高中数学必修1和必修4知识点

高中数学必修1和必修4知识点

函数的概念：一般地，我们有：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系

f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么

就称f：AfB为从集合A到集合B的一个函数记作：y=f(x),xGA.

函数概念的理解：

函数的三要素：定义域、值域、对应关系

(1)定义域：它是自变量x的取值范围，函数的定义域，就是使给出的解析式有意义

的自变量的取值集合

(注意：对于复合函数f[g(x)]而言如果函数f(x)的定义域为A,则f[g(x)]的定

义域是使得函数g(x)A的自变量x的取值集合；2如果函数f[g(x)]的定义域为A,则

f(x)的定义域是函数。

g(x)的值域)

例1求下列函数定义域

y/4+X

(l)f(x)2x；(2)f(x)1

1

丘

1

x；(3)f(x)1x

(2)对应关系：y=f(x)”仅仅是函数符号，

(3)值域：函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.

其类型依解析式的特点分可分三类：

(i)求常见函数值域；

(ii)求由常见函数复合而成的函数的值域；

(iii)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域.

求解函数值域方法:

直接法：利用常见函数的值域来求

配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：

2f(x)axbxc,x(m,n)的形式；

分式转化法(或改为“分离常数法”)

换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域.

例2求下列函数的值域：

(1)y3x2x2；(配方法)(2

\l~x~-6.r-5

)y(复合函数)

(3)y3x1

x2；(分离变量法)(4

-71-x

)yx(换元法)

2xx2

xx122(5)y|x1|x4|；(数形结合)(6)y.(判别式法)

时函数f(x)的值,是一个常

量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)仅仅是f(x)的一

个特殊值，例如一次函数f(x)3x4,当x8时，f(8)38428是一个常数.)

除此之外，我们还需注意一点：相等函数的判断。

由函数的定义可知，一个函数构成的三个要素是：定义域、对应关系和值域。而值域是

由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这

两个函数相等(或为同一函数)。两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一

致，而与表示自变量和函数值的字母无关.

例3下列四组函数中，表示相等函数的一组是()

A.f(x)x1x1,g(x)x21B.f(x)x2,g(x)(x)2

C.f(x)x1

x12f(x)与f(a)的既有联系又有区别，一般而言,f(a)表示当xa,晨x)x1

D.f(x)x,g(t)t2函数解析式：

把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。

求函数解析式的题型有：

(1)已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

(2)已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法；

(3)已知函数图像，求函数解析式；

(4)f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式：解方

程组法；

(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。

【待定系数法】(已知函数类型如：・次、二次函数、反比例函数等)

若已知f(x)的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从

而求力待定的参数，求得f(x)的表达式。

例4已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+l)-2f(x-l)=2x+17,求f(x)的解

析式。

例5求一个一次函数f(x),使得f{f[f(x)]}=8x+7

【换元法】(注意新元的取值范围)

已知f(g(x))的表达式，欲求f(x),我们常设tg(x),从而求得xgl(t),然后代

入f(g(x))的表达式，从而得到f(t)的表达式，即为f(x)的表达式。

例6已知f(x)(1x

1x)1x

1x22,试求f(x)的解析式。

【配凑法(整体代换法)】

若已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)的表达式，用换元法有困难时，(如g(x)不存在反

函数)可把g(x)看成一个整体，把右边变为由g(x)组成的式子，再换元求出f(x)的式

子。例7已知f(2x1)4x22x1,求f(x)。

【小结】待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，其中，待定系数法

只适用于已知所求函数类型求其解析式，而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同一

整体思想。

函数的性质：

函数奇偶性：若£(x)f(x),则函数f(x)就是奇函数；

若式x)f(x),则函数f(x)就是偶函数。

函数单调性：函数f(x)的定义域内某区间为A,对于任意xl,x2A,当xlx2时，

若f(xl)f(x2),则称函数f(x)在区间A内是增函数;

若f(xl)f(x2),则称函数f(x)在区间A内是减函数。

注意：奇函数的图像关于坐标原点成中心对称；

偶函数的图像关于y轴对称。

函数周期性：对于函数yf(x),如果存在一个常数T0,能使得当x取定义域内的一

切值时，

都有f(xT)f(x),则函数yf(x)叫做以T为周期的周期函数.

注意：周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正

周

期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数f(x)a(xR).

周期函数的定义域是无界的，若T为yf(x)的周期，则nT(nZ且n0)均为yf(x)

的周期

方法整理

奇偶性的判定方法:

(1)定义法；(注意:若函数定义域不是关于原点对称，则函数不具有奇偶性)

(2)图象法；(根据具体形象的图像观察，判定函数奇偶性)

(3)性质法：偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；

奇函数的和、差仍为奇函数；

奇(偶)数个奇函数的积、商为(偶)奇函数；

一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数。

F(x)f(x)f(x)为偶函数；F2f(x)f(x)为奇函数1

抽象函数奇偶性的判定方法：

无具体解析式，需利用给定的函数方程关系式，对变量赋值，使其变为含有f(x),

f(x)的式子，再加以判定。

单调性的判定方法：

(1)定义法；(注意：xl,x2的任意性，两者的大小，同属一个单调区间，函数值作差)

(2)图像法；(根据函数的直观图像，能清晰的判定其单调性)

(3)性质法:

(i)利用已知函数的单调性；

函数f(x)与函数g(x)af(x)C(C为常数)

当a0时，f(x)与g(x)具有相同的单调性；

当a。时，f(x)与g(x)的单调性相反。

若f(x)0,则h(x)a

f(x)C(C为常数)

当a0时，f(x)与h(x)具有相反的单调性；当a0时，f(x)与g(x)的单调性相同。

若函数f(x)和函数g(x)在相同区间同为增函数，则f(x)g(x)为增函数；若函数f(x)

在区间［a,b］上为增函数，且g(x)在［a,b］上为减函数，则f(x)g(x)为增函数。

函数相同区间内的单t

\

/(X)/

\\

g(x)

\/

经典例题讲解

例1判定下列函数的奇偶性，并说明理由.

(l)f(x)xx1,x［1,4］；(2)

(3)f(x)2f(x)(x1)1xlx,x(1,1);x(1x),x0,

x(1x),x0.

2例2已知yf(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x2x,求f(x)在R上

的解析式。

例3讨论函数f(x)

axx12(a0)在x(1,1)上的单调性。

2例4函数ylogl(2x3x1)的递减区间是()

2

A、(，1)B、(，1］C、(，］D、(,)2211

例5已知偶函数f(x)在区间［0,］上单调增加，则满足f(2x1)f()的x的取值

范围是31

()

A、B、［,)C、D、［,)(,)(,)3333232312121212

例6定义在R上的增函数yf(x)对任意x,yR都有f(xy)f(x)f(y).

(1)求f(0)(2)求证：f(x)为奇函数

(3)若f(k3x)f(3x9x2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围。

例7已知偶函数f(x)满足f(3x)f(3x),当x(0,3)时，f(x)x2,当x(9,12)

时，f(x)

解析式。

例8已知yf(x)是R上以2为周期的偶函数.若在区间［0,1］上f(x)24x2x2,则

对任意

nN,在区间［2n,2n2］上f(x)的表达式为

基本初等函数

有关根式的知识点：

n次方根：一般地，若x

nx叫做a的n

n

nN*,当n为偶数时，a的n

次方根中，正数用

n为奇数时，a的nn称为根指数，a为被开方数.

n为奇数，a的n次方根有一个,a为正数:n为偶数，a的n次方根有两个，为

n为

奇数，a的n次方根只有一个,a为负数：n为偶数，a的

加.

n次方根不存在.

零的n

行

0

小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还

要分清

n为奇数和偶数两种情况.

根据

行

n次方根的意义，可得：na

通过探究得到：n为奇数，a

n为偶数，指数界的运算法则：

aaaaa,aInOa,a0|aa,a0(a0),0无意义Oan

mlan(a0)aaamnmn;(a)amnmnm(a)namn,(ab)

行

ab

*nnnana0,m,nN*)am

n1

m(a0,m,nN)

an

实数指数累，即：

aaa

rrsrs(a0,rR,sR)(a)a(a0,rR,sR)rsrsr(ab)ab(a0,rR)r

(2n1

例1、计算:

12n12)()2的结果n248

例2、若a33,al0384,求a3[(al0a31)7]n3的值

指数函数的定义：

一般地，函数yax(a>0且aWl)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为

R.根据指数函数的定义来判断说明：因为a>0,x是任意一个实数时，ax是一个确定的

实数，所以函数的定义域为实数集R.

x当x0时,a等于0若a0,x当x0时,a无意义

1

618等等，在实数范围内的函数值不存在.若a<0,如y(2)x,先时，对于x=,x

若a=l,ylx1,是一个常量，没有研究的意义，只有满足yax(a0,且a1)的形

式才

1

x5xx能称为指数函数，a为常数，象yx,=y2-x,3,y3y=,2y3x

x符1合ya(a且0的al形式)，所以不是指数函数.

图象特征函数性质

a>10<a<la>1

向x轴正负方向无限延伸函数的定义域

图象关于原点和.V轴不对称小奇非偶函孑

函数图象都在X轴上方函数的值域为

函数图象都过定点（0,1）«°=1

自左向右，自左向右，

增函数

图象逐渐上升图象逐渐下降

在第一象限内的在第一象限内的

图图A>0,fl*>1X

象纵坐标都大于1象纵坐标都小F1

在第二象限内的在第二象限内的

M

图图xVO,a<lX

象纵坐标都小于1象纵坐标都大于1

指数函数图像:

0<a<1a>1

利用函数的单调性，结合图象还可以看出:

(1)在［a,b］上,f(x)=ax(a>0且a#l)值域是［f(a),f(b)］或［f(b),f(a)］;(2)若

x0,则f(x)l；f(x)取遍所有正数当且仅当xR;(3)对于指数函数f(x)ax(a>0

且a/l),总有f(l)a;(4)当a>l时，若xlVx2,则f(xl)Vf(x2)；

例3已知a

X

6

5(a0),求

a

3xx

a

3xx

aa

的值

解：axaxaxaxa

2x

a

2x

(aa

x

xx

)222

2

a

3xx

a

3xx

aa

(aa

x

)(a

x

2x

1a

x

2x

)

aa

23

例4.已知定义域为R的函数f(x)

2b2

x1

X

a

是奇函数.

(1)求a,b的值；

(2)若对任意的tR,不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围。

解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0,即

212

b2a

0,解得b

从而有f(x)

,解得a2.又由f(l)f(1)知

4alaa

(2)解法一：由(1)知f(x)

221

由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式

2

2

1

1

x

f(t2t)f(2tk)0等价于f(t2t)f(2tk)f(2tk).

22

因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2t2tk.即对一切tR有

3t22tk0,从而412k0,解得k

解法二：由(1)知f(x)又由题设条件得即(2

2tk1

2

22

13

212

2

x

1

2

2

12

0

2tk

2

22

2

t2t

2

12

t2t1

2

22

2

2tk

2tk1

2

2)(2

t2t

1)(2

t2t1

2)(2

2

1）0

1

整理得2

3t2tk

1,因底数2>1,故3t2tk0

3

上式对一切tR均成立，从而判别式412k0,解得k.

有关指数的大小：

例5、已知a0.80.7,b0.80.9,c1.20.8,按大小顺序排列a,b,c.

1

31例6、比较a与a2的大小（a>0且a20）.

指数函数的图像变换

例7为了得到函数y93x5的图象，可以把函数y3x的图象（）.

A.向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度

B.向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度

C.向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度

D.向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

备注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题,

所以要

熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等.

对数

对数的概念：如果a（a0,且a1）的b次某等于N,就是abN,那么数b称以a为底

N的对数，

记作logaNb,其中a称对数的底，N称真数

1）以10为底的对数称常用对数，loglON记作IgN,以无理数e（e2.71828）为底的

对数称自然对数，logeN,记作lnN2）真数N为正数（负数和零无对数），logal0,

logaa1,对数恒等式：alog

对数函数：

a

N

N

①定义：函数ylogax（a0,且a1）称对数函数，函数的定义域为（0,）;函数的

值域为R;3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数；4）对数函数

ylogax与指数函数yax（a0,且a1）互为反函数②函数图像：

1）对数函数的图象都经过点（0,1）,且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y

轴为渐近线

（当0a1时，图象向上无限接近y轴；当a1时，图象向下无限接近y轴）；

4）对于相同的a（a0,且a1）,

函数ylogax与ylog

la

x的图象关于x轴对称。

对数性质：如果a0,a0,M0,N0,则

loga（MN）loglog

M

n

a

Mlog

a

N

;log

M

a

N

log

a

Mlog

a

N

a

nlog

a

M(nR)

换底公式:

log

a

N

loglog

mm

Na

(a0,a0,m0,m1,N0),

nm

1)logablogba1；2)log

对数与指数的关系：

ylal,y2a2

x

x

a

m

b

n

log

a

b

；3)logablogbclogac

yllog

al

x,y2log

a2

x

若ala21,则x0时，yly2若ala21,则x1时,yly2若1ala20,则

x0时,yly2若1ala20,则x1时,yly2轴a1时，(x1)越大越靠近x

轴

1a0时，(x0)越小越靠近y轴1a0时，(x1)越小越靠近x轴

经典例题讲解

2

例1、计算IgO.OOl1g

a1时，(x0)越大越靠近y

13

41g34lg6lg0.02的值例2

>/3x-2

、求函数f(x)log的定义域2x1

例3、已知函数f(x)

解：x0且1x

1Xlxlog21xlx,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性，即定义域为

(1,0)(0,1)；1x

1xf(x)为奇函数0,1x1月.x01

xlog21xlx1

xf(x)

log2

例4、已知函数ylogax

a2loga2,当x2,4时，y的取值范围是ax1求实数8,0,

a的值

2

axxx4解析：将其写成loga的有关形式，然后进行配方，求出loga的取值范围

logaloga,log,最后

得出

loglogaa4221解得a=0.5

例5、已知fx3a1x4a,x1是（-，）上的减函数，那么a的取

值范围是（）logx,xla

1111.0,1.0,C.,D.,13737

例6、若函数f（x）logax（0a1）在区间［a,2a］上的最大值是最小值的3倍，则a的

值为（）

A.2

4B.22C.14D.12例7、若函数yloga(xb)(a0,a1)的图象过两点(1,0)

和(0,1),则()

A.a2,b2B

五

.ab2

C.a2,b1D

.ab例8、已知f（x6）log2x,那么f（8）等于（）

A.4

3B.8C.18D.1

2

例9、函数ylgx（）

A.是偶函数，在区间（,0）上单调递增

B.是偶函数，在区间（,0）上单调递减

C.是奇函数，在区间（0,）上单调递增

D.是奇函数，在区间（0,）上单调递减例10、设fxaxb同时满足条件

f02和对任意xR都有fx12fx1成立.

(1)求f(x)的解析表达式

(2)设函数g(x)的定义域为2,2,且在定义域内，gxfx,求

g1x

(3)求函数ygxg1x的值域

事函数

掌握5个基函数y=x,,y=x,y=x,y=x2,y=

小结：

1、所有哥函数在(0,)上都有定义，且均过点(1,1)；

当慕函数为偶函数过(-1,1)；当基函数为奇函数时过(-1,-1)2311X图像特点

2、当a0时，基函数在第一象限内恒为增函数，过定点(0,0)；

当a0时，某函数在第一象限内恒为减函数，

当x从右边趋近原点时、图像在y轴右方逼近y轴；当x趋近于时，图像在x轴

上方逼近x轴；

3、幕函数一定不经过第四象限

4、当a为奇数，基函数为奇函数：

当a为偶数，惠函数为偶函数；

5、a的取值越大，图像越靠近y轴。

注意：判断一个函数是否为基函数，根据事函数的三个特征：

指数为常数a(aR)；底数为自变量；系数为1.

经典例题讲解

例1、若冥函数ym23m17x4mm的图像不过原点，求实数m的取值范围。

(事函数定义)2

例2、已知0.71.31.30.7,求m的取值范围。(比大小)mm

例3、当k0,时，试研究方程xkx的解的个数。(数形结合)21

33

例4、比较与的大小。

345534

例5、求函数yx3x的单调递增区间。

例6、函数ymx4xm24x2mx1的定义域是全体实数，求实数m的

取值范围。21

例7、设a1,1,,3则使函数yxa的定义域为R且为奇函数的所有a的值为？

21

1

21例8、试比较下列各组值中两数的大小:(1)2.3,2.42(2)1.21.1,1.11三角函

数

角：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形(正角、负

角、零角在坐标系中分象限角、轴线角)度数与弧度数的换算：1800弧度，10

18000

1弧度57.305718

180

弧度0.01745弧度

弧长公式：1r扇形公式：S扇12

lr

12

2

r

第一象限第二象限第二

sinx正正负

cosxIE负负

tanx1E负正

同角三角函数的基本关系:

倒数关系：sin*csc=1,cos*sec=1,tan*cot=1商数关系:

tan=sin/cos,cot=cos/sin

平方关系：sin2cos21,1tan2sec21cot2csc2诱导公式

（奇变偶不变，符号看象限）（sin（k

2)

)

诱导公式一：s,c,tan(k)tan,kZ

in(2k)sinos(2k)cos

诱导公式二：sin(180)sin；cos(180)cos；

tan()tan

诱导公式三：s；cin()sinos()cos；tan()tan

诱导公式四：s；cin(180)sinos(180)cos；

tan()tan

诱导公式五：sin(诱导公式六：sin(其他公式：sin(

sin(

2

)cos)cos

cos(；cos(cos(cos(

2

）sin

23232

22

）sin）sin

）cos）cos

332

）sin

化简三角函数的方法：（1）先负角化正角

（2）将较大的角减去2的整数倍

（3）然后将角化成形式为

k2

（k为常整数）；

（4）然后根据“奇变偶不变，符号看象限”化为最简角；三角恒等式证明的常用方

法：

（1）单向证明：从一边开始征得它等于另一边，遵循由繁到简原则（2）双向启动：左

边=八，右边=A，则左边等于右边，A起着中间传递作用（3）证等价命题：左边-右边=0

或

左边右边

1,将原等式转化为另一个等价的便于证明的等式

在计算、化简或证明三角函数常用的技巧

(1)“1”的代换

(2)切化弦，弦化切：将正(余)切化为正弦和余弦(3)整体代换

(4)充分应用代数公式，如：a3b3aba2abb2或

(ab)3a33a2b3ab2b3两角和与差：sinsincoscossin

coscoscossinsintan辅助角公式:

asinxbcosxAsinx其中角所在的象限由a,b的符号确定,值由tan

二倍角：sin22sincos

cos2cos2sin212sin22cos21,tan2

2tan1tan

2

tantan1tantan

ba

确定

2

cos

和差化积：sinsin2sin

2

coscos2cos

22

cossin

22

cos-cos2sin积化和差：sincos

cossin

121212

sinsincos

sinsin

,sin

sin

12

coscos

2tan

cos

coscos

2

1tan

2

,tan2

2tanltan

2

万能公式：sin

1tan

三角函数图像性质:

1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2、三角函数的单调区间：

的递增区间是

递减区间是

的递增区间是

递减区间是

的递增区间是

3、函数

最大值是

相位是，最小值是，周期是，频率是，，，，，；，初相是；

的交点都是该图象的对称中心。图象的对称轴是直线凡是该图象与直线

图像变换

4、由丫=$1”的图象变换出y=sin（3x+）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个

途径，

才能灵活进行图象变换

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.

无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大

变化，而不是“角变化”多少.

途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）

先将y=sinx的图象向左（＞0）或向右（＜0=平移II个单位，

再将图象上各点的横坐标变为原来的

倍（3＞0）,便得y=sin（3x+）的图象。

途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。

先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的

再沿x轴向左（＞0）或向右（＜0=平移

5.由y=Asin（3x+）的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y=Asin（3x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（一作

为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.

6.对称轴与对称中心：

的对称轴为

的对称轴为

对于和，对称中心为，对称中心为；：，0）倍（3＞0）,个单位，便得y=sin（3x+）

的图象。来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

7.求三角函数的单调区间：-•般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意

A、的正负。利用单调性三角函数大小一-般要化为同名函数，并且在同一单调区间；

8.求三角函数周期的常用方法：

经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9.五点法作y=Asin（wx+）的简图：

五点取法是设X=3X+,由x取0、、“、

作图。

例题讲解

例1、在平面直角坐标系中角a与角b的终边互相垂直，则角a与角b的关系是（）

Aa+b=00Ba+b=k*3600Ca-b=k*3600+900Da-b=k*3600900

例2、若角a的终边所在的直线过（1,1）则与角a终边相同的角的集合

例3、如果圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的1.5倍，求该弧所对的圆心角

是原来的

几倍

例4、在扇形AOB中，AOB二900,弧长AB=l,求此扇形内切圆的面积

已知sincos2

3、2n来求相应的x值及对应的y值，再描点,0,,求sin与cos及

sin3cos3的值

(sin2cos21)

22tanx>cosx成等差数列，求证:tanx>cotx>lOcosx成等比数列例5、已知

sin2x、1315sin3cos877例6、设

tana,求20227sincos77

3sincos2tan2例7、一知

cotsin

(1)化简f(a)

(2)若cos

3125,求f(a)

例8、求证:

例9、已知3sin2cos，求

例10、求值

2sinl70cosl70020001sectan1sectantansec

cossincossincossincossin与

sin22sincos4cos2的值cos370cosl90例11、设f

例12、求值:

2cossin32cos23,求

222coscos2f的值

3sin7cosl5sin8cos7sinl5sin8000000

例13、已知sin

12,sin13,求tantantantantan2的值

例14、已知sinsin

14,coscos13求cos及tan的值

1sin

例15、化简：

cossincos2222cos18003600例16、已知tan

22,求⑴tan4(2)的值，6sincos3sin2cos

的值

■

T

SE

T

例17^把函数y=cos(x+是

A.B.)的图象向左平移

个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值C.D.

3

例18、试述如何由y=sin(2x+)的图象得到y=sinx的图象.

平面向量：

1、向量：既有大小又有方向的量叫向量.

2、平行向量：若非零向量a,b方向相同或相反，则2〃13；规定零向量与任一

向量平行

3、向量相等：ab模相等，方向相同；相反向量：ab模相等，方向

相反

4、两个非零向量a、b

a5、向量在b的夹角：做OA=a；OB=b；AOB叫做a与b的夹角。a：

设方向上的投影为、b的夹角，则acosa为在b方向上的投影

6、平面向量基本定理：

若el,e2是同一平面的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a,有且只有一

对实

数1,2,使得alei2e2o

7、坐标表示：i、j分别是与x轴、y轴同向的单位向量，若axiyj,则

x,y叫做a的坐

标。

向量的坐标表示：0A

若向量axiyjx,y;22x,y,贝ija|xy；

x2xl,y2yl;若Pl(xl,yl)、P2(x2,y2),则P1P2

|PlP2|=(x2xl)2(y2yl)28、向量的坐标运算及重要结论：

若2=(xl,yl),b=(x2,y2),则①ab③a

xl

x2,yly2

②a

bxlx2,yly2

xl,yl(4)abxlx2yly

⑤a//bxly2x2yl0⑥abxlx2+yly2=0(7)cos

xl

2

xlx2yly2yl

2

（为向量的夹角）

2

x2y2

2

9、点P分有向线段P1P2所成的比的：PIPPP2,或

PP2

P内分线段P1P2时，0;P外分线段P1P2时，0.

xlx2xlx2xx12

10、定比分点坐标公式：1,中点坐标公式:

yyyy22y1y1

21

11、三角形重心公式：（

xlx2x3

3

yly2y3

3

)

12、解决三点共线问题：在几何图形种选一对不共线的向量，分别表示出需要的向量,

再证明

向量共线，从而得到点共线。

数量积运算律：

运算向量形式坐标形式：«=（x,

三角形法则（作图）：

/\c

Az----------iB

AB+BC=一

加法