高中数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向量及其应用综合强化2

高中数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向量及其

应用综合强化2

第I卷（选择题）

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一、单选题

1.已知向量的夹角为?，忖=2同=2,向量3=妨+）石，且x,ye[l,2],则向量万忑

夹角的余弦值的最小值为（）

A屈R277n3夜T

77214

—2—1—

2.△A6C中，若AB=AC=5,8C=6,点E满足CE=西。+二。3,直线C£与直线A3

相交于点£）,则cosNADEn（）

3.在AABC中，〃,仇。是角481的对边，已知A=（M=7,则以下判断错误的是（）

49万

A.AABC的外接圆面积是亍：

B.Z?cosC+ccosB=7；

C.匕+c可能等于14；

D.作A关于BC的对称点4,则|A4'|的最大值是苧.

4.在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为“，b,。，S为AA3C的面积，且

25=储-伍一C）c，则2h的取值范围为（）

C

5.若面积为1的AABC满足4J=2AC,则边BC的最小值为（）

A.1B.yjiC.73D.2

6.已知平面向量2,5满足|£|=2,|5|=退,且|点+（1-2x）b|（xeR）的最小值巫，则

2

|。+防l（ywR）的最小值为（）

A.6B.1C.2D.1或2

2

二、多选题

7.已知AA8c的内角分别为A,8,C,满足sinA:sinB:sinC=ln2:ln4:lm（f>0）,且

祢0=,"而2（小€/?）,则以下说法中正确的有（）

A.若“BC为直角三角形，则,=2巴

B.若机=：,则"ABC为等腰三角形；

O

C.若f=4,贝隆^^:的面积为姮卜、；

4

TT9

D.若，则

8.一般的，的夹角可记为卡,可，已知同一个平面上的单位向量满足

（£,今+（反》+（",£）=万，则归+五一可的取值可以是（）.

A.72-1B.1C.2D.72+1

第II卷（非选择题）

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三、填空题

9.在锐角三角形ABC中，角A、8、C的对边分别为〃、b、c,且满足〃一“2=双，则

-5---二的取值范围为__________.

tanAtanB

10.已知,&是空间单位向量，且满足q♦%=6,%=4,%=g，若向量，

B=3痛'+（1-#温2G/?,则豆在B方向上的投影的最大值为.

11.设q,g为单位向量，非零向量％=的+yG，x,ye：R.若4,g的夹角为不，

IYI

则号的最大值等于________.

1^1

12.如图，在平面四边形ABCD中，AB1BC,ADLDC,AB=AO=1,ZBAD^y,

射线BC上的两个动点E,F（E在线段8c上，且不与8,C重合）满足DC平分NEDF,

则当4BE+BF最小时，tan/E£>F的值是.

试卷第2页，共4页

D

A

B

四、解答题

13.如图，某市拟在长为8km的道路。尸的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为

曲线段QSM,该曲线段为函数'=公布8(4>0,。>0),》曰0,4］的图像，且图像的最高

点为5(3,26)；赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全，限定

(1)求的值和两点间的直线距离；

(2)折线段赛道MNP最长为多少？求此时点N的坐标.

14.在AEFG中，H为FG上一点、,FH=2HG,3sinF=sinZE//G,M是线段E尸的

延长线上一点.

(1)证明：ZMEG=ZHEG-,

(2)若，G=3,EH=2,求EG.

15.己知。为AABC的外心，求证.)sinNBOC+丽sinNAOC+元sinNAOB=6.

16.在①岑=-J_,②.即③2S=-君丽•就三个条件中任选

cosC2a+csmB-sinCa+c

一个补充在下面的横线上，并加以解答.

在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C且,作使得四边形

ABCQ满足NACO=q,AD=6,求BC的取值范围.

c

B

AD

试卷第4页，共4页

参考答案

1.A

【分析】

依题意可得-暮F

2

3y2则3=x2+2xy+4V

令+4=、河+3,

2xy+4y2'uy2闱+2力

144/、

通过换元可得〃£,所以，当〃==时,可得cos低同的最小值.

【详解】

依题意可得同=1,M卜1,则万.5=同.|5卜053=1义2、3=1,

ac=a-{^xa+yb^=xar+ya-b=x+y,

c~=(而+该)=x2J2+2xya-h+y2h2=x2+2xy+4y2,则同=收+2肛+4y2,

acx+yx2+2xy+V_3y2

所以，cos{a,c)=1-

同•同行+2孙+4）2x2+2xy+4y2'炉+2冲+4y之'

2

,则3/+2盯+4/+4无+1J+3,

令〃=+2-

x2+2封+4y2

U旧

x

号弋=一，由％yw［i,2］得让?2'

y

则?="+1)2+3£弓,12,「c、J7/j14

所以Y74,故“e

47

4

所以，当“=］时，cos

故选：A.

【点睛】

14

关键点点喻本题关键点是：令通过换元得到

2.A

【分析】

本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出8（0,0）、C（6,0）、A（3,4）,然后根据A、B、

__9__a__

3三点共线以及C、E、。三点共线得出丽=,无+［而，再然后根据向量的运算法则得

答案第1页，共17页

——痴8―.BADC

出。C=露,、84=(3,4),最后根据cos/AOE=厮p国即可得出结果.

【详解】

因为AB=AC=5,BC=6,所以8(0,0),C(6,0),A(3,4),

i^CD=xCA+yCB,

因为A、B、。三点共线，所以x>0,y>0,x+y=l,

—2—•1一—-

因为CE=wCA+gCB,C、E、。三点共线，所以11=工,

2!

联立；15=；5；,解得2y=3:,—CD^2^C—A+3^C—B,

Ay5555

.x+y=l

8

因为丽=(-6,0),C4=(-3,4),所以丽

5

因为丽=(3,4),

7232

,BADC

所以cosZ/A4nOcE=

故选：A.

【点睛】

方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数

量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题.

3.D

答案第2页，共17页

【分析】

对4利用正弦定理可求得AABC的外接圆半径，即可求解AABC的外接圆面积；对8：利

用余弦定理角化边，即可求解；对C：利用正弦定理边化角，再结合两角和差的正弦公式,

即可求解；对利用三角形面积公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解.

【详解】

TT

解：对A：,：A=—fa=7,

.••由正弦定理可得嬴"=耳=，即AABC的外接圆半径/?=拽，

T3

「.△ABC的外接圆面积是屐=等，故A选项正确；

对B：由余弦定理可得AcosC+ccosB=b-M也~-+c-C+a—=r/=7,故8选项正确；

2ablac

对C:由正弦定理可得〃+c=2R(sinB+sinC)=^^sin((—a)+sin(2+a)]=14c°sa,

TV力

(——<ct<—,

I33)f

.-.Z>+ce(7,14],故C选项正确；

对。：设A关于8C的对称点我A,A到BC的距离为人，

Lait=Li)CS{n—即〃

22314

又由余弦定理可得/=Z?2+c2-2Z?ccos~=^2+/-bc..2bc-bc=bc,当且仅当8=C时等号成立,

所以h=@bcW也义于，即生亚，

14142

所以161的最大值是7右，故。选项错误.

故选：D.

4.D

【分析】

根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得tan进而求得A的各个三角

函数值，再利用正弦定理边化角求得2关于C的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到

C

TTTT

0<^-C<A<^,利用三角函数的性质求得取值范围即可.

【详解】

答案第3页，共17页

解：△ABC中〃2=从+02-2Z?ccosA,S=—ftcsinA,

2

由2s=/-(b-c)2,得反sin4=2Z%:—2/?ccosA,/.sinA=2(1-cosA)•

.A八.MJ,

即2sin—cos—=4sin2—,sin—>0,

222222

3

•4—,

sinCsinCsinC5tanC5

TTTT7T

,**/\ABC为锐角二角形，**•A+C>—,0<----C<A<一,

222

tan工71-cLtanA，

o<—

tanC23

:.九上+九"3?=竺

55tanC5535153

35

c553

故选：D.

5.C

【分析】

由已知利用三角形的面积公式可得AC?=下三，由余弦定理可求BC2sinA+4cosA=,利用

sinA

辅助角公式和正弦函数的性质即可求解.

【详解】

解：•.•△ABC的面积S=l,且钻=2AC,

1)

2

Sf8c=-A5・AC・sinA=ACsinA=l,

AC2=-4—

sinA

・•・根据余弦定理得:

BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosA

=44C2+AC2-2-2ACACCOSA

_^AAAA…z5-4cosA

=5AAC2-4AC-cosA=(5-4cosA)AC=-------------

sinA

即…当

可得BC2sinA+4cos4=5,

答案第4页，共17页

/.BC2sinA+4cosA=\JBC44-16sin(A+tz)=5,

5

则JbC4+16=2

sin(A+a)

解得：BC>43,

即边BC的最小值为出.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角形的面积公式、余弦定理和辅助角公式的应用，以及正弦函数的性质在解三角

形中的应用，考查了化简和运算能力.

6.D

【分析】

3

设“X)=|法+(1-2x)5『，1.5=♦，则/(X)=(16-4/)/+(2/-12)x+3,由"X)的最小值为:，

4

得4x(16=42：3;("-12)-=；且16-4"0,解得r=0或f=3,然后分2种情况考虑

4x(16-旬4

Ia+yb|(ye/?)的最小值，即可得到本题答案.

【详解】

设f(x)=|xa+(l-2x)312,a-b=t»

则/(x)=Q•f+2x(1-2x)a-6+(1-2x)2b

=4/+2x(1-2x”+3(1-4x+4x2)

=(16-40x2+(2r-12)x+3

因为|xa+(l-2X)B|(X£R)的最小值乙,

2

所以g)的最小值为力

4x(16-4/)x3-(2—12)23

=“且16-4”0,

、4x(16-4r)

解得f=0或/=3,

当1=0,即〃石=0时,

\a-\-yb|=\)4+2ya-b+3y2-《4+3/>2，

答案第5页，共17页

所以+防|(ywR)的最小值为2；

当t=3,即)石=3时,

\a+yb\=\j4+2ya-b+3y2-J3y2+6y+4=^3(y+1)2+1>1，

所以|a+yB|(yeR)的最小值为1,

综上，|Z+肪l(yeR)的最小值为1或2.

故选：D

【点睛】

本题主要考查向量的模的计算与二次函数值域的综合问题，考查学生的推理分析能力和计算

能力.

7.BD

【分析】

利用正弦定理边角互化设a=%/"2,b=kM—2kln2,c—klnt,结合两边和大于第三边求得2

<?<8,讨论t判断选项4,利用余弦定理得m的式子判断8£>,•利用面积公式判断C

【详解】

根据题意，依次分析4个结论：

对于A,根据题意，若sinA：sinB：sinC=/z?2：ln4：Int,则a：b：c=ln2：历4：lntf

故可设a=kl〃2,b=kln4=2klri2fc=klnt,k>0.

则有h-aVcV/?+〃，则k比2Vc<3k加2,变形可得2VfV8,

当4vfv8时;c最大，若AABC为直角三角形,则/+从一。2=0,即5依历22一k2/〃2,=。，

解得r=2石；

当2VY4时；若aABC为直角三角形，则/+02一/=0,即女2加22—42历2”()‘解得"24

综上：z=26或/=26，故A错；

2222222

百日而*—­—；.a+b-ccr+b-^5khi2-c

由题悬，CACB=abcosC=ab----------=----------=-----------=me?2,

2ab22

.CACB5k2ln22-c25k2In221

,,"i=----—=-----------=----m------

c22c-2c-2

若m则及华:解得仁4,故匕=。，AABC为等腰三角形；B正确；

82c28

对于C,当，=4,a=k/〃2时，则6=火/〃4,c—klnt—kln4,则有6=c=2a,此时等腰△4BC

答案第6页，共17页

底边上的高为h=4_且=姮kln2,三角形面积为,"二妪公.？，C错；

V4224

对于力，当c>gj,r则有。2+〃“2<0,即弘为22一/<0,解得0<k丝~ln~上2<■1!■由选项A8的解

2C'5

正5，，ci1。，/C2人由#殂1廿府21砧5k2In22-c25k2In121（2）

析知&历2<c<3&/”2综合两式得一<——<-,故”?=-----；——=---；------e--,0

9c252c22c②2I9J

选项D正确；

综合可得8。正确；

故选：BD.

8.ABC

【分析】

结合题意，讨论满足«»+（£»+,，£）=万的情况，分别研究|£+五-4即可

【详解】

由题意可知,当£_L石且"在£[之间时,满足（港）+伍,今+伍£）=1，

如图所示，不妨令函=£,而=瓦的=",

则易知£+5=丽，a+b-c=OD-OC=CD,

结合图象可知当C点在OO上时，|CD|.=0-1,

当点C与点A或点8重合时，|。刈3=1,

此时，\/2-1<|<7+S-C|<1；

当办"且.在〃之间时，满足（£,[+„+（C,Q=九,

如图所不，不妨令OA=a,OB=B,CO=c,

过点。作OD//AC,且|OQ|=|Aq,连接。C,则易知ODC4为平行四边形,

答案第7页，共17页

y

彳A

又易知砺一诙=m=刃，贝！1—"+5=丽+砺=而，

结合图象可知当8点与C点时，忸。，向=1,

当B点与A点重合时，|即心=6,

止匕时14卜+B-C卜石；

当且I在为」之间时,满足(£,今+(瓦。+9£)=乃，

同理当且万在2"之间时,有1中+石-[4石；

综上可知：V2-l<|«+5-5|<75

故选：ABC

“考

【分析】

由余弦定理化简已知式，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换得3=24，由锐角

三角形求得48的范围，待求式切化弦，通分后利用已知条件化为一二，由正弦函数性质

可得范围.

【详解】

因为〃一〃2=,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，所以ac=/-2〃c、cosB,

C=2〃COSB+Q,

由正弦定理得sinC=2sinAcosB+sinA,所以

sinA=sin(A+B)-2sinAcos^=sinAcosB+cosAsin^-2sinAcosB=cosAsin5-sinAcosB

=sin(3-A),

因为△ABC为锐角三角形，所以A=3—A,B=2A,。=万一34,

答案第8页，共17页

由A,B,cd(),/),得TC717171

,Be

7N5巧

1cosAcosBsin^cos>4-cosBsinAsin(8-4)sinA

tanAtanBsinAsinBsinAsinBsinAsinBsinAsinBsinB

sinBG」，所以言』

故答案为:

【点睛】

本题考查都得用正弦定理和余弦定理求三角函数的取值范围，解题关键是由正弦定理和余弦

定理变形化简得出三角形中角的关系，从而再由锐角三角形得角的范围.再把待求式化为某

个角的函数，从而求得取值范围.

10-T

【分析】

一e,b

先确定63在各方向上的投影用新计算，对该式子利用数量积相关公式化简，再用换元法

转化为求二次函数的最大值.

【详解】

一e,-b

%在5方向上的投影为方.

e3+—丸)=3/lqs.色

W|3&]+(1-4)回小3猛+(1一4同

ITIT

4-e=e-e=eq=g代入整理得,

把同=%=1,223}

2+2

e3'b_

T=入一+2+】

答案第9页，共17页

所以产的最大值为#.

故答案为：”

3

11.2

【分析】

由题意，可得|万|=次=必二瓯万，从而可得当x=0时，曷=°；当XWO

|x|_|x|二IfI1一|x|

时，面-6+石孙+)-*+&+!_卜+与+工，再利用二次函数的性质可得面的

最大值，比较大小即可得答案.

【详解】

解：1为单位向量，1和1的夹角等于

.一一_1.冗_G

,•q•当=1X1XCOS—=--,

~62

当x=0时，则瞿=。；

出|

1UU

・・•非零向量有=xet+ye2，

:\b|==｛犬+2盯q♦以+V=yjx2+\/3xy+y2

•••当xW0时,

2

“1=⑶_.rI11

⑸J2+6孙+丁山2+指孙+),21J省工+心2\(上+乌2+:

故当£=一如时，詈取得最大值为2,

x2闻

综上，叫取得最大值为2.

闻

故答案为：2.

12.5/3

【分析】

-TT

由已知求得8C,设NCDE=NCZ)F=0(O<0<y),利用正弦定理把CE、CF用含有。的

代数式表示，可得4BE+8F,换元后利用导数求最值.

【详解】

答案第10页，共17页

解:如图,

在平面四边形ABC£>中，ABLBC,ADLDC,AB=AD=\,ZBAD=y,

可得BC=DC=43.

在线段8c上（不含端点），且OC平分/0凡

TT

设(0<0<-),

3

CE「口—6sin。

在△（?£>£■中，由sin厂可得=.产小・

sin(y+0)sin(y+0)

CFGsin。

在ASF中，由初一嬴尹;，可得C-二.,2产小.

sin(—+0)

Visingr-百sing

；・4BE+BF=4(7

+Gsin64百sin04Gsin。

56+Vising

7T7T—cos^--sin0走cosO+kin。

sin(y-0)sin(§+。)

2222

^^sin2^--sin0cos0

10百tai?9-18tan。

=56+-----------------=5A/3-

2

-cos20--sin20tan0-3

44

令％=tanew(0,6),

6(&-1)(0-9)

则函数尸片(xf2

当x=tan6=中时，函数y取得最大值，即4BE+3F取得最小值,

此时tanZEDF=tan20=2t血）=百.

1-tan-0

故答案为：^3.

【点睛】

本题考查三角形的解法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题.

答案第11页，共17页

13.(1)A=2G,o=£,|MP|=5km；(2)MNP最长为应^km,此时点N的坐标为

63

’12+石9+4疔

6)

【分析】

(1)由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出。，将M的横坐标代入求出”的

坐标，利用两点距离公式求出|MP|；

(2)由余弦定理得MN2+NP2+MV-N尸=25,利用均值不等式求解，且有=求出坐

标.

【详解】

(1)依题意，有A=2&W=3,又7=生，：.(o=-,

4co6

Ay=2V3sin—x,当x=4时，y-2>/3sin—=3

63

.•.M(4,3),又M&O),

MP="2+32=5

(2)如图，在AMNP中,ZAWP=120°,MP=5,

由余弦定理得MN?+NP2-2MN-NPcosNMNP=MP2

即MN2+NP2+MN-NP=25,

故(MN+NP)2-25=MN-NP<(削;心)

从而q(MN+NP)2425,即+

当且仅当MV=NP时，折线段赛道MNP最长.

cFi

因为NMVP=120。，MN=NP=—

3f

所以NMPN=30。，

答案第12页，共17页

34

又sinZ.MPO=1,cos/MPO=-

所以sinZOPN=sin(30°+ZMPO)=4+^，cosZOPN=cos(30°+NMPO)=‘噂-,

所以4=8-NPcosNOPN=8-^^J)丁,

5734+369+46

yv=NPsmZ.OPN=-----x----------=-----------,

八3106

12+退9+4疔

故N

-2-，-6-

14.(1)证明见解析；(2)£G=715.

【分析】

（1）先利用诱导公式及正弦定理得EF=3E，，再由H/=2〃G得AEFG,AE"G面积的关

系，即可得NHEG,NEEC的关系，即可得证；

（2）先由余弦定理求出/£7折的余弦值，即可求出NE4G的余弦值，再利用余弦定理即可

求出EG.

【详解】

EHEF

解：（1）在中，由正弦定理

sinFsinZEHF

•：3sinF=sinNEHG=sin(万一NE"尸)=sinZEHF,/.EF=3EH,

又FH=2HG,：.SWFG=35A£WC,

：.3x-EHxEGsinZGEH=-EFxEGsinZEFG=-x3£/7x£GsinNFEG,

222

,sinZGEH=sinZFEG,

'：0<4HEG<AFEG<7i,：.AHEG+ZFEG=n,

，ZMEG=万一NFEG=ZHEG.

(2);HG=3,：.FH=2HG=6,'：EH=2,，由(1)知，EF=3EH=6,

在△EFH中,由余弦定理知，cosNEHF=FH匚EH-♦尸一=6一+2=6-=J,

IFHxEH2x6x26

:.cosZEHG=cos(乃-ZEHF)=-cosZEHF=

6

EG2=EH2+HG2-lEHxHGcosZEHG=22+33-2x2x3x^-l^)=15,

，EG=岳.

答案第13页，共17页

【点睛】

关键点睛：本题考查的知识是“掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量

问题”.解决本题的关键是根据m=24G的AEFG,AEHG面积的关系，即可得N//EG,

NEBG的关系.

15.证明见解析

【分析】

以A为坐标原点，48为x轴的正半轴，设B仁,％）,“三,、3），。（%，%）,结合三角形所在边的

直线方程，利用叉积运算，分别得到S,BOC，S，AOC，S，M,，进而得到

宓xS△呼+丽xS-0c+反再结合三角形面积公式和|砺|=|而|=|反|证明即

可.

【详解】

如图，以A为坐标原点，48为X轴的正半轴，

C在x轴的上方，则5。。8=3赴%,直线8c的方程是％》+（々-七》-々%=。，

因为点A与点。必在直线8c的同侧，且-々为<0，

所以有X°y3一匕%+工2%-工2丫3<°，得SASOC=；（工3%+W%一/%一%%）・

直线AC的方程是*4=0,由于点。，0）与点。必在直线AC的同侧，且为x1-占*0>0,

所以有x。%-%%>°，得sAA0C=-%%）.

于ZEOAx0c+OBxS^AOC+"xSaAOB=0，

又S"=gl函I国sinNBOC，

SMA=^\OB\\OA\sinZAOBf

答案第14页，共17页

S"0c=；|两od|sinZAOC,

又向|=|而|=|玄I，

所以方sinZBOC+而sinZAOC+OCsinZAOB=0.证毕.

16.(0,2).

【分析】

根据题意，选择①②③求得8=空，设N8AC=*则NCA£>=壬-aNCD4=e+2,在

326

Jr

△ACZ)中，由正弦定理求得AC=2sin(6+5),在AMC中，由正弦定理求得可得

8C=g=sin(0+工)-sine=2叵sin(26-^)+l,结合0<0<£和三角函数的性质，即可求解.

。36333

【详解】

若选①：由岑=-7二，根据正弦定理可得号

cosC2a+ccosC2sinA+sinC

EP2sin/Acos5+sinCeosB=-sinBcosC,

即2sinAcos8=-sinBcosC-sinCeosB=-sin(B+C)=-sinA,

12万

可得cosB=—因为4e(0,O,所以8=9

23

TTTT

设NBAC=，，则NCAO='-aNCD4=e+2,

26

ACAD

在△ACD中，由正弦定理得

sinZADCsinZACD

-r，目"ADsinZADC^-sin(^+-)

可得AC=------------------=----------------=2sm(6+—),

；

sinZACD°sJin——6

3

ACBC

在中，由正弦定理得

sinBsin0

AC2sin(0+”n0

471

可得3C=--f=sin(8+—)-sin0

.2%x/36

sinBsin—

3

sin。+Jcos0)sin0=sin?e+；sin9cos0)

=U=(2\/3sin2e+2sin6cos6)=3(2百~^^+sin2。)

V3V32

答案第15页，共17页

=~^=(sin2夕—yficos26)+1————sin(28——)+1,

因为0<04，可得_0<26_。后，

当2。-]=1时，即。=g,可得亚sin&+l=2,

33333

当26-g=-g时，即6=0,可得或sin(-&)+1=0,

3333

所