高中数学苏教版选修23教学案11两个基本计数原理

1.1两个基本计数原理

第1课时分类计数原理与分步计数原理

预

习

入门答辩——辨析问题解疑惑

导

引

新知自解——自读教材找关键

区

知识点1分类计数原理

〃//，入R备料'〃〃

1.2016年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客供应导游效劳,

每天有7次航班，5列火车.

问题1：该志愿者从北京到南京可乘的交通工具可分为几类？

提示：两类，即乘飞机、乘火车.

问题2：这几类方法相同吗？

提示：不同.

问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？

提示：7+5=12（种）.

2.甲盒中有3个不同的红球，乙盒中有5个不同的白球，某同学要从甲盒或乙盒中摸

出一球.

问题4：不同的摸法有多少种？

提示：3+5=8（种）.

3.某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为生活.

问题5：不同选法的种数为多少？

提示：26+24=50.

〃〃/新和由解'〃〃

完成一件事，有.〃类方式，在第1类方式中有如种不同的方法，在第2类方式中有.2

种不同的方法，……在第〃类方式中有如种不同的方法，那么完成这件事共有N=mt+m2

H种不同的方法.

知识点2"分步计数原理

入门冬科,〃/

1.2016年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客供应导游效劳,

但需在天津停留，从北京到天津有7次航班，从天津到南京有5列火车.

问题1：该志愿者从北京到南京需要经受几个步骤？

提示：两个，即从北京到天津、从天津到南京.

问题2：这几个步骤之间相互有影响吗？

提示：没有，第一个步骤实行什么方式完成与其次个步骤采纳的方式没有任何关系.

问题3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？

提示：7X5=35种.

2.假设xe{2,3,5},yG{6,7,8）.

问题4：能组成的集合{x,），}的个数为多少？

提示：3X3=9（个）.

3.某班有男生26人，女生24人，从中选一位男同学和一位女同学担当生活.

问题5：不同的选法的种数为多少？

提示：26X24=624种.

//////if\加育解“〃/

完成一件事，需要分成〃个步骤，做第1步有如种不同的方法，做第2步有利2种不同

的方法，……做第n步有如种不同的方法，那么完成这件事共有…义，厮种不

同的方法.

［归纳.升华.领悟］-------------------------

1.分类计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步计数原理的每一个步骤

只是完成这件事情的中间环节，不能完成这件事情.

2.分类计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；

而分步计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积.

突破考点总结规律

II

高考为标提炼技法

把握热点考向贵在学有所悟

师生共研突破重难tfiisfiensgongyantupozhonanan

考点1分类计数原理的应用

［例1］某单位职工义务献血，在体检合格的人中，0型血的共有29人，A型血的共有

7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人，从中任选1人去献血，共有多少种不同的

选法？

I思路点拨］先按血型分类，再求每一类的选法，然后求和.

［精解详析］从中选1人去献血的方法共有4类：

第一类：从0型血的人中选1人去献血共有29种不同的方法；

其次类：从A型血的人中选1人去献血共有7种不同的方法；

第三类：从B型血的人中选1人去献血共有9种不同的方法；

第四类：从AB型血的人中选1人去献血共有3种不同的方法.

利用分类计数原理，可得选1人去献血共有29+7+9+3=48种不同的选法.

［一点通］利用分类计数原理，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次确定一个合

理的分类标准，将完成“这件事”的方法进行分类；然后，对每一类中的方法进行计数，最

终由分类计数原理计算总方法数.

〃〃，题做隼钝〃

I.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出1种种植，不同的种植方法有

种.

解析：分4种品种种植，依据分类计数原理可知，共有4种不同的种植方法.

答案：4

2.全部边长均为整数，且最大边长均为11的三角形的个数为.

解析：假设另两边长分别为a,b(a,6CZ),不妨设要构成三角形，必有〃

+b212,因此626=11时，a可取1,2,3,—11；当6=10时，a可取2,3,…，10;

当b=6时，a只能是6.

故全部三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.

答案：36

3.在填写高考志愿表时.，一名高中毕业生了解到，A,8两所高校各有一些自己感爱好

的强项专业，详细状况如下：

A高校B高校

生物学数学

化学会计学

数学信息技术学

物理学法学

工程学

假如这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？

解：这名同学可以选择A,8两所高校中的一所，在A高校中有5种专业选择方法，在

B高校中有4种专业选择方法，因此依据分类计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+

4=9（种）.

考点2分步计数原理的应用

［例2］要支配一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人值

多天或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有多少种不同的排法？

r思路点拨1该问题是计数问题，完成一件事是排值班表，因而需一天一天的排，用分

步计数原理，分步进行.

［精解详析］先排第一天，可排5人中任一人，有5种排法；

再排其次天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；

再排第三天，此时不能排其次天已排的人，有4种排法；

同理，第四、五天各有4种排法.

由分步计数原理可得值班表不同的排法共有：

N=5X4X4X4X4=1280（种）.

［一点通］利用分步计数原理解决问题应留意:

(1)要按大事发生的过程合理分步，即分步是有先后挨次的：

(2)各步中的方法相互依存，缺一不行，只有各个步3聚都完成才算完成这件事.

〃〃.题.做卷制."〃/

4.用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要"眼睛"(如图A,B所示区域)用相同

颜色，那么不同的涂色方法共有种.

△

V

解析：第1步涂眼睛有6种涂法，第2步涂鼻子有6种涂法，第三步涂嘴有6种涂法，

所以共有63=216种涂法.

答案：216

5.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，假设一条长裤与一件上衣配成一

套，那么不同的配法种数为.

解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：

第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法：

其次步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法.

故共有4X3=12种不同的配法.

答案：12

6.集合用=｛一3,-2,-1,0,1,2),P(a,b)(a,表示平面上的点，问：

(1)点P可表示平面上多少个不同的点？

(2)点P可表示平面上多少个其次象限内的点？

解：(1)确定平面上的点P(a,b),可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；

其次步确定〃的值，也有6种不同方法.依据分步计数原理，得到平面上点P的个数为6X6

=36.

(2)确定平面上其次象限内的点P,可分两步完成：第一步确定a的值，由于"0,所以

有3种不同方法；其次步确定人的值，由于m>0,所以有2种不同方法.由分步计数原理，

得到平面上其次象限内的点P的个数为3X2=6.

两个计数原理的综合应用

［例3］有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参与.

(1)假设只需一人参与，有多少种不同选法？

(2)假设需老师、男同学、女同学各一人参与，有多少种不同选法？

(3)假设需一名老师，一名同学参与，有多少种不同选法？

［思路点拨］(1)从老师、男、女同学中选1人，用分类计数原理.

(2)从老师、男、女同学中各选1人，用分步计数原理.

(3)分类计数原理与分步计数原理的综合.

［精解详析］(1)有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选

一人，有.8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法.

由分类计数原理，共有3+8+5=16种选法.

(2)分三步选人：第一步选老师，有3种方法；其次步选男同学，有8种方法；第三步

选女同学，有5种方法.由分步计数原理，共有3X8X5=120种选法.

(3)可分两类，每一类又分两步.第一类：选一名老师再选一名男同学，有3X8=24种

选法；其次类：选一名老师再选一名女同学，共有3X5=15种选法.

由分类计数原理，共有24+15=39种选法.

［一点通］用两个计数原理解决详细问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其

次要清晰"分类"或"分步”的详细标准.在“分类”时要做到"不重不漏”，在"分步”

时要正确设计“分步”的程序，留意步与步之间的连续性.

////.”〃/

7.假设直线方程Ax+B)，=0中的A,8可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个

不同的数字，那么方程所表示的直线共有条.

解析：解决这件事分两类完成：

第1类，当A或8中有一个为。时，表示直线为y=0或x=0,共2条；

第2类，当A,8都不为0时，直线Ax+8y=0被确定需分两步完成.

第1步，确定A的值，有4种不同的方法；

第2步，确定8的值，有3种不同的方法.

由分步计数原理，共可确定4X3=12(条)直线.

所以由分类计数原理，方程所表示的不同直线共有2+12=14(条).

答案：14

8.从5名医生和8名护士中选出1名医生和1名护士组成一个两人医疗组，共有

种不同的选法.

解析：完成这件事需分两步：第一步，从5名医生中选一名，有5种不同的选法；其次

步，从8名护士中选一名，有8种不同的选法，故共有5X8=40种不同的选法.

答案：40

9.某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里

休息.

(1)假设小明的爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？

(2)假设小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？

解：(1)小明的爸爸选凳子可以分两类：

第一类：选东面的空闲究子，有8种坐法；

其次类：选西面的空闲凳子，有6种坐法.

依据分类计数原理，小明的爸爸共有8+6=14种坐法.

(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：

第一步，小明先就坐，从东西面共8+6=14个髡子中选一个坐下，共有14种坐法；

其次步，小明的爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，(小明坐下后，

空闲凳子数变成13)共13种坐法.

由分步计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14X13=182种坐法.

［方法.规律.小结］-------------------------

I.利用分类计数原理解题的步骤

(1)分类：理解题意，确定分类标准，做到不重不漏；

(2)计数：求出每一类中的方法数；

(3)结论：将每一类中的方法数相加得最终结果.

2.利用分步计数原理解题的步骤

(1)分步：将完成这件事的过程分成假设干步；

(2)计数：求出每一步中的方法数；

(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.

训

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