新教材讲与练高中数学4（A版选择性必修第一册）课时作业23

课时作业23直线与椭圆的位置关系

时间：45分钟

基础过关

一、选择题

已知直线1：x+y—3=0,椭圆苧+产=1,则直线与椭圆的位置关系是（C）

1.

A.相交B.相切

C.相离D.相切或相交

已知椭圆C，+1=13>力>0）的左、右顶点分别为Ai,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线法一ay+2"

2.

=0相切，则椭圆。的离心率为（A）

逅

A.B.

3

啦1

C.D.

33

解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为/+产=〃,

该圆与直线bx-ay+2ab=0相切，

.』X0—“X0+2的

‘/2+(_/=d即2b=7足+52,

•片一2•〃一£一逅达涛A

a2=3b2,a2=b2+c2,••e-q-3'故选A-

直线1经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到1的距离为其短轴长的/则该椭圆的离心率为（B）

3.

11

A.B.

32

23

C.D.

34

解析：方法一：不妨设直线1过椭圆的上顶点（0,力和左焦点（一c,0）,。>0,c>0,则直线1的方程为bx—cy~\~bc

hp1（^-1

=0,由已知得+小=^=2。，解得。2=3",又62=q2一段所以茄=不即於=去,所以e=1或e=—舍去）.

方法二：不妨设直线1过椭圆的上顶点（0,3和左焦点（一C,0）,力>0,c>0,则直线1的方程为bx~cy+bc=0,

由已知得赤2=［义20,所以萼="x2b,所以e=：=T，故选B.

4.已知椭圆氏的右焦点为网3,0）,过点尸的直线交E于A,3两点.若A8的中点坐标为（1,

—1）,则E的方程为（D

A.

C.

解析：因为直线A5过点尸（3,0）和点（1,-1）,所以直线AB的方程为—3）,代入椭圆1消去y,

3a2

得停+炉,。2%+去2-〃2b2=0,所以A3的中点的横坐标为s—1,即层=2。2,又居二加+廿，所以匕=c=3.

一一2信+〃

«2=18,故选D.

若A3为过椭圆全落1中心的线段，孔为椭圆的焦点，则面积的最大值为（B）

5.

A.6B.12

C.24D.48

解析：如图，S/sABF]=S^AOFl+S^BOF}=2S4

又•.•OFi=c=3为定值，・••点A与（0,4）重合时，OB边上的高最大，

此时S^AOF1的面积最大为^X4X3=6.

的最大值为12,故选B.

6.已知A,8是椭圆2+/=13>6>0）长轴的两个端点，M,N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM,BN

的斜率分别为所，上2（女曲W0），若椭圆的离心率为坐，则由|+|司的最小值为（A）

A.1B.也

C.坐D.小

解析：设M(%,y),N(x,—y')(—a<x<d),则女尸二^，依=一—，又因为椭圆的离心率为半，所以与=，1二屐=

%IaciX乙a

I如+何=$+把》

2^55=?=I-故选A.

7.已知椭圆C：弓+尸=1的右焦点为F,直线1：x=2,点AWL线段AF交椭圆。于点8,若成=3彷，则|油

-A>

2

AC.V2B.

V3D.3

解析：设点A(2,ri),3(%o,yo).由椭圆C:彳+丁=1知足=2,Z>2=1,.*.c2=l,即c=l.，右焦点F(1,0).由成

1\

-1

_A4]x口XJ2+

=3所得(1,w)=3(xo_1,yo).•,.1=3(沏-1)且〃=3yo.，％o=],yo=]几将沏，yo代入,+:/=1,寸27I

解得泳=1,\^F\—^/(2—l)2+n2=^/l+l=小，故选A.

8.(多选题)已知直线y=3%+2被椭圆，+£=13>。>0)截得的弦长为8,则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8

的是(ACD)

A.y=3x~2B.y=3x+l

C.y=~3x_2D.y=—3x+2

解析：作出椭圆和有关直线(图略)，由于椭圆关于坐标轴、坐标原点对称，而A、C、。中的直线与直线y=3%+

2或关于原点对称或关于坐标轴对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，故应选ACD.

二'填空题

9.椭圆卷+^=1的右焦点到直线的距离是坐.

解析：已知椭圆的右焦点为(1,0),它到直线小%—y=0的距离为哈?=坐.

।乂3+12

10.过椭圆1+£=1的右焦点尸作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,3两点，O为坐标原点，则△。43的面

积为*

(y=2x-2,

解析：由*=5,加=4,得《2=1,则右焦点尸的坐标为(1,0),直线A3的方程为y=2(x—1).由

[4%2+5y2=20

得3A2—5x=0,解得％=0或%=/所以|43|=\乂＞1+22=’¥，1—212

又点O到直线AB的距离为d=7]++=忑,因此

11.设B,B分别是椭圆氏/+金=1(OVY1)的左、右焦点，过点我的直线交椭圆E于A,3两点.若(AFi|

=3|FiB|,ABJ-%轴，则椭圆E的方程为^+$=1.

解析：不妨设点A在第一象限，如图，

*：AF2-LX^J,：,A(C,左)(其中/=I一接ovbvi,c>0).

又・・・|AFi|=3尸周，

..•由AA=3户由，得—苧，一号)，

代入％2+3=1,得等+枭=1,

2

又(？=1—/,/,^2=-

故椭圆E的方程为x2+1y2=l.

三、解答题

12.已知椭圆C：f+/=l,椭圆C2以G的长轴为短轴，且与G有相同的离心率.

⑴求椭圆。2的方程；

(2)设O为坐标原点，点A,3分别在椭圆C1和C2上，彷=2次，求直线45的方程.

解：(1)由已知可设椭圆G的方程为?+?=1(“>2),

其离心率为乎，故4=当解得”=4,

故椭圆。2的方程为言+^=1.

(2)若将A,3两点的坐标分别记为(冽，/),(XB,/)，

由怎=2次及(1)知，O,A,3三点共线且点A,3不在y轴上，因此可设直线A3的方程为y=Ax.

将y=Ax代入到?+:/=1中，得

所以正=

1+4F

将丁=丘代入到得+手=1中，得(4+乃)x2=16,

所以的

又由防=2四,得蝇=4焉，即存下=1+4,，

解得左=±1.故直线AB的方程为I—y=0或％+y=0.

13.已知离心率为乎的椭圆及:+|=1(。>。>0)经过点4(1,孚.

⑴求椭圆E的方程；

(2)若不过点A的直线1：y=乎%+相交椭圆后于3,C两点，求△A6C面积的最大值.

解：(1)因为£=尢，所以设。=近"，c=n,则Z?="，椭圆E的方程为另+%=1.代入点A的坐标得。+表=1,

/=1,

所以椭圆E的方程为主+9=1.

⑵设点3,C的坐标分别为(%]，yi),(x2,”)，

啦

y2x+m,得/+2俣2+地鹿+»22)=2,

｛^+2/=2一

即炉+啦烟+«?—i=o,%i+%2=一啦机，xi-X2=m2—l,A=2w2—4(m2—1)>0,w2<2.

\BC\=N(1+询[(%1+松)2一4%闻=

^|[2zn2—4(w2—1)]=^|(4—2wi2),

点A到直线1的距离d=~^L,

V2

△ABC的面积S=^|BC|-d=

弁|(4-2m2).丹=坐寸加2(2一m2)w

媳加2+2-M短

2,2

当且仅当m2=2—m2,即m2=1时等号成立.

所以当加=±1时，AiABC面积取最大值为乎.

素养升级

14.已知椭圆E：，+/=1(Q>Z>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线1：3%—4y=0交椭圆£于A,B

4

两点.若|4F|+|5F|=4,点M到直线1的距离不小于左则椭圆E的离心率的取值范围是(A)

解析：设左焦点为同，连接尺A,FoB,则四边形AFBFo为平行四边形.

4b4c

"：\AF]+\BF\=4,：.|AF|+|AF0|=4,...4=2.设M(0,b),则亍2予，1W6v2.，离心率e=,=

U-b2

故选A.

15.过点”(一2,0)的直线m与椭圆,十丁=1交于B,尸2两点，线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为ki(k^O),

直线O尸的斜率为左2,则所依的值为(D)

B.-2

解析：设P(%o,yo),Pi(xi,yi),尸2(%2,yi),过点M(—2,0)的直线机的方程为y—0=M(%+2),代入椭圆的方程化

一86一46

简得(26+1)砂+8好％+8好一2=0,.•・沏+%2=2/+],工点P的横坐标为2"十],纵坐标为M(%o+2)=2/+],即

-11

直线OP的斜率2^-=-2，故选D.

16.已知椭圆。的一个顶点为A(0,-1),焦点在％轴上，若右焦点到直线％—丫+2g=0的距离为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线1的方程为y=%+m,是否存在实数加，使直线1与椭圆。有两个不同的交点V,N,且14M=|⑷V