM.

在Rt△EFM中，EF-VfM2+FM2=鱼.

故答案为近

16.答案:527r

解析：

本题考查了直三棱柱的性质、勾股定理、正弦定理、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属

于中档题.

如图所示，设△力BC与△&B1C1的外接圆的圆心分别为01，02,连接为。2，所以直三棱柱4BC-

41aC1外接球的球心在。1。2上，由球的对称性可得。为。1。2的中点，在AABC中，利用正弦定理可

得。1B=3,利用勾股定理可得R=0B=J00/+01B2,进而可求出此三棱柱外接球的表面积.

解：如图，作出△4BC,的外心。1，02,易证。］。2_L平面ABC,又。口。2为截面圆的圆心,

所以直三棱柱4BC-4BiG外接球的球心在。1。2上，由球的对称性可得。为。1。2的中点，连接。津,

0送，0B,

在△ABC中，因为4B=4C=3,所以4ABe=NACB=30°,

所以由正弦定理得：2。18=焉=6,解得。道=3.易证。1。2=8当=4,

所以。1。=［。1。2=2,

所以由勾股定理得。B=J。。/+。道2=此+32=V13，即外接球的半径R=V13.

2

所以此三棱柱外接球的表面积为S=4nR2=47r(-/13)=527r.

故答案为527r.

17.答案：|

解析：

本题考查三棱锥的外接球的半径的求法，属于基础题.

求出三棱锥底面外接圆的半径，然后求解外接球的半径.

解：正三棱锥P-ABC中，AB=2V3,PA=2V5，

底面ABC的外接圆的半径为：-X—x2V3=2,

32

三棱锥的高为：J(2遮)2—22=4,

设外接球的半径为r:则N=2?+(4-「产解得r=|,

故答案是|.

18.答案：证明：⑴因为底面4BCD为棱长4B=2,=60。的菱形，所以三角形4DC为正三角形,

又因为“为AO的中点，CM1AD,平面ABC。1平面04。，

所以CM1平面PAQ,又EMu平面PA。，所以CM1EM,

又△PAD为正三角形，,M,N分别是A。与尸。的中点，AE=^AP,所以E为线段"的四等分点,

4

所以EM1MN,因为MCCMN=M,

所以ME_L平面MNC,

(2)因为底面A8C。为棱长为2的菱形，△PAD为正三角形，所以PA=PO=4O=2,

又M,N分别是A。与的中点，E为线段4P的四等分点，如图：

EM=-DF=—,MN=1,由题意知三角形4CD为正三角形，所以CM=旧，

22

111

所以%-MNC=^C-MNE=5sx。例="x-xEMXMNXCN

=-x-x—xlxV3=

3224

解析：本题考查线面垂直的判定及棱锥体积的求法，属于中档题，

(1)先证得CM_LAD,由平面ABC。1平面PAO,得CM_L平面PA。，CMJ.EM,再证出EM1MN即

可，

(2)由PA=PD=4。=2,求出EM==?,MN=1,CM=陋,由%-MNC=%-MNE=

^SAMNExCM=IxixEMxMNxCN即可求解,

19.答案：解:(I)当点E为上底面圆的圆心时，EF〃平面48c.

证明如下：如图，取上底面圆的圆心为。口连接A。，AO］，。。「0/,

A

则OOJ//W,OOi=AD.

所以四边形4。。。1为平行四边形，

所以4。1〃。。，所以40J/0F.

又401=OF,所以四边形AO?。1为平行四边形，

所以月。〃01e

因为A。u平面ABC,0/C平面ABC,

所以。1尸〃平面A8C.

故点E为上底面圆的圆心。1时，EF〃平面ABC.

(H)在底面圆。中，由8。1CD得+£7)2=上

^B-ADNM—^A-BCD~^M-BNC

11AD

~YAD'SABCD_3"ySABNC

11AD1

=§•40•S^BCD_3'-qS"CD

5515

=77,SABCD=x-BD,CD=BD,CD

9ABCD9218

当且仅当BD=CD=应时等号成立,

所以四棱锥B-40NM体积的最大值为:.

解析：本题考查空间线面关系以及体积的求法，基本不等式的应用，考查空间想象能力以及计算能

力，属于中档题.

(I)当点E为上底面圆的圆心时，EF〃平面4BC.取上底面圆的圆心为0「连接AO,。0「OrF,

推出四边形ADOOi为平行四边形，证明4。〃0/.得到。/〃平面4BC.然后证明EF〃平面ABC.

(H)利用分割法，等体积法结合基本不等式转化求解最大值即可.

20.答案：解：(1)证明：作POJ.AB于。，连接OC,

••♦平面P4B平面ABCD,平面PABn平面ABCD=AB,

PO1平面ABCD.

又•：PB=PC,•••△POB^^POC,OB=OC,又NABC=45。，•••OCLAB,

又P。ClCO=0,AAB1平面POC,

又PCu平面POC,4B1PC.

(2)解法一：向量法.

•••△P4B是边长为2的等边三角形，

P。=遍，0A=OB=0C=1,建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,K),B(l,0,0),C(0,L0),4(—L0,0)，

设平面PBC的法向量为记=(x,y,z),

PB=(1,0,-V3),BC=(-1,1,0),

n♦PB=x—V3z=0,人

则/今■x=V3,得元=(V5,1),

n•前=-%+y=0,、

AP=(l,0,V3),.-.^=^=(1,0,^).

又：CB=DA=.•.屁=a+荏=G，-l,野

设力E与平面P8C所成的角为。，

则sin。=|cos(n,DE)|=符蠲

••・直线小与平面映■所成角的正弦值为多

解法二：几何法.

如图，过E作ME〃/1B,交PB于点M,过M作MF〃DE,交CO于点凡则OE与平面P8C所成的

角即为MF与平面PBC所成的角.

由题意得PB=PA=2,OB=0C=1,

所以BC=AD=VLPO=V3，

x

SBPBC=|V2xJ一(')='，

c_V2V2_1

SEIFBC=yxy=3;

设点F到平面PBC的距离为/?,

因为Vf-PBC=，P-F8C,所以1=V3,

解得仁篝

连接0D,易得0。2=OC2+CD2=5,PD2=PO2+OD2=8,

所以cos4PAD=

2PAAD

所以。E2=W，即0E=也，

93

设直线DE与平面PBC所成的角为氏则sin。=2=聋x吃=血.

DE3V72V77

解析：本题考查了线面垂直的性质、直线与平面所成角和利用空间向量求线面的夹角，是中档题.

⑴由面面垂直的性质得POJL平面4BCD.再证明4B_L平面POC,AB1PC即可得证；

(2)解法一：向量法.建立空间直角坐标系，设。E与平面PBC所成的角为仇利用空间向量求线面

的夹角的正弦值.

解法二：几何法.与平面PBC所成的角即为与平面P8C所成的角.由等体积法得出点尸到

平面PBC的距离，再计算直线OE与平面P8C所成角的正弦值.

21.答案：解：(1)由题意，4EFB为等腰直角三角形，又AE=CF=x,

BE=BF=4—x(0<x<4),

••・4EFB恰好是该零件的盖，,-.x-2)则S、EFB2,

由图甲知，ADLAE,CD1CF，

则在图乙中，MD1ME,MD1MF,MEC\MF=M,

又ME,MFu平面EMF,•••MD1平面EMF,

K=|S4EFB-MD=|x2x4=|;

(2)由题意知，在等腰三角形MEF中，ME=MF=x,

则EF=V2(4-x),

COS4EMF=EM2+FM2-E*=(也可解等腰三角形，求出高)

2EMFMX2

-1.SAEFM=^X2«UNEMF

令f(X)=(SAEFM产=

f/(x)=x3-32(x-2)=(x-4)(x2+4x-16)

•••0<x<4,则/'(x)=0时x=2v/5-2.

可得：当xe(0,2花—2)时，f'(x)>0,当x6(2V5-2,4)时，f'(x)<0,

•'.当x—2^/5—2时，S〃EMF有最大值.

由(1)知，MOJ■平面EMF,

二该三棱锥容积为V=|SA£FM-MD,且MD=4是定值.

・•・当x=2*一2时，/Q)取得最大值，无盖三棱锥容器O-MEF的容积V最大.

解析：本题考查三棱锥体积的求法，线面垂直的判定，正确理解题意是关键，是中档题.

(1)证明MD1平面EMF,利用体积公式，计算三棱锥的体积；

(2)由题意知ME=MF=x,建立面积表达式SAMEF=~x,xs'mLEMF,构造函数，利用导数可得函

数取最大值时x的取值，再利用体积公式可得出答案.

22.答案：解：(1)证明：如图，连接4C,

因为四边形ABCD为正方形，

所以BDLAC,

因为PA，平面ABCD,AD,BDu平面ABCD,

所以PA1BD,PA1AD,

乂PZnAC=4,PA,力Cu平面APEC,所以BD1平面APEC,

又PEu平面APEC,所以BD1PE,

因为AB=CE=9PA=1,则AD=1,PA=2,所以PD=^,

同理可求=在梯形PACE中，易求PE=小,

所以PE?+0产=「。2,所以PE_LDE,

乂BDCDE=D,BD,DEu平面OBE,

所以PE1平面DBE；

p

DC

(2)解：如图，连接PC.

因为4B=CE=^PA=1,

所以由勾股定理得BD=Vl2+l2=V2.PB=PD=V22+I2=V5，

则SAPBD=：X&xJ(V5)2-(y)2=I，

设点C到平面尸8。的距离为山

贝1J由u三段绘-PBO=V三棱链p_BCD，得：SAPBD-h=^-^BC-CD-PA,

B|j|x|x/i=|xixlxlx2,解得九=|.

即点C到平面PB。的距离为1

解析：本题考查线面垂直的判定定理，考查利用等体积法求点到平面的距离，考查空间想象能力以

及计算能力，属于中档题.

(1)连接AC,证明PEJLDE,然后由线面垂直的判定定理可得PE，平面。BE；

(2)由等体积法可得嘎破邠c-PBD=V三棱锥p_BCD，即可求出点c到平面PBD的距离.

23.答案：解：(1)由题意，AEFB为等腰直角三角形，又4E=CF=x,

BE=BF=4—x(0<%<4),

••・△EFB恰好是该零件的盖，,x2,贝IJSAEFB2,

由图甲知，ADLAE,CD1CF，

则在图乙中，MD1ME,MD1MF,

又MECMF=M,又ME,MFu平面EMF,

MD，平面EMF,

•••v="AEFB•MD=：X2X4=|；

(2)由题意知，在等腰三角形ME尸中，ME=MF=x,

则EF=V2(4-x).

C0S4EMF=强黑孑=曳宗，(也可解等腰三角形，求出高)

.'△EFM=；：X%iuNEMF

令f，X)=(SAEFM)2=；Jx」64(x-2尸)

f,(x)=x3-32(x-2)=(x-4)(x2+4x-16)

v0<x<4,则/'(x)=0时x=2v/5-2.

可得:当xe(0,2遍一2)时,f(x)>0,/(%)单调递增，

当xG(2遮一2,4)时，/'(X)<0,/Q)单调递减,

•••当x=2遍-2时，SAEMF有最大值.

由(1)知，MD1平面EMF,

•••该三棱锥容积为V=|SAEFM-MD,且MD=4是定值.

.••当％=2而-2时，f(x)取得最大值，无盖三棱锥容器。-MEF的容积V最大.

解析：本题考查三棱锥体积的求法，线面垂直的判定，正确理解题意是关键，是中档题.

(1)证明MD_L平面EMF,利用体积公式，计算三棱锥的体积；

(2)由题意知ME=MF=x,建立面积表达式SAMEF=,sinNEMF,构造函数，利用导数可得函

数取最大值时x的取值，再利用体积公式可得出答案.

24.答案：(1)证明:由"PC=90°知,PA1PC.

又4P=PC=2,所以AC=2V2.

又AB=4,BC=2V2,所以心+BC2=432,

所以乙4cB=90°,^BCLAC.

又平面A"1平面ABC,平面4CPC平面4BC=AC,BCu平面ABC,所以BC1

A'B

平面4CP,所以APJLBC,又PCCBC=C,所以P4_L平面PBC.

(2)取AC中点。，连接P。、OB,并取OB中点H,连接A”、EH.

因为P4=PC,所以P。_L4C.

同(1)易证P。，平面ABC.

又£7/〃PO,所以EHJ■平面ABC,

则“AH为直线4E与底面ABC所成角，且sinNEAH=器.

又PO*AC=&,所以EH寸0=9

由(1)已证AP_L平面PBC,所以4P1PB,&\ipB=y/AB2-AP2=2V3>PE=V3,

故AE=y/PA2+PE2=V7,

于是sinNEA"整=袅亲=曾

解析：本题考查线面垂直的判定、面面垂直的性质以及空间线面角的求解，是中档题.

(1)先根据勾股定理得4c1BC,由面面垂直的性质即可证得线面垂直；

(2)取AC中点0,连接PO、0B,并取0B中点“，连接A”、EH.,由线面角的定义可得NE4H为直

线4E与底面A8C所成角，在三角形E/M中即可求解.

25.答案：解：(1)存在，如图，取E£＞的中点F,连接M凡

因为例为B1G的中点，E为CG的中点,

4

AiB1=2,8当=24出=/。，

所以BBi=4,B1D=3,GE=2,MF==j,MF//BXD//ArA.

取N4=I，则MF=NA.又MF〃NA,

所以四边形MEAN为平行四边形.

故MN〃FA,又MN仁平面4OE,FAu平面ADE,

所以MN〃平面4OE.

所以”=工=三.

NA14-13

(2)如图，过点E作平行于平面4道传1的截面QPE,分别交BB1于点0,P.

在直三棱柱ABC-AiBiG中,乙41B1G=90°,

所以PE1平面ADPQ.

则所求几何体的体积KADE-AI