高中数学《数列的概念》同步练习14 北师大版必修5

数列的概念

选择题

.某数列｛q｝的前四项为QJE,O,0,则以下各式

①4=孝[1+(—1)[②%=Ji+(-i)"③4近（n为偶数）

0（n为奇数）

其中可作为｛4｝的通项公式的是()

A.①B.①②C.②③D.①②③

2.设函数/(x)满足/(〃+1)=也半？且"1)=2,则/(20)=()

A.95B.97C.105D.192

n

3.已知数列中｛4｝,q=l,anan_｝=«„_1+(-l)(〃22,〃N*),则:的值是()

1515c33

A.—B.—C.-D.一

16848

4.已知数列｛%｝的首项q=1,且4=24T+1(〃22),则%为()

A.7B.15C.30D.31

H-V79

5.已知%neN*）,则在数列｛4｝的前50项中最小项和最大项分别是（）

n-s/SQ

提示：化为a,—-二,作出图像，则可直接求解.

n-y/SO

3上工79,…一个通项公式是

81-244880

7.己知q=1,ctn=1H----(”22),则

an-\

8.数列｛-2/+29〃+3｝中的最大项的值是一

9.已知｛周｝是递增数列，且对任意〃G/T都有%二"+九“恒成立，则实数％的取值范

围是____

三.解答题

io.数列满足4+勿2+3g++田“求％

11.已知数列的前三项依次是1,2,3,它的前n项和为S“=即+而2+c〃3.试求“、b、

c的值.

n兀'

12.已知一■个数列的通项为a“=sina-\---（〃eN*）,再构造一个新数列4a2，03a4，

2)

a5a这个数列是否为常数列？证明你的结论.

等差数列

选择题

1.（2004武汉市高考模拟题）已知数列｛4｝是等差数列，且％+即=50,又见=13,则

生等于（）

A.1B.4C.5D.6

2.在等差数列｛4｝中，q=2,则该数列的前5项和为（）

A.10B.16C.20D.32

3.在｛4｝中，4=15,3a,,+1=3arl-2（〃eN*）,则该数列中相邻两项的乘积是负数的

项是（）

A.%］和%2B.。22和。23C.。23和〃24D.g4和〃25

4.数列｛q｝是等差数列的一个充要条件是（5,是该数列前n项和）（）

2

A.SH=an+hB.Sn=an^hn+c

22

C.Slt=an+bn（aw0）D.Sn=CUT+hn

5.已知数列｛a“｝,a“=—2”+25,当S”达到最大值时，n为（）

A.10B.11C.12D.13

6.设｛5,,｝是数列｛a,,｝的前n项和，已知&=36,S“=324,=144（n>6）,则n

等于（）

A.15B.16C.17D.18提示：^.Sn=arT+hn

二.填空题

7.设等差数列｛为｝的公差为-2,且4+a与…+a三刀，则

生+ab+丹+••q.提示：4=4+24,ab=a4+2d,…，-tz97+2d.

8.已知lg(7—2x),lg(4x-5),lg(x+l)成等差数列，则log.

9.设等差数列｛%｝的首项是3,前n项和Sn=CUT+hn+c,lim^-=

"f"s“

10.若数列｛a,,｝的通项a“=4〃—1,由bk=4+%：,,+q(kwN*)所确定的数列也｝

K

的前n项和为.

三.解答题

11.数列｛七｝中，玉=1，求数列｛当｝的通项公式

12.某产品按质量分10个档次，生产最低档次的利润是8元/件；每提高一个档次，利润每

件增加2元，每提高一个档次，产量减少3件，在相同时间内，最低档次的产品可生产60

件.问：在相同时间内，生产第几档次的产品可获得最大利润？(最低档次为第一档次)

等比数列

选择题

1.若Iga、Igb、Ige成等差数列,则()

A.b=――B./?=y(lga+lg/?)

C.a.b、c成等差数列D.a、b、c成等比数列

2.一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是()

3.已知a、bGR-,/是匕的等差中项，G是a、b的等比中项，则()

A.ab<AGB.ab>AGC.abWIAG|D.ab>IAG|

4.若数列M，｝是等比数列，下列命题正确的个数为()

①｛《:｝、｛4“｝均为等比数列；②｛Inaj成等差数列；

(§)■—■>｛|%|｝成等比数列；④｛气｝、｛4士外均为等比数列

.an.

A.4B.3C.2D.1

5.公比4*1的等比数列的前n项和公式恒等于a,出-q,则这样的数列()

A.不存在B.必存在，且公比可确定而首项不能确定

C.必存在，且公比不确定而首项确定D.必存在，但公比和首项均不能确定

6.某企业在1996年初贷款材万元，年利率为/〃，从该年末开始，每年偿还的金额都是a

万元，并恰好在10年间还清，则a的值等于()

+Mm+Mm

(1+7?2)'°-1(l+nz)1()+-1(1+m)10-1

二.填空题

7.等比数列中｛见｝,公比q*±l,=100,则

1+0

8.正项等比数列｛4｝的首项q=2-5,其前11项的几何平均数为25,若前11项中抽取

一项后的几何平均数仍是2、，则抽取一项的项数为.

9.用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月

这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第一个月开始算

分期付款的第一个月，全部欠款付清后，买这件家电实际付款元.

三.解答题

10.设有数列｛q｝,q=|,若以4,出，…，4为系数的二次方程：a,/—%彳+1=0

(〃eN*且“22)都有根a、夕满足3。一83+34=1

(1)求证14—g］为等比数列；

（2）求a“；

（3）求a”的前n项和S”.

11.家用电器一件，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后

一个月付款一次，共付12次，即购买后一年付清，如果按月利率8%。，每月复利一次计算,

那么每期应付款多少？

12.（2004年湖北八校联考）数列｛%｝中，首项q=2,前n项和为S,,,对任意点

用，S"），点p”都在平面直角坐标系xoy的曲线C±,曲线C的方程为

4x—（3f+@y=8,.其中/'<-3,n=l,2,3•••

（1）判断｛a,,｝是否为等比数列，并证明你的结论；

（2）若对每个正整数〃，则a“，an+l,4+2为边长能否构成三角形，求力的范围.

等差数列与等比数列

选择题

1.互不相等的三个正数a、b、c成等比数列，又x是a、b的等比中项，>是/?、c的等

比中项，那么/、/、V三个数（）

A.成等差非等比数列B.成等比非等差数列

C.既成等差又成等比数列D.既不成等差也不成等比数列

2.（2004湖北八校联考）等差数列｛4｝中，4+%+%=39,4+%+/=27,则数列

｛/｝前9项和Sg等于（）

A.66B.99C.144D.297

（提示：4=13，4=9，Sg=9（气；哄）

3.（2004江苏漂阳中学高考模拟题）一张报纸，其厚度为a,面积为6,现将此报纸对折,

（即沿对边中点的连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别为（）

A.8。,一bB.64。，—bC.128a,---bD.256。，----b

864128256

4.（2004山西省试验中学高考模拟题）已知等比数列｛为｝的公比为夕<0,前n项和为S”,

则S4a5与S5a4的大小关系是（）

A.S4a5=S5a4B.S4a5>S5a4C.S4a5<S5a4D.以上都不正确

5.在各项都为正数的等比数列｛4｝中，若%4=9，则

1o,再十1@母a1+o$g.•等于（）

A.8B.10C.12D.2+Iog35

6.公差不为零的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为（）

A.1B.2C.3D.4

—.填空题

7.在等差数列｛%｝中，已知|名|=|4|，"<0,则使它的前n项和S“取得最大值的自然

数n=.

8.等差数列｛q｝、物“｝的前n项和分别为4和纥，且楙=表1，则/=-

9.在等比数列｛4｝中，己知5.=48,§2“=60,则％,=

10.某企业2003年12月份的产值是这年一月份产值的p倍，则该企业2003年年度产值的

月平均增长率是_____.

三.解答题

11.项数都是4〃一1的等差数列｛q｝与等比数列｛&｝的首项均为a（a>0）,

且它们的末项相等，试比较中间项的大小.

12.一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B）,车上有一邮

政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站的邮袋一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋

各一个.设从第4站出发时，邮政车厢内共有％（k=l,2,…，n）个邮袋.试求：

（1）数列｛4｝的通项公式；

（2）k为何值时，为最大？求出%.的最大值.

数列求和

选择题

1.数列｛风｝中，4=—60,且=a.+3,则这个数列的前30项的绝对值之和为（）

A.495B.765C.3105D.120

2.化简5=〃+（〃-1*2+（〃-2*22+―+2*2"-1+2”|的结果是（）

A.2n+,+2-/1-2B.2"+'-n+2C.2"-n-2D.2"+'-n-2

3.在项数为2〃+1的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和之比为（）

〃+1〃+12n+l1

A.----B.----C.-----D.1

n2nn

4.等比数列前n项和为54,前2n项和为60,则前3n项和为（）

22

A.66B.64C.66-D.60-

33

5.在50和350之间所有末位数是1的整数之和是（）

A.5880B.5539C.5208D.4877

1

6.数列｛%｝的通项公式是4若前n项和为10,则项数n为)

y/n+y/n+1

A.11B.99C.120D.121

二.填空题

7.一条信息，若一人收知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知

此信息的另外两个人，如此继续下去，一天时间可传遍人.

8.-1+3-5+7-9+…+一.

9.对于每个自然数n,抛物线,=(〃2+〃卜2-(2〃+1)犬+1与％轴交于两点4、B,,,则

同闵+…+1A20cMB2aMi的值为——.

10.项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44,偶数项之和为33,则该数列的中间项和项

数分别为.

三.解答题

11.(1)｛凡｝是等差数列，a“wO,求」——F」一H--F——

44。2a34一4

(2)求数列｛竺口)的前n项和

12.(2004湖南师大附中高考模拟题)已知二次函数/(x)="2+区+C经过点(0,0),导

数/'(x)=2x+l,当代[”,〃+1]("6"')时，/(x)是整数的个数记为q.

(1)求a、b、c的值；

(2)求数列｛%｝的通项公式

2

(3)令2=-----,求也｝的前n项和S“

数学归纳法

选择题

1.已知/(")=」一+」一+-+—!—,则/他+1)等于()

1

A.f(k)+zx—B.f(k]+—^—

J')3(左+1)+1')3k+2

，小1111，小11

')3左+23Z+33Z+4k+lv73攵+4Z+l

2.用同数学归纳法证明1+Q+/+…+a"+i=-----(a0l)，在验证〃=1时，左端计

1—CL

算所得项为()

A.1B.1+QC.1+a+D.1+6Z4~cr4~ci

3.某个命题与自然数n有关，如果n=k（4wN*）时，该命题成立，那么可推出当〃=%+1

时，该命题成立，现已知当〃=5时该命题不成立，那么（）

A.当〃二6时该命题不成立B.当〃=6时该命题成立

C.当〃=4时该命题不成立D.当〃=4时该命题成立

4.用数学归纳法证明不等式2〃2/时，n应取的第一个值为（）

A.1B.2C.3D.4

5.用数学归纳法证明不等式」一+」一+…+」—>”的过程中，由〃=4递推到

〃+1n+2n+n24

〃=k+l时，不等式左边（）

A.增加了一项‘'一-

2伏+1）

1

B.增加了两项

2k+\2(1+1)

C.增加了B项中的两项，但又减少了另一项----

k+1

D.增加了A项中的一项，但又减少了另一项」一

A+1

二.填空题

6.用数学归纳法证明：］―--+———4-1---------——-----11---1--^时，第一

2342〃一12〃〃+1n+22n

步应验证左式是______,右式是_______.

7.用数学归纳法证明1+；+；+-+手片<〃（〃€"",〃>1）时,在第二步证明从〃=&到

〃=攵+1成立时，左边增加了的项数是.

8.用数学归纳法证明与2之（卓）（a、匕是非负实数，〃eN*）时，假设〃=左

命题成立之后，证明〃=左+1命题成立的关键是.

三.解答题

9.求证：34"2+52"+|能被14整除

10.已知/(x)是定义在N*上的数值函数，满足：

⑴/(2)=2；

(2)对任意相,〃wN*有=〃加)•/(")；

(3)当时，/(加)>/(〃).

求证：/(力=%在"*上恒成立.

归纳、猜想、证明

填空题

1./(x)=—玉=1，怎=/(%-1+1)(〃22,〃€"*)则々、W、匕分别为，

猜想七=.

2.有浓度为a%的酒精满瓶共加升，每次倒出〃升(〃<加)，再用水加满，一共倒了10次,

加了10次水后，瓶内的酒精浓度为.

3.在数列｛4｝中，已知q=2,a=—neN*,依次计算外,a、,可后，归纳、

n+i3a”+1

推测出4的表达式是一

4.数列一，一，—，—>—,—的第20项是

2510172637

5.已知｛4｝满足：存在正数，，使得对所有正整数〃，有匹=士署成立(其中5.为数

列｛4｝前n项和)，则可通过计算£、邑、S3,猜得S,,=—

6.设/㈤>0,neN*,对任意x,ywN*恒有=,又“2)=4,

则/⑴=，/(3)=，〃4)=.

2

7.若%=%=1,4=%_1+22_］，hn=+/?„_,(〃=1,2,…)贝!Io/一圻=-------，

%2―时22

4—242=，%0()5-/”2()05

8.平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设攵条这样的直线百平面

分成/（攵）个区域，则左+1条直线把平面分成的区域数/（左+1）=/（4）+

二.解答题

9.己知数列｛/｝满足5“=2〃一。“求出前四项，推测的表达式，再证明.

10.已知对〃wN",试比较/（、巧）与2二的大小，并且说明理由.

X+Xfl+1

数列与数学归纳法单元测试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1.数列｛%｝中，前三项依次为—,—,-则等于（）

x+16xx

A.50B.13C.24D.8

2.若a、b、c成等差数列，则函数/（x）=ax2+bx+c的图像与x轴的交点的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.不确定

3.差数列｛〃〃｝中，公差d=1,々4+47=8,则+々4+。6+・一+々20=（）

A.40B.45C.50D.55

4.已知数列｛aJ的通项公式是%=2〃-49,则Sn达到最小值时，n的值是（）

A.23B.24C.25D.26

5.在等差数列｛&｝中/。＜0,即＞0,且%＞l4ol,则在Sn中最大的负数为（）

A.STB.518C.519D.So

6.己知数列｛a“｝的前n项和S”=3"+左代为常数），那么下述结论正确的是（）

A.k为任意实数时，｛%｝是等比数列

B.%=-1时，｛凡｝是等比数列

C.k=0时，｛a“｝是等比数列

D.｛a,J不可能是等比数列

7.数列｛a“｝中，>0,且｛a/小｝是公比为g（g>0）的等比数列，满足（）

+凡+心〃+2>4+24+3（〃GN），则公比夕的取值范围是（）

1+V21+V5

A.0<q<B.0<q<

22

—1+V2-1+V5

C.0<q<-------D.Q<q<-------

22

8.数列｛4｝中，已知S=1,S=2，且第―3S+2S~1=0（〃£N*）,则此数列为（）

A.等差数列B.等比数列

C.从第二项起为等差数列D.从第二项起为等比数列

9.数歹！J｛4｝的前〃项和S尸5〃一乂）（）

A.Sn>na\>nat,B.Sn<nalt<na\

C.na^>S^>na\D.nat,<Sn<na\

10.已知某数列前〃项之和为/,且前〃个偶数项的和为〃2（4〃+3）,则前〃个奇数项的

和为（）

A.-3〃-（〃+1）B.〃~（4〃-3）C.-3/?"D.5〃'

11.己知等差数列｛4｝与等比数列｛仇｝的首项均为1,且公差dHl,公比q>0且qHl,

则集合｛〃旧=么｝的元素最多有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12、已知〃=t9^,（〃eN+）,则在数列｛4｝的前50项中最小项和最大项分别是（）

A.B.a1,^^8C•^^8,cigD«（^9,

二、填空题：

13.数列［“｝的前〃项的和S=3//+则此数列的通项公式^产_____

14.在,和〃+1之间插入〃个正数，使这加2个正数成等比数列，则插入的〃个正数之积

n

为.

15.等差数列｛4｝中，公差*0,&,4成等比数列，则以上包口=.

%+%+。10

16.当；rHl,0时，1+3A+5X2+..+(2n—1)Z1=.

三、解答题：

17.(本题满分12分)已知：等差数列｛4｝中，a4=14,前10项和Ro=185.

(I)求a“；

(H)将｛4｝中的第2项，第4项，…，第2"项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列

的前〃项和G“.

18.(本题满分12分)

数列｛«„｝的通项公式

a„=--!—y(neN*),郎(〃)=(1-<2,)(1-a2)(1)•••(1-a„).

(«+l)

⑴求:f(l)、f⑵、f(3)、f(4)的值;

(2)由上述结果推测出计算/Xn)的公式，并用数学归纳法加以证明.

3

19.(本题满分12分)设S,为数列回｝的前〃项的和，且S=一(&-1)(〃GN*),数列

2

｛4｝的通项公式b,,=4z?+5.

①求证：数列面｝是等比数列；

②若dG｛句，翘，“3，....｝n｛力，&,&,...｝，则称d为数歹|J｛a｝和｛bn｝的

公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列｛4｝,求数列｛4｝的通项公式.

20.(本题满分12分)已知数列｛许｝中，q=1,

前〃项和5“与通项an满足

2S/

,(«eN,n>2),求通项即的表达式.

2\,-1

21.(本题满分12分)甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六

年来的规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图：

个平均只数(万只)个个数

2............-.................二*30

:・।、、

:・■、

Af'

1y-：!，

io・•；--------------'工

»:

(■

~7~3_4~5~6~年>

123456年

(A)(B)

(A)图表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2

万只鸡：

(B)图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.

请你根据提供的信息解答下列问题：

(1)第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？

(2)哪一年的规模最大？为什么？

22.(本题满分14分)

对于函数/(x),若存在与w民使f(毛)=/成立，则称/为/'(x)的不动点.如果函数

/。)=19(仇。€")有且只有两个不动点0,2,且/(—2)<——,

bx-c2

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)已知各项不为零的数歹U｛%｝满足4S”•/(')=1,求数列通项4；

an

(3)如果数列｛%｝满足q=4,a向=/(4),求证：当〃N2时,恒有凡<3成立.

数列与答案

数列的概念

—.选择题1.D2.B3.C4.D5.C

二.填空题

2〃+18

6.4=(-1户7.y8.1089.(-3,400)

(2〃+1『-1

三.解答题

10.［解析］：a］=1x2x3=6

当〃N2时4+2«2+3%++也“八+2)©

4+2%+3q++(〃+1)②

①一②得/觞=3〃(九+1)«,=3(〃+1)

当〃=1口寸上式q=2x3=6

an=3(〃+1).

［评析］:此题的解法与已知5“求为的方法类似.

11.解析：由已知可得S}=1,S2=3,S3=6

Q+〃+C=1

<2。+4〃+8c=3

3。+9〃+27。=6

解之得a=—h=-c=0

2929

12.证：设这个数列的第n项为C，则

(2n-l)7r.(2n/r

・•・C〃=〃2〃T%〃=sma+sina-\------

I2

Q

=sina+n7i--s--in(a+w)

2J

=-cos(a+〃7)sin(a+〃万)

—sin（2a+2n^）=--sin2a（为常数）

这个数列是常数列.

［评析］:1.此题的关键是找出新数列的第n项Q与已知数列｛4｝的关系式。“=的,一生”

(〃GN*).

2.思考问题时，不要仅停留在前几项，而更重要的是要抽象到第n项，这是数学的

重要思想方法.

等差数列

选择题

1.C2.A3.C4.D5.C6.D提示：Sn=arr+bn

7.—82提示：a3=ay+2d,a6=+2J,…，须=%7+2d.

8.—9.410.n~+2/?

2

三.解答题

11.［解析］思路1：计算出天，七，猜想七，再证明.

思路2：•••x„+1

.1无;+211Hn111

•­—7=-5-—=-+—即——7——7=-

xn+i2X"2xnx“+]xn2

/.数列」是首项为"4=1,公差为1的等差数列

.Xn\X\2

12.［解析］10个档次的产品的每件利润构成等差数列：8,10,12,…，

4?=8+)=加+

(1<H<10),10个档次的产品相同时间内的产量构成数列：60,57,54,…，

bn=60-3（/?-l）=63-3n（l<n<10）

，在相同时间内，生产第n个档次的产品获得的利润

y=（2n+6）（63—3〃）

=-6（〃-9『+6x144.

当〃=9时y1mx=6x144=864（元）

生产低9档次的产品可获得最大利润.

等比数列

选择题

1.D2.D3.C4.C5.B6.C

二.填空题

7.1008.69.1255元

三.解答题

«/?=」一代入3a-姐+3尸=1

10.[解析](1)证明：•••a+£=—J,

an-\an-\

11

得an+]

111

—u—I-------

3"32=」为定值

3

数列14-共是等比数列

25]_

2623

114

/?+11

一^--2x3"

11.［解析］法一：设每期付款数x元，则

第一次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为尤(1+0.008)”

第二次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为》(1+0.008)°

第十一次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为x(l+0.008)

第十二次付款与到最后一次付款所生利息之和为所生利息之和为x

1_1

所以各期付款连同利息之和为x(l+l.OO8+--+l.OO8")=x

’71.008-1

又所购电器的现价及其利息之和为2000x1.00812

1HAQ12_1

于是有一-x=2000x1.008'2

1.008-1

得XX175.46即每期应付款元175.46元

法二：设每期付款数x元，第4月后欠款为%元5=1,2,…，12)

则巧=2000x(1+0.008)—x

%=qx(l+0.008)_jr

an=%x(l+0.008)-x

Y

设4—2=1.008(41-4则力=诉

a-——=l.OOsfa.———

"0.008L0.008J

数列［4———l构成等比数列

n0.008J

xx

1.008,,-'+

0.0080.008

x

6z=0即a=Q]—-1.008"+^^=0

pn10.0080.008

将q=2016—x代入上式得xa175.46即每期应付款元175.46元

［评析］两种解法从不同角度解决分期付款问题，解法一即教材所提供的解法，通过两种解法

的比较，也可进一步加深对分期付款问题的理解.

=

12.［解析］（1）由S］=q=2,S2=2+

4（2+生）一2（3r+8）=&得出=2萨于是彳'=49

又4电+「（3r+8）S.=8r

4⑸一（3r+8）S,i=8r（n>2）

两式相减得4必用=（3/+8）（n>2）

,,3/+8/_x.ci,,,13f+8/,\

故3=----（）（）

v«>273=------neN

an4/anAt'）

a*।o

r.{a“}是首项为2,公比为节2的等比数列.

（2）由（1）知4=2［4

Q/1Q

；t<-3：.0<^—^<1又CL=2>0

At'

,{a,,}是一个单调递减的数列

从而a,,,an+i,为+2为边长能构成三角形的充要条件是

a,出+q+2>4

即2（主』'+2（主修川>（土打’

IJI2f）I2rJ

解得/〉—8+^^或z<-8-l^

55

又t<-3

：.<8一座

5

［评析］此题（1）中证明&=2则是必要的.充分利用已知条件对构成三角形的充要条

q4;

件进行简化，能达到事半功倍的效果.

等差数列与等比数列

一.选择题

1.A2.B（提示：4=13,4=9，怎/（%；%））

3.C4.B5.B6.C

二.填空题

［48

7.5或68.——9.6310.听一1

in7y

三.解答题

11.［解析］设｛4｝的公差为d,｛"｝的公比为q,则它们的中间项分别为

2nl

%”=Q+(2〃-l)d,b2n=aq~

由a4n-\=。4〃一1得

"+2(2〃-1”=矽2(2,1)

b2I

2。2〃一。=3-即％〃=—+"）

a2a/

生=*—+/）-%

1,

=丁（%-。）20

2a

当且仅当a=a,即夕=1时，上式等号成立.

故当4=1时，a2n=b2n,当qxl时，a2n>b2n.

［评析］将出“用%，表达是解答本题的关键；作差后的配方是判断符号的需要，也体现了“集

中变量”这一重要的数学思想.

12.［解析］由题设知q=n-l,%=(〃一1)+(〃-2)-1,

%=(〃-1)+(〃-2)+(〃_3)-1-2,…

在第攵站出发时，前面放上的邮袋共有(〃—1)+(〃—2)+…+(〃—2)个，而从第二

站起，每站放下的邮袋为1+2+…+(&-1)个.

故为二(nT)+(n-2)+**,+(n-k)-[l+2+,e*(k-l)]

=kn-[1-\-2-\----FZ)-[1+2H--1■(k-1)]

7k(k+l)(k-l)k.,2/,八、

=kn-----------------------=kn-k~(k=l,2,3,…，n)

22

(n2

(2)由(1)知％=-k—IH---

、2)4

若n为偶数，则当k二W时，%的最大值为亍

,,「天跖msMj九一1〃+1的日古、[/—I

右n为奇数，则当后=--2--或&=---2-,A4的取大值为---4----

数列求和

一.选择题

1.B2.D3.A4.D5.A6.C

二.填空题

<J〃(〃为偶数)2004

-n(〃为奇数)2005

三.解答题

11.［解析］:裂项求和

,,n—1

答：——

(2)求数列｛与二｝的前n项和

［解析］:错位相减法

c2/7+3

答：3------

2"

12.［解析］⑴・・・八％）的图像过（0,0）Jc=0

又/'(%)=2tix+Z?=2x4-1a=l9b-1

(2);/(x)=x2+x对称轴为了二-g，/(x)在xcfn,几+1］上单调递增

而/(〃)=〃2+八，+=(力+1)2+(〃+1)=A?+3〃+2

•二4=/(〃+1)-"〃)+1=2〃+3

⑶“二_=_2—=」_______L

anan+i(2〃+3)(2〃+5)2/7+32n+5

Sn=b}+b2+b3+--+bn

____1

~5~2n+5

2n

-5(2n+5)

数学归纳法

选择题

1.C2.C3.C4.D5.C

—.填空题

6.1--,----7.2*8.两边同乘以-----

21+12

三.解答题

9.证明：(1)当〃=1时3皿2+52*1+|=854=61x14能被14整除，二〃=1时命题成

(2)假设〃=左时命题成立，即3软+2+521能被14整除

则〃=左+1时

^4(A:+l)4-2+^2(A+1)+1_3(4«+2)+4+5(2力+1)+2+^4§2々+1^4$2^+1

=34(34i+2+52t+l)+52U,(52-34)

=34(34i+2+52t+l)-52A+,-4-14

能被14整除

〃=。+1时,命题成立.

综合(1)、(2)知命题对一切〃eN*均成立.

［评析］第二步证明中想方设法配出假设中的代数式3北+2+521是此类问题的解题规律.

10.证明：由条件(1)、(2)知2=/(2)=/(1)-/(2)=2/(1)/(1)=1

即当x=l时，/(x)=x成立

假设x=l,2,3,…，*时，有/(x)=x

则当x=Z:+l时，若后+l=2s(IWSWZ),

则/伏+l)=/(2s)=/(2)〃s)