高中数学《空间向量的正交分解及其坐标表示》导学案

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

卜课前自主预习

sG基础导学

i.空间向量基本定理

⑴定理

条件如果三个向量a,b,c回不共面,那么对空间任一向量p

结论存在园.唯一的有序实数组[x,y,z},使得p=xa+）力+zc

（2）基底与基向量

国如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是=

xa+yb+zc,x,v，z^R},|P]M：a.b,

8c）叫做空间的一个基底,国a,b,c都叫做基向量.

2.空间向量的正交分解及其坐标表示

（1）单位正交基底

国三个有公共起点。的两两垂直的单位向量e”e2,e3称为单位正交基底,

用国£gi，ez,g}表示.

（2）空间直角坐标系

以ei，e2，一的区公共起点O为原点,分别以ei，e^,03的方向为x轴、y

轴、z轴的蚂正方同建立空间直角坐标系坐❷法

（3）空间向量的坐标表示

对于空间任意一个向量p,一定可以把它党平移,使它的回起点与原点。

重合，得到向量游三p,由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x,y,z},

使得p=园xei+ve?.+ze3.把回x，y，z称作向量p在单位正交基底e\,e2,e3下

的坐标，记作〃=吗（》，v，z）.

sG自诊小测

i.判一判（正确的打“丁”，错误的打“义”）

（1）只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.（）

（2）向量崩的坐标与点P的坐标一致.（）

(3)对于三个不共面向量力，灯，a3,不存在实数组｛4,%,小｝使0=九田+丸2

例+心«3.()

答案(1)X(2)X(3)X

2.做一做

(1)(教材改编P94T1)如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底，

则()

A.a与8共线B.a与。同向

C.a与8反向D.。与入共面

(2)若向量i,j,A为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向

量，且设4=万一_/+34，则向量a的坐标为.

(3)设a,b,c是三个不共面向量，现从①a—•5，②a+)-c中选出一个使其

与a,6构成空间的一个基底，则可以选择的向量为(填写代号).

(4)如图，在长方体ABCO-Ai&CQi中建立空间直角坐标系.已知A8=AO

=2,BBi=l,则就的坐标为,蕉的坐标为.

答案(1)A(2)(2,-1,3)

(3)②(4)(0,2,1)(2,2,1)

卜课堂互动探究

探究1基底的概念

例1若｛a,4c｝是空间的一个基底，判断｛a+4b+c,c+a｝能否作为该

空间的一个基底.

［解］假设a+瓦b+c,c+a共面，则存在实数九〃使得a+>=%S+c)+

〃(c+a),所以a+b=2Z>+na+(2+〃)c.

'：｛a,b,c｝为空间的一个基底，

...a,b,c不共面，

1=〃，

1=A,此方程组无解.

0=2+//,

.'.a+6,b+c,c+a不共面.

'.{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底.

拓展提升

基底判断的基本思路及方法

(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不

共面，则能构成基底.

(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可

以用另外的向量线性表示，不能构成基底.

②假设。=劝+2，运用空间向量基本定理，建立九〃的方程组，若有解，

则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.

【跟踪训练1】设x=a+5，y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一

个基底，给出下列向量组：①{a,5，x},②{x,y,z}，③{)，c,z},@{x,y,

a+b+c],其中可以作为空间的基底的向量组有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案C

解析解法一：由空间向量共面的充要条件知：

若x=a+4则x,a,方共面.故①不能作为基底.

若②中，假设X,y，z共面，则z=Ax+〃y,

即：c+a=1(a+))+〃(5+c),

p=l,

则+〃=0,此方程组无解.

〔"=1,

Ax,y,z不共面，故②能作为基底.

同理，③能作为基底.

对④，若x,y,a+Z>+c共面，则存在实数九〃，使Q+》+c=&+〃y=%(a

+Z>)+〃S+c)

p=l,

即卜十〃=1,此方程组无解.

••X,y,a+8+c不共面，故④能作为基底.

解法二：如图所示，

设4=疵b=AAi，c=AD,

则*=葩，y=葩，

z=~AC,a+b+c=ACi，

由A,Bi，C,Di四点不共面，

可知向量x,y,z也不共面，

同理可知方，c,z和x,y,a+)+c也不共面.

探究2用基底表示向量

例2如下图，在平行六面体中，P是CA的中点，M是

CDi的中点，N是CD的中点，点Q是C4上的点，且CQ：Q4=4：1,AB=a,

AD=b,AAi=c,用基底｛a,b,c｝表示以下向量：(1)亦；(2)砺(3)^(4)而.

［解］连接AC,AC\.

flf—lf—fl111

(\}AP=T;{AC+AAX)=5(45+AD+44)=5(0+b+c)+5b+50.

(2)M/=^(AC+淡)=：(森+2^4ZH-荔)=：(a+2b+c)—^a+b+^c.

⑶旃=；(元+葩)=；［(葩+而+加+(森+荔)］=；a+b+c

(4)而=赤+而=赤+、(荔一位)=/而+*荔=：宓而+，^=ga+S+不.

JJJJJJJJJ

［结论探究］如果把例2中要表示的向量改为卷曲BQ,怎样解答呢？

解A\C=AC—AA\=(T1^+AD)—AAi—a-^b—c.

瓦仁庆+唬=泵+；%=筋+；(乃+砌=亚+；(加筋J=矗+；(一森+加

=〃+g(-a+c)=—；a+b+；c.

——114414

BQ=BA+AQ=-AB+AQ=­〃+铲+&+《。=——'4+@+5。.

JJJJJ

拓展提升

用基底表示向量的步骤

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则

及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求

出结果.

(3)下结论：利用空间向量的一个基底｛a,b,c｝可以表示出空间所有向量.表

示要彻底，结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.

【跟踪训练21下图，四棱锥P—04BC的底面为一矩形，2。1_面。48。,

设成l=a,OC=b,OP=c,E,/分别为PC和的中点，试用a,b,c表示旗

BE,AE,EF.

解连接08,0E,则砺=胡三氐游一面

=^[0P—(0A+0C]=^c—^a—^b.

BE=BC+CE=-OA+^CP

=-a-\-\^0P-0C)=­a+^c—

AE=A0+dE=-a+ydP+0C)

又；E,尸分别为PC,P8的中点,

/.£F=^CB=^0A=^a.

探究3空间向量的坐标表示

例3已知讯垂直于正方形ABC。所在的平面，M,N分别是A8,PC的中

点，并且以=AO=1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量网的坐标.

p

/M7

/HC

x

［解］因为B4=AO=AB=1,

所以可设施=ei,AD=e2,~AP=ey.

因为MN=MA+AP+PN=MA+AP+^PC=MA+AP+ij（PA+Ab+DC）=—；诵+AP

+^（—谈+JZ>+AB）=舞泊即泊+52.

所以舫V=（o,I，：）.

［结论探究］其他条件不变，上例问法改为：求向量葩的坐标.

解因为PA=AD=AB,

设48=c।,AD—€29AP—内）

因为而=砺­痂，=莅一第/—'办+；疝）=；血—；崩一义诵=~2ei~^2e2~2

。3，

所以崩=（一;,一;）.

［条件探究］其他条件同例3,空间直角坐标系的建立不同于例3.建立如图

所示的空间直角坐标系，求加「，应的坐标.

解因为用=AO=A3,且见，平面ABC。，AD±AB,所以可设瓦l=ei,AB

=«2,AP=c^.

分别以G，。2,的为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz,如题图所示，DC

=AB=e2,

所以比=（0』,0）,MN=MA+AP+PN

=法+AP+^PC=法+AP+^(PA+Ab+DC)

=—/e2+03+—03—e1+02)=—1+^03，

从而可知痂=(一3，0,g).

拓展提升

1.建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，

要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关

系，即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可

能多的线段平行于坐标轴，有直角的把直角边放在坐标轴上.

2.求空间向量坐标的一般步骤

(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；

(2)运算：综合利用向量的加减及数乘运算；

(3)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标.

3.适当的坐标系有时不是唯一的，在不同坐标系下，同一向量的坐标一般不

同.

【跟踪训练3】已知ABCD—AIBIGQI是棱长为2的正方体，E,F分别为

和。。的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出朝，DE,苏的坐标.

解设X,y,Z轴的单位向量分别为6，02,03,其方向与各轴上的正方向相

同，则无=9+焉+丽=2ei+2e2+2e3,

.,.庞尸(2,2,2).

'：DE=DA+7B+BE=2e\+2e1+ei,

二雄(=2,2,1).

又DF=629***DF=(0,1,0).

f----------------------------------1邮跳升I-----------------------------------

1.正确理解基底的概念

基底中不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意

两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.

2.求空间向量坐标的方法

空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两

两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求

向量用基向量表示，即得所求向量的坐标.

3.用基底表示向量的方法

用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加

法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡，直到全部

用基向量表示.

卜随堂达标自测

1.若0,A,B,C为空间四点，且向量而，0B,花不能构成空间的一个基

底，贝女）

A.而，0B,龙共线B.而，觎线

C.0B,设共线D.0,A,B,。四点共面

答案D

解析由汤，0B,应不能构成基底，知而，0B,比三向量共面，所以。，A,

B,。四点共面.

2.在空间直角坐标系。孙z中，下列说法中正确的是（）

A.向量诵的坐标与点8的坐标相同

B.向量为的坐标与点A的坐标相同

C.向量次的坐标与向量近的坐标相同

D.向量福1勺坐标与洒一游的坐标相同

答案D

解析在空间直角坐标系中，从原点出发的向量的坐标等于终点的坐标，不

从原点出发的向量宓的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，所以花=落殖.

3.在正方体ABCO—AiBiGDi中，E是上底面ABCQi的中心，则4G与

CE的位置关系是（）

A.重合B.垂直C.平行D.无法确定

答案B

解析连接GE,则花=宓+崩+筋”CE=CC.+QE=A4,~^（AB+AD）.设正

方体的棱长为1,于是花•玄=（而+而+荔）•伍1一；箱一；疝）=0—3—0+0—0

一;+1—0—0=0,故蕉即AG与CE垂直.

4.已知｛ei，02，63｝是空间的一个基底，若26］+〃62+。03=0,则

答案0

解析因为｛ei,62,03｝是空间的一个基底，Mi+〃e2+oe3=0,所以由空间

向量基本定理可知，A=/z=v=0,所以乃+/+02=o.

5.如图所示，在三棱锥。一ABC中，OA,OB,OC两两垂直，OA=l,OB

=2,OC=3,E,尸分别为AC,BC的中点，建立以洒，0B,应方向上的单位向

量为正交基底的空间直角坐标系Qxyz.求EF中点尸的坐标.

解令Ox,Oy,Oz轴方向上的单位向量分别为i,j,k.

•办=龙+旗=：（洒+应）+%号（洒+由+袅：疹=去洒+应）—而

.♦.P点的坐标为［,I）.

［课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.在长方体ABC。一ABCQi中，若焉=3i,AD=2j,AAx=5k,则向量花在

基底｛i，j，肩下的坐标是（）

A.(1,1,1)B.e，g，I)

C.(3,2,5)D.(3,2,-5)

答案C

解析,元=焉+比+无=葩+质+而i=3i+〃+5A,二向量蕉在基底｛i,

j,眉下的坐标是(3,2,5).故选C.

2.在三棱柱ABC-AiBiC中,。是面BBCC的中心,且荔=a,AB=b,AC

=c,则彳＞=()

1,1,,1cl1,,1

A.^Q+/b十呼B.呼一25+/c

^1,11r1J,J

C.1Q+/〃一］cD.'z'2C

答案D

解析如图，

连接GO,则

A^D=KC^QD

=布+/蒲

=4G+g(48i-4G+GC)

=c+^(b—c—a)

1,1.1

=—¥+于+呼.

3.已知点A在基底｛a,b,c｝下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k

+i,则点A在基底｛i,j,曷下的坐标是()

A.(12,14,10)B.(10,12,14)

C.(14,12,10)D.(4,3,2)

答案A

解析由题意，/=8a+6，+4c=8(i+力+6(/+A)+4(A+i)=12i+14/+10A,

所以点A在基底｛i,j,身下的坐标是(12,14,10).

4.若0=01+02+03，8=ei+e2-03，c—e\—02+03,d—e\+2«2+3^3，又d

=aa+/3b+yc,则a,夕，y分别为()

A5_1_1B51

/A.>1921，2

5151

C.—1,~~2D.1,1,—2

答案A

解析由3=。。+/5+yc,得

d=(a+4+y)ei+(a+£-y)e2+(a—4+y)e3，

又d=ei+2e2+3e3，

a=Q,

fa+/3+y=1,

｛a+/3—y=2,解得<B=T，

la—Q+y=3,1

〔尸—5

5.设命题p：a,b,c是三个非零向量，命题g：｛a,5，c｝为空间的一个基

底，则命题p是命题q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析当三个非零向量a,b,c共面时，a,b,c不能构成空间的一个基底,

但是当｛a,b,c｝为空间的一个基底时，必有a,5，c都是非零向量，因此p干q,

而＜7=＞p,故命题〃是命题（7的必要不充分条件.

6.正方体ABCD-A'B'CD'中，Q,Q，Q分别是AC，AB',AD'

的中点，以｛葩，施，血｝为基底，疝=工葩+＞油+z9，则x,y,z的值是（）

A.x=y=z=lB.x=y=z=2

C.x=y=D.x=y=z=2

答案A

解析如图，

AC1=费+森+疝=3（荔+而+g（疝+福+T（血+疝）=葩+就+

病

又必=xAO\+zAOi,/.x=y=z=1.

二'填空题

7.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a—b+c,n=xa+yb+c,若/n与〃

共线，则x=，y=.

答案1T

解析因为相与〃共线，所以存在实数2,使机=/〃，即a—Z>+C=ZXQ+2M

+2c,

fl=Ar,

x=\,

于是有〈一1=双，解得,

一1产T.

11—A,

8.在正方体ABCD-AiBCQi中，点E,b分别是底面4G和侧面CG的

中心，若刖丸彳力=oqcR）,贝lj%=.

答案一

解析如图,

连接AG,C\D,则E在4G上，尸在G。上，易知EF辆

：.EF=^D,即赤一乡＞=0,又：料疝A0.

9.已知在正方体ABCD-ABiGA中，点E为底面AiBiGO］的中心,0=义荔,

b=^AB,c=^Ab,AE=xa+yb+zc,贝Ix=,y=,z=.

3

答案215

解析如图，

3

所以x=2,y=l,z=2,