部编人教版初二年级下册册数学全册教案

新人教版八年级下册初中数学

全册资料汇编

教案（教学设计）

16.1二次根式⑴

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

知识与技能目标：理解二次根式的概念，并利用JZ（a>o）的意义解答具体题目.

过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，

发展学生观察、分析、发现问题的能力.

教学重难点关键

1.重点：形如JZ（a>0）的式子叫做二次根式的概念.

2.难点与关键：利用"&（a>0），）解决具体问题.

教法：1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建

立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体

现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用。

2、讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法

后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策

略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流

与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他

检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

3

问题1：已知反比例函数尸一，那么它的图象在第一象限，横、纵坐标相等的点的坐标

x

是.

问题2:如图，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB边的长是

老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即户/，所以寸=3.因为点在第一象限，所以x=也,所以

所求点的坐标（班）,V3）.

问题2:由勾股定理得AB=J15.

二、探索新知

很明显6、都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，

我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如卜（4o）的式子叫做二次根式，

称为二次根号.

议一议：

1.-1有算术平方根吗？

2.0的算术平方根是多少？

3.当KO,一有意义吗？

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：垃、班、>、G（x>o）、Vo.

X

V2>->/2>---、Jx+y(x>0,y>0).

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“7厂”；第二，被开方数是正数

或0.

解：二次根式有：应、\[x(x>0)>Vo>-5/2Jx+y(x>0,/>0);不是二次

根式的有：\/3、一、45、-----.

xx+y

例2.当x是多少时，43x7在实数范围内有意义?

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-l>0,二

才能有意义.

解：由3x-l>0,得xA3.

当X〉；时，，3%—1在实数范围内有意义.

三、应用拓展

例3.当X是多少时，J2X+3+——在实数范围内有意义?

x+1

分析：要使j2x+3+」一在实数范围内有意义,必须同时满足，2x+3中的2x+3》0和

x+1

---中的A+I^O.

x+l

2x+3>0

解：依题意，得V

%+1w0

3

由①得：X>--.

由②得：xW-1.

当xA-—且xr-l时，J2X+3+---在实数范围内有意义.

2x+1

例4⑴4知尸\l2—x+dx—2+5,求一的值.(答案:一)

>15

(2)若Ja+1+八一1=0,求产%廿。is的值.(答案：2)

四、归纳小结

本节课要掌握:

1.形如JZ（a>0）的式子叫做二次根式，“、厂”称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.

五、布置作业

一、选择题

1.下列式子，是二次根式的是（）

A.-A/7B.-V?C.4xD.A-

2.下列式子，不是二次根式的是（）

A.V4B.V16C.aD.-

X

3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）

A.5B.V5C.|D,以上皆不对

二、填空题

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面积为a的正方形的边长为.

3.负数_______平方根.

三、综合提高题

1.某工厂要制作一批体积为1m,的产品包装盒，其高为0.2m,按设计需要，底面应做

成正方形，试问底面边长应是多少？

12戈_|_3

2.当x是多少时，---+V在实数范围内有意义？

X

3.若，3-x+<x—3有意义，则x=.

4.使式子J一（x-5尸有意义的未知数x有（）个.

A.0B.1C.2D.无数

5.已知a、b为实数，且Ja-5+2JlO_2a=什4,求z、b的值.

答案:

一、1.A2.D3.B

二、1.(a>0)2.4a3.没有

三、1.设底面边长为X,则0.2/=1,解得：户逐.

2%+3>0

2.依题意得：，

XHO

x工0

J?*

当x>-士3且x#0时，-在_实|_3数范围内没有意义.

2x

1

3.—4.B5.a=5,b=-4

3

板书设计：

16.1二次根式（1）

情境引入例2学生板演

二次根式的定义例3

例1例4小结

16.1二次根式⑵

教学内容

1.4a(a》0)是一个非负数；

2.(y[a)2=a(a>0).

教学目标

知识与技能目标：理解JZ(a>0)是一个非负数和(JZ)2=。(a>0),并利用它们进行

计算和化简.

过程与方法目标：复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出&(40)是一个非负数，

用具体数据结合算术平方根的意义导出(JZ)2=2(2》0)；最后运用结论严谨解题.

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，

发展学生观察、分析、发现问题的能力.

教学重难点关键

1.重点：4a(a>0)是一个非负数；(&)2=a(a>0)及其运用.

2.难点、关键：用分类思想的方法导出右(3>0)是一个非负数；用探究的方法导

出(G)2=a(a>0).

教法：1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建

立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体

现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；

2、讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读、类比，获得解决问题的方法后配以精讲，

并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生理解(a>0)是一个非负数和

(6)2=a(a>0),形成有效的学习策略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流

与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他

检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程

一、复习引入

（学生活动）口答

1.什么叫二次根式？

2.当a>0时，&叫什么？当a<0时，&有意义吗？

老师点评（略）.

二、探究新知

议一议：4a（a》0）是一个什么数呢？

老师点评：

（a>0）是一个非负数.

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（V?）2=；（A/2）2=；（M）2=;（V3）2=;

（R）2=------；（0--------；（而）2=--------

老师点评：“是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，"是一个平方等于4的

非负数，因此有（"）2=4.

同理可得：（血）2=2,（囱）2=9,（6）2=3,（J）2=；,（左）2=y,（C）

2=0,所以

（4a）2=2（Q0）

例1、计算

1.*）22.（3逐）23.（岛24.（4）2

分析：我们可以直接利用（JZ）2=2（a>0）的结论解题.

解：（£）2=y,（3逐）2=32•（逐）2=32-5=45,

ZF）2_5£2_诉_7

（代）一6,（2）一22一“

三、巩固练习

计算下列各式的值:

网阖图(何啕

0扃-(5可

四、应用拓展

例2、计算

1.(A/7+T)2(x>0)2.(V?)23.(，/+2十+1)2

4.(，4%2功9+)2

分析：(1)因为x20,所以x+l>0;(2)才20;(3)才+2z+l=(z+l)>0;

(4)4A2-12A-+9=(2X)2-2-2x-3+3?=(2x-3)2>0.

所以上面的4题都可以运用(JZ)2=a(a>0)的重要结论解题.

解：(1)因为所以x+l>0,

(A/X+1)2=A+1.

(2),.-a2>0,(7?)2=Z

(3)/+2a+l=(a+1)2,(a+1)2>0,a2+2a+l>0,yjCl"+2,CI+1—a2+2a+l.

(4),•,4X2-12X+9=(2X)2-2-2x•3+32=(2x-3)2,(2x-3)2>0,

.-.4A2-12X+9>0,(，4f-12X+9)2=4/-12X+9.

例3、在实数范围内分解下列因式：

(1)幺-3(2)f-4(3)2^-3

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：

1.y/a(a>0)是一个非负数；

2

2.(y/a)2=&(5>0)；反之:-(\[a)(z>0).

六、布置作业

一、选择题

1.下列各式中J石、岛、〃2一1、口命、JW+20、7-144,二次根式

的个数是().

A.4B.3C.2D.1

2.数〃没有算术平方根，则〃的取值范围是().

A.^>0B.C.aVOD.a=0

二、填空题

1.(-V3)2=.

2.2知，x+1有意义,那么是一个数.

三、综合提高题

1.计算

2

(1)(>/9)⑵一(52⑶^指1(4)-3

(5)(26+3正)(2后-30)

2.把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)-(4)X(x>0)

3.已知Jx—y+1+Jx-3=0,求/的值.

4.在实数范围内分解下列因式：

(1)^-2(2)x*-9(3)3「5

答案：一、1.B2.C

-,1.32.非负数

11O

三、1.⑴(的)2=9⑵-(6)2=-3(3)(-V6)2=-X6=-

2

=9X—=6

3

2.(1)5=(V5)2;(2)3.4=(^4)2;(3)!=(.H)2;(4).Y=(>/x)2

(x>0)

x-y+l=Ox=3

*=34=81

x-3=0y=4

4.(1)^-2—(x+-x/2)(x-yfl.)

(2)x,-9=(V+3)(V-3)=(V+3)(x+G)(X-A/3)

(3)略

板书设计：

16.1.二次根式(2)

情境引入例1学生板演

1.4a(a>0)是一个非负数；例2

2.(y/a)2-a(40);

2

反之:w=(y/a)(5>0).例3小结

16.1二次根式(3)

教学内容:C=a(a>0)

教学目标

知识与技能目标：理解(a>0)并利用它进行计算和化简.

过程与方法目标：通过具体数据的解答，探究(a>0),并利用这个结论解决具体

问题.

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，

发展学生观察、分析、发现问题的能力.

教学重难点关键

1.重点：=a(a>0).

2.难点：探究结论.

3.关键：讲清时，J/=a才成立.

教法：1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建

立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体

现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；

2、讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并

进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟(a>0),形成有效的学习策

略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流

与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他

检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程:一、复习引入

1.形如JZ(a>0)的式子叫做二次根式；

2.y[a(a>0)是一个非负数；

3.(>/a)2=a(a>0).

那么，我们猜想当时，C=2是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.

二、探究新知

填空:

(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到:

厅=2;A/O.OI2=0.01;

因此，一般地：=2(3>0)

例1、化简

(1)M(2)7^(3)V25(4)斤斤

分析：因为(1)9=32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可运用=2(a>0)去化简.

解：(1)囱=五=3(2)J(-4尸="=4

(3)后=行=5(4)J(-3)2=疗=3

三、应用拓展

例2、填空：当a>0时，后=_____;当a<0时，,并根据这一性质

回答下列问题.

(1)若册=a,则a可以是什么数？

(2)若则a可以是什么数？

(3)则a可以是什么数？

分析：:C=a(a>0),.,.要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应

变形，使“()2”中的数是正数，因为，当a<0时，7?=7(­«)2,那么-a》0.

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=

\a\,而|a|大于或等于a,只有a<0时才能使J/>a.

解：（1）因为C=a,所以a拄0.

（2）因为"=-%所以aWO.

（3）因为当a>0时要使即使心a所以。不存在；当a<0时，

要使J/>a,即使-a>a,a<0.综上，a<0.

例3、当x>2,化简Q（X-2）2.

分析：（略）

四、归纳小结

本节课应掌握：J?=a（a>0）及其运用，同时理解当a<0时，病=一。的应用拓

展.

五、布置作业

一、选择题

）.

D.以上都不对

2.a>0时，C、J（一〃）2、-G,比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）.

A.V?=4-々）2>-V?B.>｛（一々）2

c.V?<7（-«）2<-V?D.-V?>V?=7（-«）2

二、填空题

1.-Vo.0004=_____.

2.若J20m是一个正整数,则正整数切的最小值是_______.

三、综合提高题

1.先化简再求值：当a=9时，求a+Jl—2fl+a2的值,甲、乙两人的解答如下:

甲的解答为：原式=z+=a+（La）=1;

乙的解答为：原式=a+J(1—a):-a+(a-1)=2a-l=17.

两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是___________.

2.若门995々|+J"2000=a,求2-1995?的值.

（提示：先由#2000〉0,判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）

3.若-34x42时，试化简|x-2|+J（X+3）2+&-10彳+25。

答案:一、1.C2.A

二、1.-0.022.5

三、1.甲甲没有先判定La是正数还是负数

2.由已知得a-120001>0,a及2000

所以.1995+Ja—2000=a,A/«-2000=1995,^2000=19952,

所以2-19952=2000.

3.10-x

板书设计：

16.1二次根式（3）

情境引入例2学生板演

=a(40).例3

例1练习小结

16.2二次根式的乘除⑴

♦模式介绍

"探究式教学”是以自主探究为主的教学.它是指教学过程是在教师的启发诱导下，以

学生独立自主探究或合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，以学生周围世界和生活

实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的一种教学形式.学生

对当前教学内容中的主要知识点进行自主学习、深入探究并进行小组合作交流，以自我获取,

自我求证的方式深化知识的理解和运用.从而较好地达到课程标准中关于认知目标与情感目

标要求的一种教学模式.其中认知目标涉及与学科相关知识、概念、原理与能力的掌握；情

感目标注重科学素养与道德品质的培养.

探究式教学的课程环节：

创设情境----启发思考-----自主探究'协作交流----总结提高

♦思路说明

由数据引出&-yfb=>Jab(6Z>0,/?>0),并利用逆向思维J2=JZ-4b

(a>Q,b>Q)让学生感受到到等式的可逆性，从而形成结论是否可逆的思考方式，加深

学生对数学的思考深度，提高对数学学习的兴趣.

♦教材分析

本章内容“二次根式”是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容，它与已学

内容"实数""整式”“勾股定理”紧密联系，同时也是以后将要学习的“解直三角形"、"一

元二次方程”、“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学的不等式、函数以及解析

几何等大部分做好准备.通过本章通过对二次根式的概念、性质和运算法则、运算规律等探

究，发现学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，使学生掌握认识事物的一般规律。本

章内容无论在知识、数学思考方法上，还是在对学生的能力培养上都是非常重要的.

♦教学目标

【知识与能力目标】

1.理解-yjb=4ab(a>0,6>0),4ah^4a-&(a>0,6>0),并利用它们进

行计算和化简.

2.利用逆向思维=•、历(tz>0,Z?>0)并运用它进行解题和化简.

3.法则可以推广到多个二次根式相乘的运算.

【过程与方法】

1.学生在探索过程中，学会观察、分析、总结归纳，学会思考问题，进一步培养学生观察

能力、归纳概括的能力.

2.通过二次根式的乘法运算，提高学生分析问题、解决问题的能力.

【情感态度与价值观】

1.学生通过分析、总结、归纳学会二次根式的乘除运算，并能灵活运算，感受成功.

2.体验数学探究学习活动充满着好奇与创造，并懂得在探究学习活动中学会与他人合作交

流，培养学生求实创新和集体协作的精神.

♦教学重难点

【教学重点】

理解G-s[b=\[ab(a>0,h>0),y/ab=>/a-4b(a>0,h>0)并运用它进行计

算.

【教学难点】

y/a-4b=\[ab(a>0,Z?>0)的相关计算.

♦课前准备

教学PPT

♦课时安排

1课时

♦教学过程

(―)知识回顾

1、你认为什么样的式子是二次根式?试举一例

2、二次根式有哪些基本性质？

(-)情境引入

1.一个长方形的长是J5cm,宽是JT§cm,这个长方形的面积是多少？

解：长方形的面积为卜后x/石卜?？

思考：这个结果能否化简？如何化简？

(三)探索新知

计算：①厢乂亚=J16x9=

上述结果具有什么规律？利用规律进行计算

⑴0x6=(2)显#=

思考：J(T)x(—9)=qx口是否成立?

归纳：一般地，对二次根式的乘法规定为

y[a-4b>0,Z?>0)

文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.

推广：4a\[k=yjab--k(a>0,b>0.—k>0)

解决问题屈x百=,6x3=3

(四)例题讲解

例1.计算

(1)73x75(2)V3xV12(3)^xV27(4)&E

二次根式的乘法法则&-4b=\fab(a>0,Z>>0),

反过来，可以得到=-s[b(a>0,Z>>0)

文字叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.

利用这个等式可以化简一些根式.

例2.化简

(1))4x121(2)丘><42*8(3)7(-2)X(-8)

注意根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式

(五)总结分享

1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方根

4a-yfb=4ab(a>0,6>0),

4ab=Ja-\fb(a>0,b>0)

2.化简二次根式的步骤：

(1)将被开方数尽可能分解成几个平方数.

(2)应用公式-4b='Jab(a>0,b>0),

(3)将平方项应用二次根式的性质化简.

(六)巩固新知

1.将存彘化简，正确的结果是()

A.672B.±6五C.3我D.±3我

2.对于任意实数a,下列各式中一定成立的是()

A.Jj--]—y/ci—1,+1

B.+6)~=a+6

C.J(-16>(-a)=TQ

D.,25a4=5片

3.下列计算中，正确的是()

A.(2@z=2x3=6

B.渔3=2

2

C.J(-9)x(-4)=5/36=6

D.79+16=79+716

4.设Q=叵,b=6,用含a、b的式子表示J四=.

5.对于任意不相等的两个实a、h,定义运算※如下：a※匕=也亘

，那么6X12

a-b

6.若=4,〃=5,且。5<0,贝1]。一力=.

7.计算

(1)76x715x710;(2)5712x4V27

⑶2疝x3j2

7.如何比较一7遥和一6夜的大小？

♦板书设计

16.2.1二次根式的乘法

一、二次根式的乘法法则：\[a-yfb=\[ab(a>0,b>0)

反过来，可以得到，益=&-、/(a>0,b>0)

二.化简二次根式的步骤：

(1)将被开方数尽可能分解成几个平方数.

(2)应用公式-y/b=yfab(a>0,b>0),

(3)将平方项应用二次根式的性质化简.

♦教学反思

在探究二次根式乘法的过程中，使学生在探究时，经历了观察、实验、归纳、总结以及

由具体到抽象、由特殊到一般的学习过程，体会到了研究问题、解决问题的方法，加深了对

二次根式乘法法则的理解。

没有刻意地增加难度，而立足于教材，循序渐进地引导学生去学习新知，使学生能准确

地把握学习重点，突破学习难点。

16.2二次根式的乘除⑵

♦教材分析

本章内容"二次根式”是《数学课程标准》中"数与代数”领域的重要内容，它与已学

内容"实数""整式”“勾股定理”紧密联系，同时也是以后将要学习的“解直三角形"、"一

元二次方程"、"二次函数"等内容的重要基础，并为学习高中数学的不等式、函数以及解析

几何等大部分做好准备.通过本章通过对二次根式的概念、性质和运算法则、运算规律等探

究，发现学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，使学生掌握认识事物的一般规律。本

章内容无论在知识、数学思考方法上，还是在对学生的能力培养上都是非常重要的.

♦教学目标

【知识与能力目标】

4a\a_\[a

1.理解忑(5>0,Z?>0)和(a>0,6>0)及利用它们进行运算.

2.掌握最简二次根式，及二次根式的乘除法的混合运算.

【过程与方法】

1.学生在探索过程中，学会观察、分析、总结归纳，学会思考问题，进一步培养学生观察

能力、归纳概括的能力.

2.通过二次根式的除法运算和乘除混合运算，提高学生分析问题、解决问题的能力.

【情感态度与价值观】

1.学生通过分析、总结、归纳学会二次根式的乘除运算，并能灵活运算，感受成功.

2.体验数学探究学习活动充满着好奇与创造，并懂得在探究学习活动中学会与他人合作交

流，培养学生求实创新和集体协作的精神.

♦教学重难点

【教学重点】

理解=(a>0,£>>0),(a>0,b>0)及利用它们进行计算和化简.

【教学难点】

,Raalay]a

理解方—(a>0,b>Q),(a>0,6>0)及利用它们进行计算和化简.

♦课前准备

教学PPT

♦课时安排

1课时

♦教学过程

(―)知识回顾

1、二次根式有哪些基本性质？

2、二次根式的乘法法则是什么？

(二)探究新知

1.化简二次根式:

计算上述各式，你有什么新的发现？

根据你所发现的规律，利用规律填空:

1；噂5

一般地，对二次根式的除法规定为

&

存=壮（心0,">0）

文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.

（三）尝试应用

1.计算Q）

yja

二次根式的除法法则一产（a>0,b>0）,

4b

\a4az、

反过来，可以得到g二而（心心b>0）,

文字叙述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.

2.化简：⑴、二—

V100⑵思

注意根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。

3.化简：

注意：在二次根式的运算中，一般要求最后结果的分母中不含根式

归纳：什么是最简二次根式?

1、被开方数不含分母;

2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

（四）能力拓展

计算:V27x-2|一

4

（五）总结分享

1.二次根式的除法法则:=Jg（a>0,b>0）

算术平方根的商等于被开方数的商的算术平方根。

\a_4a

2.二次根式的除法法则的逆用:(a>0b>0)

商的算术平方根等于被除式与除式的算术平方根的商。

3.最简二次根式需要满足哪些条件？

(1)被开方数不含分母;

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

(六)巩固新知

1.下列计算正确的是()

A.3g-逝+2百=4B.5V2+V2=10C.(A/^2)2=-2D.2-72=72

2.计算学

的结果是.

,0.09x169

V0.64x196

6.计算:⑴舟后⑵国出

7.化简下列各式:

4

⑴166aF”

la3b

⑵6>o,c>。)；

♦板书设计

16.2.2二次根式的乘法

一、二次根式的除法法则:一产=(a>0,b>0)

4b

算术平方根的商等于被开方数的商的算术平方根。

二、二次根式的除法法则的逆用:厂而("心。)

商的算术平方根等于被除式与除式的算术平方根的商。

三、最简二次根式：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

♦教学反思

从学生最近发展区组织教学，类比二次根式的乘法法则，推理出二次根式的除法法则。

促进正向迁移，同化新知，巩固新知。

尊重学生解决问题的方法的多样性，鼓励学生从多角度思考问题。

营造轻松的学习环境，注意让学生在新知识探究的过程中提高合情合理的推理能力、表

达能力、与人合作意识，促进数学思想方法等各方面的进一步发展。

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16.3二次根式的加减⑴

教学内容

二次根式的加减

教学目标

知识与技能目标：理解和掌握二次根式加减的方法.

过程与方法目标：先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的

方法的理解.再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精

神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.

重难点关键

1.重点：二次根式化简为最简根式.

2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.

教法：1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建

立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体

现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法：在

例题教学中，引导学生阅读，与同类项进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行

分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式加减的模型，形成有效的学

习策略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流

与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他

检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程:一、复习引入

学生活动：计算下列各式.

(1)2x+3x；(2)(3)x+2x+3y；(4)3/-2/

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教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是字

母不变，系数相加减.

二、探索新知

学生活动：计算下列各式.

(1)2A/2+3\/2(2)2\/8-3s/S+5-^8

(3)5/7+2+19义7(4)3yfi-2-$/3+\[2

老师点评：

(1)如果我们把斗一当成x,不就转化为上面的问题吗？

2亚+3《一=(2+3)丘=5近

(2)把瓜当成y；

2瓜-3册+5册=(2-3+5)花=4次=8加

(3)把当成z；

"+2V7+V9V7

=+2+3yfl—(1+2+3)-\/7-6

(4)・看为x,J2看为y.

3\/3-2\/3+^2

=(3-2)V3+V2

=6+6

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如3血与血表面上看是不相同的，

但它们可以合并吗？可以的.

3y/2+我=341+2A/2=5V2

3V3+V27=3V3+3A/3=6G

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二

次根式进行合并.

例1.计算：(1)V8+V18(2)V16jc+V64x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二

次根式进行合并.

解：(1)A/8+VTs=2V2+3\p2=(2+3)V2=5V2.

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(2)y/16x+=44x+8yfx=(4+8).

例2.计算：(1)3a-9J+3值;(2)(V48+V20)+(V12-x/5).

解：(1)3>/48-9^1+3V12=12>/3-3V3+6A/3=(12-3+6)百=156.

(2)(V48+V20)+(V12-x/5)=V48+>/20+Vi2-V5

—4A/3+25/5+2--\/5=65/3+x/5.

三、应用拓展：

例3.已知4d+ydx-Gy+lOuO,求(g+『的值.

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0,

即x=；,y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同

类二次根式，最后代入求值.

解：...4f+y2-4x-6y+10=0

,.,4/-4x+1+y2-6y+9=0

(2.1)2+(y-3)2=O

=2x\[x+y/xy-x\fx+5y/xy

-xyfx+6Jxy

当行;，y=3时，

四、归纳小结：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相

同的最简二次根式进行合并.

五、布置作业：

一、选择题

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1.以下二次根式：①屈；②亚；③A;④技中，与6是同类二次根式的是

().

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①3+3—6②—y/l=1；③\/2+\/6=y/S=2\p2；(4>=2V2,

其中错误的有().

A.3个B.2个C.1个D.0个

二、填空题：

1.在V8、—J75a、一N9a、J125、一A/3a'、3\/0.2、-2J—中，与13a是同

33av8

类二次根式的有.

2.计算二次根式5G-3折-76+9扬的最后结果是_________.

三、综合提高题：

(^31+|>/45)的值.(结果精确到0.01)

1.已知方=2.236,求「

2.先化简，再求值.

(6x^^+3J孙3).(4xJ+J36孙)3

,其中广万，y=27.

答案:一、1.C2.A

二、1.—J75a—2.6y[b-2yfci

3a

J5〜"X2.236=0.45.

三、1.原式--\[5--A/5--\/5——、

5555

2.^=6yfxy+3y/xy-(4y[xy+6ylxy)=(6+3-4-6)y[xy=)

3[3

当卡万，y=27时，原式二・《]义27二-

板书设计：

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16.3.二次根式的加减（1）

情境引入例2学生板演

二次根式的加减法则例3

例1练习小结

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16.3二次根式的加减(2)

教学内容：利用二次根式化简的数学思想解应用题.

教学目标

知识与技能目标：运用二次根式的化简解应用题.

过程与方法目标：通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并

后解应用题.

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精

神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.

重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.

教法：1、引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建

立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体

现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法：在

例题教学中，引导学生阅读，与整式的加减进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并

进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的加减模型，形成有效的学

习策略。

2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。

3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流

与合作。

4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他

检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT课件，展台。

课时安排：1课时。

教学过程：一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先

将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们

讲三道例题以做巩固.

二、探索新知

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例1.如图所示的RtZ\ABC中，NB=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的

速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：

几秒后APEQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

分析：设x秒后APEQ的面积为35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根据三角形面积

公式就可以求出x的值.

解：设x后△PBQ的面积为35平方厘米，

则有PB=x,BQ=2x.

依题意，得一x-2A—35

2

幺=35

x=y/35

所以A秒后,Z^BQ的面积为35平方厘米.

PQ=《PB?+BQ?=Vx2+4x2==V5X35=5币

答：衣秒后APB。的面积为35平方厘米，PQ的距离为5近厘米.

例2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的

长度.

解：由勾股定理，得

AB=\lAD2+BDr=V42+22=720=275

BC=ylBlf+CD2=722+l2=A