高中数学习题1：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 空间向量的数量积运算

1.L2空间向量的数量积运算

课堂检测•固双基

1.下列命题中，不正确的有（）

@yja•a=|a|；②加4a）•b=（m入）a•b；③&•（，+c）=（8+c）•a；④

ab=ba.

A.4个B.3个

C.2个D.1个

2.已知a,力均为单位向量，它们的夹角为60°,那么|a—3团等于（）

A.小B.回

C.y/13D.4

JI——

3.已知空间四边形物回中，OB=OaZAOB=ZAOC=-9则COS〈》，BO

的值为（）

1蛆

A.2-民2

1

C.—~D.0

4.若a,b,c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则a~b+2c\=

5.

如图，在长方体力四一46K〃中，设/片屈=1,AB=2,尸是G〃的中点,

则瓦与石所成角的大小为___,瓦C•碇=

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

1.设a、b.c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则

①（a•b）c—（c,a）6=0；

②a—|Z>|<a~b；

③（力,a）c—（c,a）b不与c垂直；

④（3a+2A）•（3a-2Z>）=9|a|2-4|Z>|2.

其中正确的是（）

A.①②B.②③

C.③④D.②④

2.若a、b均为非零向量，则a•b=a|同是a与b共线的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

3.（2020•北京市房山区期末检测）在正方体力6切-4AG〃中，向量宓与向

量BL的夹角是（）

A.150°B.135°

C.45°D.30°

4.已知a\=l,罚=/，且a-•与a垂直，则a与b的夹角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.135°

5.（多选题）设a,b,c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列

命题正确的有（）

A.（a,6）c—（c,a）b=Q

B.a=\]a,a

C.ab=Ifa

D.（3a+2力）（3a—26）=9|a|2一4|6「

二、填空题

6.已知正方体能N—4AG〃的棱长为a,则布•觉=.

7.在空间四边形力时中，AB-CD+BC-AD+CA-BD=__.

8.（2020•福建厦门市高二质检）如图，平行六面体/四一4AG〃的所有棱

JI、

长均为1,ABAD=ZAJD=ZAJB=—,£为CG的中点，则4E的长度是

O

三、解答题

9.如图所示，在空间四边形/比"中，0A=8,AB=&,AC=4,BC=3,£OAC

=45°,/物8=60°,求物与a1的夹角的余弦值.

10.如图，在四面体如a'中，设洒=a,OB=b,OC=c,G为的重心,

以｛a,b,c｝为空间基底表示向量诙，06.

B组•素养提升

一、选择题

1.已知在空间四边形/时中，AACD=ZBDC=^°,且/8=2,CD=\,

则48与缪所成的角是（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

2.已知Ci，目是夹角为60°的两个单位向量，则a=e+◎与b—et~2e，

的夹角是（）

A.60°B.120°

C.30°D.90°

3.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知（应+龙-25I）•（AB-Ab）

=0,则△/8。是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

4.（多选题）在正方体/欧―4AG〃中，有下列命题，其中正确的有（）

A.（麻叶位叶疵2=3痞

B.兢>（诵-而=0

C.」必与诵的夹角为60°

D.正方体的体积为|花•筋।•劝|

二、填空题

5.已知向量a,b,c两两夹角都是60°,且a=|b=|c|=1,则|a—2Z>

+c|=.

6.四棱柱4发力一48《〃各棱长均为1,ZAJB=ZAJD=ZBAD=6Q°,则

点6与点〃之间的距离为一.

7.在四面体勿勿中，棱勿，OB,冗两两垂直，且的=1,OB=2,OC=3,

61为的重心，则应1•{OA+OB+~OC）=.

三、解答题

8.如图，在正四面体口中，棱长为a,MN分别是棱/反切上的点，

且逋=24加CN=^ND,求MN.

9.如图所示，已知平行六面体/腼一4AG〃的底面力颇是菱形，且NG"

=4C\CD=4BCD.

⑴求证：CCBD；

(2)当外的值为多少时，能使4cL平面。劭？请给出证明.

COi

LL2空间向量的数量积运算

课堂检测•固双基

1.下列命题中，不正确的有（D）

（D\/a,a—|a\；②加（4a）•b=（加儿）a•b；③a,（Z）+c）=（Z>+c）•a；④

elb=ba.

A.4个B.3个

C.2个D.1个

［解析］④中aZWbZ,①②③均正确，选D.

2.已知a,人均为单位向量，它们的夹角为60°,那么|a—3引等于（A）

A.3B.A/10

C.y［13D.4

［解析］a-3b\=\J（a-3b）：

6a,b+9tr

=yj1-6X1XIX|+9=A/7.

JI—f

3.已知空间四边形如%中，OB=OC,ZAOB=ZAOC=-则〈OA,BO

09COS

的值为（D）

1yl2

A.-B.

1

--O

2D.

［解析］OA-BC=OA•(OC-OB)=OA-0C-OA•0B=\OA\\OC\cosZAOC-\OA

|\OB\cosZAOB

=)游||走|一J而||第|=0,

乙乙

所以而，庆：所以cosBA,BO)=o.

4.若a,b,c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则g—b+2cl=

一V5—•

［解析］a-b+2”=(a-8+2C)2

=a2+b2+4c2—2a,8+4a•c-4b•c=5.

a—Z>+2c|=y［5.

5.

如图，在长方体力腼〃中，设4?=44尸1,AB=2,。是G〃的中点,

则流与乖所成角的大小为60°,旗?•诵=」.

［解析］方法一：连接4〃（图略），则/必防就是觉与了惭成角，连接PD,

在中，易得必产必=电镜，即△孙〃为等边三角形，从而N/%P=60°,

即血与诵所成角的大小为60°,因此豌•止心X巾Xcos60°=1.

方法二：根据向量的线性运算可得

KC*A^P={M+Ab）.例+利=亦=1.

由题意可得/%=5仁:，则小X/Xcos（武C,加=1,即cos〈武C,

由=1,从而〈瓦7,宿=60°.

乙

素养作业•提技能

请同学们认真完成练案［2］

A组•素养自测

一、选择题

1.设&、枚c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则

①(a•t))c—(c,a)6=0；

②a—|Z>|<a~b；

③(b•a)c—(c•a)b不与c垂直；

④(3a+26)•(3a—20=91al-4|叱.

其中正确的是(D)

A.①②B.②③

C.③④D.②④

［解析］根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确.故选D.

2.若a、6均为非零向量，则a•力=|a||引是a与b共线的(A)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

［解析］a•b=a\|b\=^cos〈a,b)=1=(a,b)=0°,即a与6共线,

反之不成立，因为当a与8共线反向时，a•b=~\a\b\.

3.(2020•北京市房山区期末检测)在正方体469一46C〃中，向量宓与向

量球।的夹角是(B)

A.150°B.135°

C.45°D.30°

［解析］如图,正方体ABCD-A\BCD1中,

,:AB〃AB,AC//A,Cx,

，NG45的补角即为向量能与向量的夹角.

•••△G48为等腰直角三角形，

.•.NG4A=45°,

，向量宓与向量的夹角为180°-45°=135°,故选B.

4.已知㈤=1,\b\=y/2,且a—6与a垂直，则a与方的夹角为(B)

A.30°B.45°

C.60°D.135°

［解析］6与a垂直，，(a—6)•a=0,

a•a—a•b=|a|2—|a|•b•cos(a,b)

=1-1•y［2,cos(a,b)=0,

cos〈a,b)V0°W〈a,b)W180°,/.〈a,b)=45°.

5.(多选题)设a,b,c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列

命题正确的有(BD)

A.(a,b)c~(c,a)b=0

B.|a|=7a.a

C.a2Z>=a

D.(3a+2/>)(3a-2Z>)=9|a|2-4|Z>|2

［解析］由于数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质知B正确;

C中|ab=b'a不一定成立；D正确.

二、填空题

6.已知正方体/次刀一46K〃的棱长为a,则检•能=才.

［解析］如图，猛・枇=猛•询

=|而•|沏•cos(凝,硒=，^ax/aXcos600=a2.

7.在空间四边形力腼中，AB-Cb+BC-AD+CA-BD=0

［解析］原式=诵・CD+BC*AD+CA•(而一位

=AB*(CD-CA)+AD*(BC+CA)

=~AB*应血.BA=AB,AD—AD*A^=0.

8.（2020•福建厦门市高二质检）如图，平行六面体力腼一48£〃的所有棱

长均为1,/BAD=/4Ag/A、AB=?E为了的中点，则熊的长度是—呼.

［解析］由题可知，AE=AB+BC+^,

所以宓=（窕+应'+；花;尸=|崩『+|距'「+，在『+2池・BC+AB.花+

BC'CC,

=\AB\2+\BC\2+^\CCX+2\AB\•|5C|cos60°+\AB\•|0；|cos600+\BC

•|CG|cos60°

,,1,1,1,117

=1+1+-+2X-+-+-=T，

得|森匚手.

三、解答题

9.如图所示，在空间四边形如比'中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC

=45°,Z<245=60°,求力与a'的夹角的余弦值.

［解析］,：BC=AC-AB,

：.0A*BC=OA•(而一丽

=|汤I•园•cos〈洒,AC)-\0A\>\AB\・cos〈而，位=8X4Xcos135°

-8X6Xcos120°=24—16明.

-OA-BC

/.cos〈Q4,BC)---------

@11阖

24—16也3—2啦

=8X5=5'

.•.以与a1的夹角的余弦值为次?但.

5

10.如图，在四面体。16。中，设9=a,OB=b,0C=c,G为的重心,

以｛a,b,c｝为空间基底表示向量诙，0G.

［解析］由G为的重心易知E为“'的中点，

：.BE=^(BA+B^

=；［(汤一丽+(亦一曲］

=^［(a—Z>)+(c—/)］=：(a+c—2Z>),

»>>2—►］1

06=0B+^G=b+'^BE=b+-(a+c—2b)=~{a+b+c).

ooo

B组•素养提升

一、选择题

1.已知在空间四边形/颇中，/ACD=/BDC=9b",且/8=2,677=1,

则48与Q?所成的角是（C）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

［解析］根据已知N46»=N劭。=90°,得衣•多=历•近=0,

：.AB*~CD=(JlC+CD+DB)•~CD=~AC*CD+\O)\2+DB*CD=\CD\2=1,

—、~AB*CD1.„

Acos〈AB,6=--------."8与切所成的角为60°.

\AB\\CD\2

2.已知e,鱼是夹角为60°的两个单位向量，则a=e+@与b=e—^e,

的夹角是(B)

A.60°B.120°

C.30°D.90°

［解析］由题意得a•力=(a+a)•(©1-2e,)=e；—e-2^=1—1XIX

13

--2--T

2

=71+1+1=乖,

2

bI=^/P=-\/（ei—2e?）4e,•e>+4^

=^/l—2+4=^/3.

_3

a*b21

/.cos（a,6〉=n~~rr7r="-7.「・〈26〉=120°o.

\a\\b\32

3.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知（场十比一2^I）•（森一而

=0,则△48。是（B）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

［解析］因为我+比一2而=（场一瓦I）+（DC-DA）=AB+AC,

所以（应+配-2忌）•（焉一而=（诵+必•（宓一而=宓一彩=0,

所以I而=|近1,因此△力勿是等腰三角形.

4.（多选题）在正方体/况片4身G〃中，有下列命题，其中正确的有（AB）

A.（筋d劝+痴2=3宓

B.Z（7«（福一期）=0

C.葩与诵的夹角为60°

D.正方体的体积为|荔•筋।•9|

［解析］如图所示，

OX+9+施=（荔+R+成;尸=花2=3赤;

宿（诵一尤1）=M7•荏=0；

脑与检的夹角是位与着夹角的补角，

而成与项的夹角为60°,故而与诵的夹角为120°；

正方体的体积为I陶I病I沏.

二、填空题

5.已知向量a,b,c两两夹角都是60°,且a=|，=|c|=1,则a—2b

+c\=—"x/L-.

［解析］因为Ia—2b+c*=3+42>2+c—4a•b—4b•c+2a•c=1+4+1

-4Xcos60°-4Xcos600+2Xcos60°=3,所以|a—2b+c|=m.

6.四棱柱4%力一45G〃各棱长均为1,ZAtAB=ZAtAD=ZBAD=60°,则

点6与点〃之间的距离为—仁.

［解析］•••四棱柱/比汐-43G〃各棱长均为1,

ZAtAB=ZAJD=ZBAD=G0°,

：.Bbx=BA+Ab+DD„

.•.诙2=（用+莅叶近）2

=滋+赤+应2+2瓦（•施+2瓦•血+涌）•应

=1+1+1+2X1X1XCOS120°+2XIX1Xcos120°+2X1XIXcos

60°=2,

，|丽|=镜，.•.点6与点〃两点间的距离为十.

7.在四面体勿比'中，棱/，0B,%两两垂直，且的=1,0B=2,0C=3,

G为△怂7的重心，则龙•（游+加击=」=—.

O

［解析］•花=洒+赤=涝+;（范+应）

=涝+;［（南一9）+（沅'-游）］

O

=;应+:秀+;而，

：.0G-（OA+OB+OC）

=已曲"晟+幼卜（M+0B+0i^

yOOOJ

=（南+:花+,南

=<X2°+；X3+；Xl'=:.

oooo

三、解答题

8.如图，在正四面体46切中，棱长为a,M,川分别是棱切上的点，

且"=2掰CN=