高中数学竞赛讲义九

高中数学竞赛讲义(九)

—不等式

一、基础知识

不等式的基本性质：

(1)a>b=a-b>0；(2)a>b,b>c=a>c；

(3)a>b=a+c>b+c；(4)a>b,c〉O=ac>bc；

(5)a>b,c<0=ac<bc;(6)a>b>0,c>d>0-ac>bd;

(7)a>b>0,nGN.=an>bn;(8)a>b>0,nGM=%>班；

(9)a>0,|x|<a--a<x<a,|x|>a=x>a或

(10)a,b£R,则|a|-|b|W|a+b|W|a|+|b|;

(11)a,b£R,HJ(a—b)2》0=a2+b2e2ab;

则》

zGR\x+y2d^,x+y+zN诉

(12)x,y,

前五条是显然的，以卜.从第六条开始给出证明。

（6）因为a>b>0,c>d>0,所以ac>bc,bc>bd,所以ac>bd；重复利用性质（6）,可

得性质（7）；再证性质（8）,用反证法，若石s加，由性质（7）得函rM嫡丫,

即aWb,与a>b矛盾-，所以假设不成立，所以据>驱；山绝对值的意义知(9)成立；

一|：&W@W|0|，Tb|WbW|b|,所以-(|a|+|b|)Wa+bW|a|+|b|,所以|a+b|W|a|+|b|；下

面再证(10)的左边，因为|a|<a+b-b1W|a+b|+|b|,所以|a|-|b|W|a+b|,所以(10)成

立；(11)显然成立；下证(12),因为x+y-2l/E=(«-折'>0,所以x+y22'田，

当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令茹=,五=瓦注=8，因为

x3+b'!+c-3abc=(a+b)i+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b)a+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-

ca)=-(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)']-0,所以a：'+b"+。'》3abc,即x+y+z^^/^^,

等号当且仅当x=y=z时成立。

二、方法与例题

1.不等式证明的基本方法。

A

(1)比较法，在证明A>B或A〈B时利用A-B与0比较大小，或把6(A,B>0)与1比

较大小，最后得出结论。

例1设a,b,ceR\试证：对任意实数x,y,z,有

------xy-2

【证明】左边-右边=x2+y2+z：+c*+a)

ca豆a

----------------x_r=---&--xi-2%J-J---------------。+----ya+,--c-y

JS+SXfr+c)b¥cW+lc+d)c+ac+a

JMb1.<11J8

2l---------------«+------z14-------z1-2Aj---------------xz-l-------JT=

Yg+/c+a）a¥bd+6VQ+5）S+e）b¥c

电仔q+（忌，十（后”怎q之。

所以左边与右边，不等式成立。

例2若a〈x〈l,比较大小：llogKl-x）|与|log,（l+x）].

I—+切

【解】因为1-xwl,所以log“（l-x）W0,1版・0-幻1

=1log（i-x）（1+x）|=-loga-x）（l+x）=log（i-x）1+X>log（iX）（l—x）=l（因为0<l-x2<l,所以

l+X>l-x>0,0<l-x<l).

所以|10ga(l+X)|>|lOga(l-X)|.

(2)分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止,

叙述方式为：要证……，只需证……。

例3已知a,b,c£R,求证：a+b+c-3%2a+b—2jS.

【证明】要证a+b+c-垢二不2a+b-2疝.只需证。+2石2金的，

因为c+2石=。+&+日2距]不=第石所以原不等式成立。

例4已知实数a,b,c满足(KaWbWcW二，求证：却一吟却一切》(1一•)

【证明】因为(KaWbWcW二，由二次函数性质可证a(l-a)Wb(Lb)Wc(Lc),

之二

所以AC-A)H-c),

+

所以《-a)*O-A)*(1-*)<l-G,

----+----X----+----

所以只需证明的一。)A。一即《叫*C-«),

也就是证H-=1-.)如-aXl-A),

只需证b(a-b)Wa(a-b),即(a-b”2O,显然成立。所以命题成立。

(3)数学归纳法。

例5对任意正整数n(23),求证：nn+1>(n+l)n.

【证明［1)当n=3时，因为3'=81>64=43,所以命题成立。

9+严

2)设n=k时有kk+，Xk+l)k,当n=k+l时,只需证(k+l)">(k+2)R即0+&**>1.因

****,■+产/

为(t+小，所以只需证a+25)"(L,即证(k+l严2>[k(k+2)]k”,只需证

(k+l)2>k(k+2),即证k、2k+l>k2+2k.显然成立。

所以山数学归纳法，命题成立.

(4)反证法。

例6设实数a0,ai,•••,也满足ao=an=O,且ao-2ai+a2^O,ai-2a2+a3^0,•••,

an-2-2an-i+an20,求证ak〈O(k=l,2,•••,n-1).

【证明】假设ak(k=l,2,•••,n-1)中至少有一个正数,不妨设施是由,a&…,an-i

中第•个出现的正数，则aWO,a2<0,a.WO,ar>0.于是a「arT>0,依题设

ak4i-ak>ak-aki(k=l,2,•••,n-1)。

所以从k=r起有an-aki^an-i-an-2，…DO.

=

因为an2ak-i2…，a「+i2%>0与an0矛盾。故命题获证。

(5)分类讨论法。

例7已知x,y,z£R',求证：/+=x+y

【证明】不妨设x2y,x2z.

i)x2y2z,则*x+w>+N,x2^y2^z2,由排序原理可得

£_+£+£)上

A+zr+xx+jry+tz+x*+尸，原不等式成立。

——―

ii)x'z》y,则*+,M+/>+N,x2)z22y2,由排序原理可得

X3，/V*X*X’

>+,r+xx+y>+zM+*M+»,原不等式成立.

(6)放缩法，即要证A>B,可证A>G,GeCz…,C„T2C„,C„>B(n£N.).

1■城3(＜心之然

例8求证:

【证明】

5=1+已-占,

2-272,得证。

abc

-----+----->------

例9已知a,b,c是△ABC的三条边长，m>0,求证：(HF«A+«C+«

ababa+b.M

------+------>----------+----------=----------

【证明】o-t-Mb+ma+b4-M-----------------o+A+*

M

c+mc+m(因为a+b>c),得证。

（7）引入参变量法。

例10已知x,yeR1,1,a,b为待定正数，求f（x,y）=，的最小值。

=京*==___

【解】设改—，则-1+*-1+*,f(x,y)=

?Qv，Qk.k，尸

\(aJ+b3+3a2b+3ab2)=

g+A?«=*

7一,等号当且仅当M7时成立。所以f(x,yLFF-'

例11设Xl2X2eX32x.ie2,X2+X3+XBX1,求证：(X1+X2+X3+X4)2<4X1X2X3X4.

【证明】设X1=k（X2+X3+X。，依题设有，WkWl,X3X424,原不等式等价于

22

（1+k）（X2+X3+X4）^4kx2X3X4（X2+X3+X4），即

。+1PJ

4/(X2+X3+X。WX2X3X1,因为f(k)=k+1:在I?」上递减,

1（*4-1+2）

所以缺（X2+X3+X4）=4k（X2+X3+X4）

3+-+2

3

W4♦3X2=4XZWX2X3X4.

所以原不等式成立。

(8)局部不等式。

■A■+3+三之建

例12已知x,y,z£R'，且x，y2+zJl,求证：1一”1一)”"2

-----5-2---

【证明】先证1-72

因为号

X_xa、_3/^

寸=印3'二亍

所以S

同理言牵

号曾

例13已知0<a,b,cWl,求证：*c+tca+l&+1<2。

。弓2a

【证明】先证展+1a+b+c'①

即a+b+cW2bc+2.

即证(bT)(cT)+l+bc2a.

因为OWa,b,cWl,所以①式成立。

A.普《12c

同理8+1a+b-i-c'ab+la+b+c

三个不等式相加即得原不等式成立。

(9)利用函数的思想。

例14已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ca=l,求f(a,b,c)=，+3。+cc+a

的最小值。