高中数学会考知识点必修一

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第一章集合与函数概念

一、集合

1.集合的含义和表示

1、1集合的含义:某些指定的对象集在一起成为集合。

1、2集合元素的特性:确定性、互异性与无序性。

确定性:设A是•个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A

的元素,两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同

一集合中不应重复出现同一元素；

无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关；

1、3集合相等:两个集合的元素完全一样.

1、4集合与元素的关系：集合中的对象称元素，若a是集合4的元素，记作aeA;若人不是集

合A的元素，记作bA,,

1、5常用数集的记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N.；

整数集，记作Z；有理数集,记作Q:实数集,记作R。

1、6集合的表示法

列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；

描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内.

具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围,再画一条

竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意，•般集合

中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法.

2.集合间的基本关系：

2、1子集和真子集的概念

集合A的任何一个元素都是集合8的元素,则称A是6的子集（或占包含4）,记作4=8（或

AuB）;

若/g6且6卫/,则称A等于6,记作A=员

若且？则称1是8的真子集，记作1£尻

2、2空藁的概念：不含任何元素的集合，记作①。

简单性质：2）①=4；3）若/=氏8则

4）若集合A是n个元素的集合,则集合4有2n个子集（其中2,-1个真子集）。

3集合的基本运算.

3、1并集的概念：一般地，由所有属于集合/或属于集合Z?的元素所组成的集合，称为集合力与

6的并集.并集Au8={xIxGA或xeB}.

3、2交集的概念：一般地，由属于集合4且属于集合6的元素所组成的集合，叫做集合4与6的

交集.交集Ac8={xlxeAfixefi）.

3、3全集和补集：

全集：包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U;

补集：若U是一个集合,4cU,则，CuA={xlxeU且x走A}称U中子集/^的补集；

简单性质：1）Cu（CuA）=4;2）CuU=①，Cui=A.

注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键

是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设

条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法.

3、4集合的简单性质：

⑴AcA=A,Ac<t>=R4c8=5cA;

⑵Au①=A,Au8=BuA;

⑶(Ac8)q(Au8);

(5)Cu(4n而=(Cu4)U(Cu面，CuC4U面=(Cu4)Cl(Cu卤.

二、函数及其表示

1、函数的概念

1、1函数的定义：设4、8是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系使对于集合1中的

任意•个数X,在集合6中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:4-8为从集合A到集

合方的一个函数.记作:y=F(x),xd,yG尻其中,x叫做自变量,x的取值范围/叫做函数的定

义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛/'(x)IxG4｝叫做函数的值域.构成函

数的三要素:定义域、对应关系和值域。

1、2函数符号："y=F(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；函数符号“y

=F(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘X.

1、3函数的定义域求法：

①自然型:指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如:分式函数的分母不为零，偶次

根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等)；

②限制型:指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因

为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误；

③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义.

求函数定义域的原则：

(1)若/(%)为整式，则其定义域是R：

(2)若/(X)为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合；

(3)若/(X)是二次根式(偶次根式)，则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；

(4)若f(X)=X°,则其定义域是,卜丰0):

(5)若/(x)="(a>0,a，l),则其定义域是

⑹若/(1)=1080%(0>0,。，1),则其定义域是｛工k>。｝.

重难点:关于抽象函数的定义域.求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，

求解容易出错误

问题1：已知函数y=/(x)的定义域为b],求y=/(x+2)的定义域

解：因为y=/(x)的定义域为[a,b],所以在函数y=/(x+2)中，a<x+2<b,从而

a-2<x<b-2,故y=/(x+2)的定义域是团一2/-2]。即本题的实质是已知f(x)的定

义域D,求f(g(x))的定义域则只需求g(x)GD.

问题2：已知y=/(x+2)的定义域是[a,b],求函数y=/(x)的定义域，求

解：因为函数y=/(x+2)的定义域是[a,b\,则从而a+24x+2W〃+2

所以函数y=/(x)的定义域是[a+2,/?+2]。本题的实质是已知f(g(x))的定义域D,求f(x)

的定义域则只需求D上求g(x)的值域。

1、4函数的值域的几种常用方法

(1)配方法：对于(可化为)''二次函数型”的函数常用配方法，如求函数

y--sin2尤一2cosx+4,可变为y--sin2x-2cosx+4=(cosx-1)2+2解决

(2)基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数

y=log1(-x2+2x+3)就是利用函数y=log]〃和"=-/+2》+3的值域来求。

22

2x+1

(3)判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数)>=2的值域

x~-2冗+2

由y=,2.x+1得y/-2(y+l)x+2y-l=0,若y=0,则得x=-‘，所以y=0是

x~-2x+22

函数值域中的一个值；若ywO,则由A=[-2(y+l)]2-4y(2y-l)>0得

3-V133+V13

3-『《”3+产且二0,故所求值域是]]

22

(4)分离常数法：常用来求''分式型”函数的值域。如求函数)，=至上二的值域，因为

COSX+1

3=2cos=3=2----，而cosx+le(0,2],所以------------e,故

cosX+1COSX+lCOSX+12

/11

ye(-co,--J

3Y

(5)利用基本不等式求值域：如求函数y=的值域

344

当x=0时，y=0；当xwO时，y=-----，若x>0,则XH—N2、x•—=4

J4XX

X-F—

X

若x<0,则x+3=—(―x+/—)W2、(—x)・(W)=4,从而得所求值域是[一3,3]

x-x\-x44

(6)利用函数的单调性求求值域：如求函数y=2——/+2*e[-1,2])的值域

因y=8》3—2X=2X(4X2-1),故函数y=2/—/+2(》6[7,2])在(―1,—；)上递减、在

(―』,0)上递增、在(0,L)上递减、在(工,2)上递增，从而可得所求值域为[”,30]

2228

(7)图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域(求某些分

段函数的值域常用此法)。

1、5.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域点值域C和对应法则工当函数的

定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此,定义域和对应

法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数

才是同-一个函数.

1、6.区间的概念和表示法

(1)区间的概念：设a、b是两个实数，而且a<b,我们规定：

1)满足不等式aWxWb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；

3)满足不等式aWx<b或a<xWb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示

为[a,b)或(a,b].

这里的实数a、b都叫做相应区间的端点。

(2)无穷区间：实数集R可以用区间表示为(+81-8),“8”读作“无穷大”。把满足

xea,x>a,xWa,x<a的实数x的集合分别表示为[a,+8),(a,+°°),(-00,a],(-°°,a).

(3)区间的数轴表示：

集合名称区间数轴表示

{xIaWx〈b}闭区间[a,b](_____1_______.

ab'

{x|a<x<b}开区间(a,b)1________1

ah

{x|aWx<b}半开半闭区间[a,b)1_____1________.

ab

{x|a<xWb}半开半闭区间(a,b]1_________

a

耒口区间数轴表示

{x|aWx}[a,+8)-Ja._____>

{x|xWa)(-°°,a]

______a

{x|a<x}(a,+8)_J_____

a

{x|x<a}(-°°,a)________

a

2、函数的表示法

2、1函数的解析式表示：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的

解析表达式,简称解析式。

求函数的解析式的般常用方法：①换元法(注意新元的取值范围)；②待定系数法(已

知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等)；③整体代换(配凑法)；④构造方程组(如

自变量互为倒数、已知/(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)。

问题1.已知二次函数/(x)满足/(2X+1)=4--6X+5,求/(x)

方法一：换元法

f-1f_1t_1

令2x+l=f(feR),则苫=——，从而/。)=4(——)2-6——+5=t2-5t+%teR)

222

所以/。)=炉-5x+9(xeR)

方法二：配凑法

2

因为f(2x+1)=4》2_6x+5==(2x+一1Ox+4=(2x+1)_5(2X+1)+9

所以/(x)=x2-5x+9(xeR)

方法三：待定系数法

因为/(x)是二次函数，故可设/(x)=ax2+bx+c,从而由/(2x+l)=4x2-6x+5可求出

a=l>b=-5>c=9,所以/(x)=-5x+9(x€R)

(3)若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出/(x)

问题2：已知函数/(x)满足/(X)+2/P)=3X,求/(x)

X

因为/(x)+2/(-)=3x……①

X

以一代x得f(—)+2/(x)=3—...②

XXX

12

由①②联立消去/(一)得/(%)=——x(x#0)

XX

2、2函数的图像法表示：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

［例1］(09年广东南海中学)•水池有2个进水口，1个出水口，一个口的进、出水的速度如图

甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断：

(1)0点到3点只进水不出水；(2)3点到4点不进水只出水；(3)4点到6点不进水不出水.

则一定不里顾的论断是(把你认为是符合题意的论断序号都填上).

［解题思路］根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。

［解析］由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个单

位，3个小忖共进水6个单位，由图丙知①正确；而由图丙知，3点到4点应该是有一个进水口

进水，出水口出水，故②错误：由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进

水口都进水，同时出水口也出水，故③不一定正确。从而一定不匹颈的论断是(2)。

2、3函数的列表法表示：就是列出表格来表示两个变量的函数关系。

［例2］(07年北京)已知函数f(x),g(x)分别由下表给出

X123X123

/(X)131g(x)321

则/［gd)l的值为;满足/［g(x)l>g"(x)］的x的值是

［解题思路］这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。

［解析］由表中对应值知/［g(l)］=/(3)=1；

当尤=1时，/[g(l)]=l,g[/(l)]=g(D=3,不满足条件

当x=2时，〃g(2)]=/(2)=3,g"(2)]=g(3)=l,满足条件，

当x=3时,_Ag(3)]=/(l)=l,g[/(3)]=g(l)=3,不满足条件，

二满足/Ig(x)]>g[/(x)]的x的值是x=2

用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关

系即可。

2、4分段函数的意义与应用

若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同,这种函数又称分段

函数。

2、5复合函数

若尸/'(u),u=g(x),xe(a,2>),ue(m,n),那么y=/[g(x)]称为复合函数,u称为中间变量,它

的取值范围是g(x)的值域.

2、6映射的概念

一般地,设4、6是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则/；使对于集合A中的任

意个元素％在集合6中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应为从集合A

到集合5的一个映射.记作“£4―6”.

函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个

非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射.

注意：(1)这两个集合有先后顺序,A到8的射与6到A的映射是截然不同的.其中f表示具

体的对应法则，可以用汉字叙述.(2)“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有个;二

是只有一个,也就是说有且只有一个的意思.

三、函数的基本性质

1.单调性与最大(小)值

1、1增函数、减函数的概念：•般地,设函数y=f(x)的定义域为L如果对于定义域I内的某

个区间〃内的任意两个自变量打心当水及时,都有(“为)"(就)，那么就说F(x)

在区间〃上是增函数(减函数)。

注意：

①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质；

②必须是对于区间〃内的任意两个自变量为,防。

1、2函数的单调性和单调区间

如果函数y=A*)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具

有(严格的)单调性，区间〃叫做y=f(x)的单调区间.

三类函数的单调性：

①一次函数/(%)=丘+匕

当&>0时，函数/(%)在R上是增函数；当k<0时，函数/(%)在R上是减函数.

②反比例函数/(%)=~^—+b

x+a

当人>0时，函数/(x)在(一》,一。)，(一。,+00)上是减函数：

当k<0时，函数/(x)在(-「^，(-^问上是增函数.

③二次函数/(x)=ax2+0x+c

bb

a>0时，函数/(x)在二-，七3。|上是增函数，在8°，一;一上是减函数;

2a)I2aa

b画上是减函数，在伍和上是增函数.

当a<0时，函数/(x)在

2aJI勿」

1、3复合函数的单调性

设复合函数y=/U(x)],其中〃=g(x)，/是y=/(g(x)]定义域的某个区间,6是映射g:

XfU二g(x)的象集：

①若U=g(x)在1上是增(或减)函数,y=f(u)在6上也是增(或减)函数，则函数夕=/[8(*)]

在/上是增函数；

②若u=g(x)在月上是增(或减)函数,而y=/Xu)在8上是减(或增)函数,则函数y=Z[g(x)]

在4上是减函数.

1、4判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数/1(*)在给定的区间〃上的单调性的一般步骤：

①任取Xt,用e〃，且Ai〈及；

②作差f(Xl)—f(X2)；

③变形(通常是因式分解和配方)；

④定号(即判断差/■(如一『(%)的正负)；

©下结论(即指出函数汽王)在给定的区间〃上的单调性).

1、5简单性质

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

③在公共定义域内：

增函数/(x)+增函数g(x)是增函数；

减函数/(X)+减函数g(x)是减函数；

增函数/(幻-减函数g(x)是增函数；

减函数/(x)-增函数g(x)是减函数.1、6函数的最大值与最小值

(1)定义：

最大值:一般地,设函数片f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的xdI,都

有F(x)WM;②存在Ai)e4使得AAb)=M.那么，称M是函数尸/'(X)的最大值.

最小值:一般地,设函数产f(*)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的xeI,都

有/'(x)②存在/,使得F(加)=M.那么，称M是函数y=f{x)的最大值.

注意：

①函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在施使得“加=M;

②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的xe/,都有AA)WM(f(x)

>M).

(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法：

①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值；

②利用图象求函数的最大(小)值；

③利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：

如果函数片/U)在区间［a"］上单调递增,在区间",c］上单调递减则函数尸f(x)在产8处

有最大值AA)；

如果函数尸F(x)在区间应⑸上单调递减,在区间",c］上单调递增则函数尸/U)在产6处

有最小值f⑦；

2.奇偶性

(1)定义:如果对于函数/U)定义域内的任意/都有/■(-x)=-f(/),则称f(x)为奇函数;如果对

于函数f(x)定义域内的任意X都有f(—*)=f(x),则称/Xx)为偶函数.

如果函数F(x)不具有上述性质,则/"(X)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则

f(x)既是奇函数，又是偶函数.

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意•

个x,则一x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).

(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(-x)与/'(x)的关系；

③作出相应结论：

若/'(-X)=Ax)或—=0,则/Xx)是偶函数；

若f(-x)=-f(x)或f(—x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

(3)简单性质：

①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是

偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

②设/(x)>g(x)的定义域分别是2,&,那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇,奇x奇=偶，偶+偶=偶，偶x偶=偶,奇x偶=奇

3.周期性

(1)定义:如果存在,个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意X、都有f(户7)=f(x),则

称/1(x)为周期函数；

⑵性质:①f(x+7)=f(x)常常写作/。+3T)=/(彳一］T),若f(x)的周期中，存在一个最小的正

数,则称它为/U)的最小正周期;②若周期函数f(x)的周期为T,则f(3*)(3#0)是周期函数,

且周期为工.

1/1

第二章基本初等函数

一、指数函数

1、指数与指数塞的运算

1、1根式的意义:若一个数的〃次方等于且〃eN*),则这个数称。的〃次方根.即若

x"=a,则x称。的〃次方根〃>1且〃GN*)。当〃为奇数时，。的〃次方根记作后；当“为偶

数时,负数。没有〃次方根,而正数。有两个〃次方根且互为相反数,记作土我(a>0).根式的

性质:1)(①T=a;2)当〃为奇数时，叱=a；当〃为偶数时，匹=lal=J"("2°)

-a(a<0)

1、2分数指数基的意义：=痂(a>0,wN*,且

」1*

a"=—j=(a>0,m,n&N*,Hn>l)

a",

0的正分数指数靠为。，0的负分数指数幕没有意义.

1、3实数指数基的运算性质：1)相.&*=优+'(a〉0,r、seQ);

2)(ar)s=ars(a>0,r.swQ);

3)(a-by=ar-br(a>0,b>0,reQ).

(注)上述性质对r、seR均适用.

(2).帮的有关概念

①规定:1)a"=aa...a(neN*；2)a。=l(ah0);

3)a~p=—(peQ,4)a"=V^"(a>0,/〃、〃eN*且〃>1).

ap

2、指数函数及其性质

2、1指数函数的概念：函数y=a'(a>0,且awl)称指数函数。函数的定义域为R,函数的值

域为(0,+8)。

①定义域为(-CO,+8)；②值域为(0,+8);③过定点(0,1);

④单调性：当a>l时，函数“X)在R上是增函数；当0<a<l时，函数〃龙)在火上是减

函数.

⑤指数函数的图象不经过第四象限，在第一象限内，当x〉l时，图象离y轴越近的指数越大。

3、对数及对数运算

3、1.对数的概念:如果>0,且aW1)的6次基等于N,就是a"=N,那么数b称以a为底N

的对数，记作log.N=6,其中a称对数的底,N称真数.

3、2常用对数与自然对数

以10为底的对数称常用对数，logioN记作IgN;以无理数e(e=2.71828…)为底的对数称自

然对数，log,N,记作InN。

3、3对数的运算性质：

1)真数N为正数(负数和零无对数);2)logn1=0;

3)logua=1;4)对数恒等式：4唾，'=N.

如果a>0,a*0,M>0,N>0,贝ij

0log“(MN)=log4M+logflN;

M

2)log”—=loguM-log.N;

3)log”Mn=nlog”M(〃€R).

logN

3、4换底公式：log“N=——(a>0,aH0,m〉0,/nW1,N>0),

log,”a

几

1)log„b-log,,a=1;2)logb"=—logb