数学选择性必修第一册3数学选择性必修第一册4数学选择性必修第一册2

第1课时空间中直线、平面的平行

叫川川川川川川川川川川I川川川出川川川川川川川川川H川川IOE3E3O,I课I前I预I习II州拼州川加川川"川川""伽"加I拼伽川"川"多

［教材要点］

要点空间中平行关系的向量表示

设向量/,小分别是直线/,"2的方向向量，“I，"2分别是平面a,。的法向量，则

线线平行（线线不重合）/〃mol1/m

线面平行（线不在平面内）I//a<=>Z±ni

面面平行（两个平面不重合）a〃//ni

状元随笔零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量，这是因为直线的方向向量

与平面的法向量分别用来描述空间直线和平面的位置，而零向量的方向是任意的，无法用零

向量来描述空间直线与平面的位置.

匿础自测］

1.若直线6和/2的方向向量分别是。=（1，-1，2）,5=（-2,2,-4）,则（）

A.l\//l2B.（与/2相交

C./1与/2重合D./|〃/2或/|与，2重合

2.若平面a,夕的一个法向量分别为"?=（一，，—1）,n=（1,—113）,贝4（）

A.a//pB.a_L£

C.a与£相交但不垂直D.a〃4或a与尸重合

3.［多选题］下列命题中正确的是（）

A.若"1，"2分别是平面a,4的法向量，则"i〃"2Qa〃£

B.若"1，"2分别是平面。，8的法向量，则。〃£="「"2=0

C.若〃是平面a的法向量，且向量Q与平面a共面，则。"=0

D.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直

4.若直线/的方向向量a=（2,2,-1）,平面a的法向量〃=（-6,8,4）,则直线/

与平面a的位置关系是.

勿勿州勿"卅勿"川勿勿勿卅勿勿削"勿勿勿川卅"卅,国回隰困•|i鹿堂］解”阅■—g

题型一直线与直线平行

B

例1如图所示，在正方体ABCC-AiSGCi中，E,F分别为和Mi的中点.求证:

四边形4EG尸是平行四边形.

方该扬他

证明线线平行的依据与思路

证明线线平行的依据：设直线乙的方向向量分别是。，b,则要证明只需证

明a〃b,即a=/l伙2GR).利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，

通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基向量表示出要证明的两条直线的方

向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明.

跟踪训练1长方体A8Cr>-A|8iGOi中，E,F分别是面对角线囱小，A|B上的点，且

DiE=2EBi，BF=2项1.求证：EF//AC].

题型二直线与平面平行

角度1证明直线与平面平行

例2在如图所示的多面体中，平面AEB,AEA,EB,AD//EF,EF//BC,BC=2AD

=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点，求证：A8〃平面。EG.

角度2直线与平面平行的探究性问题

例3如图，在四棱锥P-ABCC中，方，平面A8C。，P8与底面成的角为45。，底面

ABC。为直角梯形，NA8C=NBAO=90。，%=BC=gA£>=l.问：在棱P。上是否存在一点

E,使得CE〃平面RW?若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由.

方vi忸痢

1.向量法证明线面平行的三个思路

(1)设直线/的方向向量是“，平面a的法向量是“，则要证明/〃a,只需证明即

au=O.

(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线

与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向

量是共线向量即可.

(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个

向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只

要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.

2.证明面面平行的方法

设平面a的法向量为〃，平面力的法向量为则a〃/?

跟踪训练2在正方体ABCQ-AiBCQi中，M,N分别是CG，81cl的中点.求证:

〃平面48D

题型三平面与平面平行

例4如图所示，在正方体A8C£»-4BCi£)i中，M,N,E,尸分别是棱4以，4A，

BiCi,GA的中点，求证：平面〃平面EFQB.

方Hi粗油

证明面面平行问题可由以下方法证明：

①转化为相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两

个法向量平行.本题采用的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常

用方法.

跟踪训练3在正方体A6C£)-4BiG2中，E,F,G,H,M,N分别是正方体六个表

面的中心.求证：平面EFG〃平面4MN.

易错辨析忽视直线与平面平行的条件致误

例5已知4(1,0,0),8(0,1,1),C(l,1,0),£)(1,2,0),E(0,0,1),则直线

CE与平面ABC()

A.直线0E与平面ABC平行

B.QEu平面ABC

C.直线OE与平面ABC相交

D.直线DE与平面ABC平行或OEu平面ABC

解析：因为丽=(-1,1,1),前=(1,0,-1),设平面ABC的一个法向量为"=(x,

y,1),则»i-AB=0,nBC=0,

一x+y+1=0,皿日x=11

所以解得所以"=(1,0,1).

x-1=0,y=o.

又DE=(—1,—2,1),

所以瓦-2,1)-(1,0,1)=0,

所以尻"L",所以0E〃平面ABC或。Eu平面ABC.

因为丽=(1,1,-1),所以前=2配+通，

所以A,B,C,。四点共面，

即点。在平面A8C内，所以。Eu平面ABC,选B.

答案：B

【易错警示】

易错原因纠错心得

本题易得直线DE的方向向量瓦与平面ABC

当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，

的法向量垂直，进而得到直线DE与平面ABC

直线与平面的位置关系有两种：一是直线与

平行的错误解答，实际上，当直线OE在平面

平面平行；二是直线在平面内，具体是哪一

ABC内，也有而与平面A8C的法向量垂直，

种，应进一步考查.

因此，需进一步判断DE是否在平面ABC内.

［课堂十分钟］

1.若直线/的方向向量为a,平面a的法向量为“，则能使/〃a的是()

A.a=(l,0,0),“=(一2,0,0)

B.a=(l,3,5),“=(1,0,1)

C.a=(0,2,1),M=(-l,0,1)

D.a=(l,—1,3),〃=(0,3,1)

2.设平面a的一个法向量为(1,2,-2),平面p的一个法向量为(-2,-4,k),若a//p,

贝k=()

A.2B.-4

C.4D.-2

3.已知直线/i,L的方向向量分别为a，b,且a=(/i+l,0,2),5=(6,2〃-1,27),

若则2与〃的值可以分别是()

C.-3,2D.2,2

4.在正方体ABCD-A/1G。中，点P在线段AQ上，点。在线段AC上，线段PQ与

直线4。和4c都垂直，求证：PQ//BDi.

第1课时空间中直线、平面的平行

新知初探•课前预习

［基础自测］

1.解析：由题意知：b——2a

."i与/2平行或重合.故选D.

答案：D

2.解析：；"=—3/n,'.m//n,〃4或a与£重合.故选D.

答案：D

3.解析：A、B不正确，C、D正确.

答案：CD

4.解析：fi-a——12+16—4=0,；./ua或/〃a.

答案：/ua或/〃a

题型探究•课堂解透

例1证明：以点。为坐标原点，分别以血，DC,西为正交基建立空间直角坐标系,

不妨设正方体的棱长为1,则A(l,0,0),E(0,0,i),G(0,1,1),F(l,1,i),

.•,AE=(-1,0,i),

%=(-1,0,0,西=(0,1,I),AF=(0,1,i),

.,.屈=同，EC7=AF,AEiiFQ,ECT^AF,

又：居AE,F^ECi,：.AE//FC\,EC\//AF,

二四边形AEG尸是平行四边形.

跟踪训练1证明：

如图所示，分别以D4,DC,所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设D4=a,DC=b,DDi=c,则得下列各点的坐标：

A(a,0,0),Ci(0,b,c),E(|a,|〃，c),

F(a，p.

.•・FE=(-|,0,AC1=(—b,c),

FEAC

.*.=3-71.

又FE与AG不共线，AtaEF//AC,.

例2证明：平面AE8,AEu平面AEB,BEu平面AEB,

：.EFLAE,EFVBE.

又：AE_LE8,：.EB,EF,E4两两垂直.

以点E为坐标原点，EB,EF,E4分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐

标系.

由已知得，A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,

0),.,.丽=(0,2,2),EG=(2,2,0),而=(2,0,-2).

设平面OEG的法向量为”=(x,y,z),

令y=l,得z=—1,x——l,贝“=(—1,1,—1),

AAB•n=-2+0+2=0,即靠_L〃.

困平面DEG,

；.A8〃平面DEG.

例3解析：

分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，则尸(0,0,1),C(l,

1,0),£)(0,2,0).假设在棱PC上存在符合题意的点E,设E(0,y,z),则屈=(0,y,z

-1),丽=(0,2,-1).VPE^PD,.力(一1)一2(z-l)=0①

VAD=(0,2,0)是平面的法向量，CE=(-1,y-\,z)

...由CE〃平面抬B,可得而，前1,y-l,z).(0,2,0)=2。-1)=0.

；.y=l,代入①式得z=”E是PO的中点，即当E为P。的中点时，CE〃平面以区

跟踪训练2证明：如图，以。为原点，DA,DC,。。所在直线分别为x轴、y轴、z

轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则

D(0,0,0),Aid，0,1),仇1,1,0),M(0,1,1),咤1,1),于是西=(1,0,

1),丽=(1,1,0),而=弓，0,1).

设平面Ai8。的法向量为"=(x,>1,z),则

n•DA1=x+z=0,

n•DB=x+y=0,

取x=l,则y=-l,Z=-1,

平面48。的一个法向量为〃=(1,-1,-1).

又丽•〃=(：,0,|)-(1,-1,-1)=0,

又MNQ平面A\BD,〃平面A\BD.

例4证明：

如图，分别以D4,DC,所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设

正方体棱长为a,则D(0,0,0),A(a,0,0),At(a,0,a),£>i(0,0,a),B\(a,a,a),

B(a,a,0),Ci(0,a,a),

；.呜0,a),M(a,a),

E6，a,a),F(0,|,a),

AAN=(-|,0,a),

NM=(|,I，0),而=(a,a,0),DF(0,pa).

设平面AMN与平面EFCB的法向量分别为,"=（笛，》,z»和"=（尬，丫2,Z2）,

„,fm-AN=0,(-^Xt+0-yj+azx=0,

2

则一二aa

(m•NM=0,+-yx+0•z1=0,

・・巾=X]=2z].取Z]■—19则X]=2,y12.

J平面AMN的一个法向量为m=(2,—2,1).

同理可得平面EFQB的一个法向量为〃=(2,—2,1).

V/n=n,：.m〃〃、，平面AMN〃平面EEDB.

跟踪训练3证明：

如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2,则E(l,1,0),F(l,0,

1),G(2,1,1),H(l,1,2),M(l,2,1),MO,1,1).

.*.EF=(O,-1,1),EG=(1,0,1),HM=(0,1,-1),HN=(-1,0,-1).

设,”=(X1,Z|),"=(X2,y2,Z2)分别是平面EFG和平面4MN的法向量，

由F三必得

(m-EG=0,I