高中数学附加题专项练习

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附加题

矩阵

1（2010南通二模）

cosa-sincr

若点4（2,2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为8（—2,2）,

sinacosa

求矩阵M的逆矩阵.

2-22cosa-2sina-2

解:M,即4

222sina+2cosa2

分

cosa-sina=-l,解得cosa=0,

所以6

sina+cosa=1.sina=I.

分

0-1100

所以A/=.由=,得AT'10

1001-10

分

0-101

另解:M=1W0,M-'=

10-10

0-1cos90°-sin90°

另解:M=，看作绕原点0逆时针旋转90。旋转变换矩阵,

10sin90°cos90°

cos(-90°)-sin(-90°)01

于是A/-=

sin(-90°)cos(-90°)-10

2（2010苏锡常二模）

31

己知矩阵工=,求）的特征值4,办及对应的特征向量囚,4.

0-1

解：矩阵，的特征多项式为

4-3—1

/(4)==(2-3)(2+1),2分

02+1

令/（团=0,得到矩阵4的特征值为沏=3,22=-1.4分

当沏=3时，由11『]=3巴，得=3x,

.•.y=0,取x=l,得到属于特征值3

L°川卜」卜」f=3y

的一个特征向量/=:；......................7分

3x+J=f,取x=[,则”一明得到属于特征

当几2=-1时，由

弋H-y=-y

值—1的一个特征向量2="..........................................10分

|_-4

3(2010苏北四市二模)

一20-

已知矩阵乂=]],求矩阵M的特征值及其相应的特征向量

矩阵M的特征多项式为/(九)==/12-32+2,...............2分

-1A—1

令/(乃=0,解得4=1,4=2,........................................................4分

(2-2)-x+0-y=0,

将4=1代入二元一次方程组《，解得x=0,……6分

[-x+(2-l)^=0,

「。]

所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为]；..................8分

同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为J..............................10分.

极坐标与参数方程

1(2010南通二模)

已知极坐标系的极点。与直角坐标系的原点重合，极轴与X轴的正半轴重合，曲线Cl：

"A

IT/—X―

pcos(6»+-)=20与曲线C2：\~'(/GR)交于/、8两点.求证：。4_108.

4[y=4/

解：曲线G的直角坐标方程x-V=4,曲线G的直角坐标方程是抛物线V=4x,…4

分

设4%,必)，B(x2,y2),将这两个方程联立，消去x,

得V-4尸16=0=M%=-16,必+为=4・.....................................................6

分

4

xtx2+yiy2=（必+4）（^2+）+^1^2=2了小2+4（乃+^2）+16=0........8

分

：.040B=0,：.OA1OB

2（2010苏锡常二模）

.已知曲线C的方程/=3X2-2Y,设y=fx,/为参数，求曲线C的参数方程.解：将y=/x

代入y2=3x2-2x3,

得t2x2=3x2-2d,即2x3=（3-r2）%2.........................4分

当x-0时，y=0；

当xw0时，x=-—................................6分

2

AWy=—~~—................................8分

•・•原点（0,0）也满足〈乙」

3t-t3

y=^~

3"

x=----,

.•.曲线C的参数方程为2a（f为参数）.......................10分

3t-t）

尸了

3（2010苏北四市二模）

rr

在极坐标系中，直线/的极坐标方程为6=：（夕eR）,以极点为原点，极轴为x轴的正

半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为1'（a为参数），求直线/与

y=1+cos2a

曲线C的交点尸的直角坐标.

因为直线/的极坐标方程为e=—（0eR）

所以直线/的普通方程为y=...................................3分

又因为曲线C的参数方程为＜'（a为参数）

y=1+cos2a

所以曲线C的直角坐标方程为y=1x2（x6[-2,2]）,.................6分

联立解方程组得（x=0'或!》=2百，，.................................8分

j=。，[y=6

­=2行

根据x的范围应舍去(""故尸点的直角坐标为(0,0)..........10分

y=6

随机变量的概率

1(2010南通二模)

一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到红

球得2分，取到黑球得3分.甲从暗箱中有放回地依次取出3只球.

(1)写出甲总得分4的分布列；

(2)求甲总得分^的期望E(4).

解：(1)甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记J为甲总得分.

分

(2)甲总得分f的期望

z?/r、427r54o36836

E)=6x留+7、后+3x—+9x—=y.

2(2010苏锡常二模)

一个袋中装有黑球，白球和红球共个，这些球除颜色外完全相同.已知从袋

中任意摸出1个球，得到黑球的概率是现从袋中任意摸出2个球.

(1)若”=15,且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，，设J表示摸出的2个球

中红球的个数，求随机变量g的概率分布及数学期望；

(2)当〃取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？

解：(1)设袋中黑球的个数为x(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件

Y2

贝I」尸(4)=二二—.

155

，x=6........................................1分

设袋中白球的个数为y(个)，记”从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”

为事件8,则P(8)=l-S务=3,

Gs7

-29^+120=0,j，=5或y=24(舍).

,红球的个数为15-6-5=4(个)...........................3分

.••随机变量&的取值为0,1,2,分布列是

012

11442

P

2110535

4的数学期望EJ=UX0+'X1+NX2=9.........6分

2110535105

2

(2)设袋中有黑球z个，则Z=M〃(〃=5/0,15J“).

设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C,

C；，，，，

3(2010苏北四市二模)

7

当〃=5时，P(C)最大，最大值为一.

10

某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者

闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分.现有一位参加游戏者单

独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为1、记该参加者闯三关所得总分为

234

(1)求该参加者有资格闯第三关的概率；

(2)求J的分布列和数学期望.

⑴设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为乃=；、/J2=g、P3=：，

该参加者有资格闯第三关为事件/.

2

贝"(/)=回(［一02)+(1-口也+00=-：.........................4分

(2)由题意可知，J的可能取值为0、3、6、7、10,

PC=0)=(l—2)(1—0)=g，

113

PC=3)=p«—2)Q一。3)+(1一R)。2(1一23)=：+£=［，

4oo

尸（4=6）="/?式1一。3）=°，

o

1

尸（4=7）="（1-。2）23+（1一。1）。2。3=4+三-

8P^=[0]=p]p2pi=—,

所以g的分布列为

4036710

23]_1

p

388824

・8分

所以g的数学期望延=0+3亭6*7、飙0吐W

10分

空间坐标系

1（2010苏锡常二模）

如图，在直三棱柱ABC-440中，NBAC=90°,AB=AC=a,/4=6,点E,F分别在棱BB,,

cq上，且BE=1B%C,F=-CCX.设;1=2.

33。

（1）当;1=3时，求异面直线NE与4尸所成角的大小;

（2）当平面NEF_L平面4E尸时，求/I的值.

.解：建立如图所示的空间直角坐标系/-砂z.

(1)设a-\,则4B=AC=1,44]=3,各点的坐标为

4(0,0,0),£(1,0,1),4(0,0,3),尸(0,1,2).

荏=(1,0,1),乖=(0,1,-1).................2分

[词=]丽=立AE-A^F=-l,

./---AE-A.F—11

•-cos^^=p^[=7^=-2

二向量直和语所成的角为120°,

（第22题图）

.••异面直线4后与4尸所成角为60。.…4分

(2)VE(a,0,-),尸(0.丝)，

33

一b—,2b

：.AE=(a,0,-),AF=(0,。,——).

33

设平面力口的法向量为〃i(x,y,z),

则“•荏=0,且〃「万=0.

BP47X+—=0,且"+=0.

3'3

:..=(——,1)=(-—,1)是平面AEF的一个法向量......6分

3。3a33

同理，〃,=(丝,2,1)=(2,2,1)是平面4£尸的一个法向量......8分

3。3。33

;平面4£尸_1平面4跖，

..2*2匕।,

••n,'tt-,=0n.••----------F1=0.

1-99

解得，a=2.

2

3

当平面4E尸《1平面4Eb时、A=-...................10分

数学归纳法

1(2010南通二模)

设数列{%}满足。1=4,an+\=a„-Va\,〃={awR»wN*,IqjW2}.

(1)当。金(―°°,—2)时，求证：a

(2)当°C(0,-］时，求证：

4

(3)当。£(-,+8)时，判断元素。与集合"的关系，并证明你的结论.

4

证明：(1)如果a<-2,则|q|=lal>2,a史M...............................2

分

(2)当0<awL时，\a\^-(V〃21).

4112

事实上，()当〃=1时,，同=同W；.

设〃=〃-1时成立(左22为某整数)，

则()对〃=.,|4|W|4_『+aW出+卜;.

由归纳假设，对任意〃£N*,l%IW±V2,所以.................6

2

分

(3)当时，a^M,证明如下：

4

19

对于任意〃21,an>a>-,且a“+]=a；+a.

对于任意〃21,a“+1_a“=<7：_q,+a=(q,_g)2+<7_；》<7_；,

贝lJa“+i_勺•

所以，。“+1-0=。用-02〃(〃-；)•

2—Z71

当〃〉---j-时，％+]2八(a—)+Q>2—(7+Q=2,即。〃+]>2,因此ueM.

a—

4

................................10分

直线与抛物线

1(2010苏北四市二模)

如图，已知抛物线A/:x2=4々(p>0)的准线为/,N为/上的一个动点，过点N作抛物

线M的两条切线，切点分别为4,B,再分别过4,8两点作/的垂线，垂足分别为C,

D.

(1)求证：直线Z8必经过歹轴上的一个定点0,并写出点0的坐标；

(2)若h4CN,\BDN,A4NS的面积依次构成等差数列，求此时点N的坐标.

解法一：(1)因为抛物线的准线/的方程为歹=-°,所以可设点N,4,3的坐标分别为

2

（m,-p）,（再,乂）,（和y2），则X；=4pyl,Xj=4勿2，由x=4py,得少

互+p

二，于是小吆=工即幺一=

求导数得_/

2PXj-7772pxx-m

化简得%12-2加/-4P2=0,

2

同理可得x；-2mx2-4p=0,

所以X]和％是关于x的方程/一2加工一4P2=0

两个实数根，所以为2=+4p2,且苞羽=-4.2.

在直线N8的方程歹一必=』二区(x—玉)中，

x2—x1

令x=0,

得y=丛二乂-X%=="尼区一%)=一/=0为定值,

x2-x,x2-x,4P(%一须)4P

所以直线Z8必经过歹轴上的一个定点0(0,p),即抛物线的焦点..........5分

(2)111(1)知芯+々=2加，所以N为线段CD的中点，取线段Z8的中点E,

因为。是抛物线的焦点，所以NQ=/C,BQ=BD,所以4C+BD=4B,

所以sMNB=SMNE+S^NE=；EN,CN+；EN•DN=；EN•(CN+DN)

AC+BD…AB-CN

=EN-CN=--------C7V=-------

22

▽由“AC-CNAQ-CNcBDDNJBQ-CN

又因为S^CN---2，S\BDN--2，

所以AQ；N,BQCNAB；N成等差数列,即幺。BQ>成等差数列，

即0—石,x2-0,%2-占成等差数列，所以4-2%=2.，x2--2xt,

所以玉々=-2x；=(m+yjm2+4/72)(m-y]m2+4p2)=-4p?,玉=±V2p,

XA2

X1=0p时，x2--2y/lp,m-'~^'-P,

玉=一夜;?时，x2=242p,所以所求点N的坐标为(土告p,-p).

...................................................10分

解法二：(1)因为已知抛物线的准线/的方程为丁=-2，所以可设点N,A,8的坐标分别

为(m,-p),为,乂),(