高中数学必修一第二章《一元二次函数函数、方程和不等式》解答题提高训练 (22)(含答案解析)

必修一第二章《一元二次函数函数'方程和不等式》解答题专题提高

训练(22)

1.(1)已知x>0,J>0,x+2y=8,求呼的最大值：

(2)已知常数〃>0,人>0和变量x>o,y>o满足。+人=10,-+-=1,1+y的最小值为18,

xy

求a,b的值.

4

2.(1)当x>3时，求y="+--^的最小值；

x-3

(2)当x>0时，求y=>+3x+6的最小值.

X+1

3.求下列方程组的解集：

3x+y+z=3

(1)<2x-y+2z=-4；

x-3y-5z=5

x+y=5

(2)

x2-y2=-5

2x-y-l=0

(3)

x2+2y2=3

4.已知命题。：实数x满足d-3ar+勿2<0(。>0),命题q：实数x满足2a—3<x<a+5.

(1)当a=l时，若P人9为假，PF为真,求实数x的取值范围；

(2)若P是4的必要不充分条件，求实数。的取值范围.

5.已知“为非零实数.

2

(1)若。>0,比较。与一的大小；

a

(2)求关于x的不等式依2_(“2+2卜+2420的解集

6.定义区间卜4〃］的长度为〃-机，已知函数=f+1的定义域为区间［”,可，值域为区间［1,10］,

求区间［〃,司长度的最大值和最小值.

7.若小(。+孙则就十七小

(1)若存在常数〃，使得不等式不4+—14M4一先+二二对任意正数。，〃恒成立，试求

2〃+ba+2ba+2。2a+b

常数用的值，并证明不等式：+

a+2b2a+b

(2)证明不等式：——+-b—<——+-b-

3a+2b2a+3h2a+3h3a+2b

8.建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比

值不小于10%,并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.现欲在原设计方案的基础上，同时增加

住宅的窗户面积和地板面积.

(1)若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件是变好了还是变差了？

(2)无论原设计方案中窗户面积和地板面积是多大，增加的窗户面积和地板面积的比值为多少时,

住宅的采光条件必定会变差？

9.解关于x的不等式：x2-(3a-l)x+2a2-2«>0.

10.已知二次函数/(》)=/+痛一6(加>0)的两个零点为占和%,且%-%=5.

(1)求函数的解析式；

(2)解关于x的不等式〃x)<4-2x.

11.解关于x的不等式：(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)<0.

12.已知关于X的不等式以2—x+1-440.

(1)当时，解关于X的不等式；

(2)当24x43时，不等式奴2_》+]_440恒成立，求实数a的取值范围.

13.求下列不等式的解集：

(1)—X2+8x-3>0:

(3)(x-2)(l-3x)<2.

14.用十字相乘法分解因式:

(1)V+7X+12；

(2)3X2+7X-6；

(3)2x2-xy-3yh

(4)x34y4-3x2y2-4.

15.已知等式"2+/一2"+2y-3k=0.

(I)若％=1,请写出一组满足等式(x,y)的值；

(2)若对任意的实数*,等式恒成立，求所有实数对(x,y)的集合.

16.设〃，/?均为正数，2eR.

(1)若(〃+〃)(6+折)2，时恒成立，求1的最大值;

(2)若a+b=2ab,求/十6?的最小值.

17.设函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(tz0).

(1)若6=-。一3,求不等式〃x)<Tx+2的解集；

(2)若/(1)=4,b>-\,求」+粤的最小值.

|a|o+l

18.已知y=-/+2x+2.

(1)xwR不等式y<。恒成立，求实数兀的取值范围.

(2)当2=0,对任意XG[0,2],m>n>0,都有机？-〃2/(X)—2GH〃+4〃2-2a/>0恒成立，求实

数“的取值范围.

19.已知关于x的不等式：kx2-2kx-x+2>0.

(1)当k=2时解不等式Ax*—2Ax—x+2>,一2|；

(2)当"wR时解不等式.

20.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量(千辆/小时)与汽车的平

均速度-(千米/小时)之间的函数关系为：尸,

(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(保留分数形

式)

(2)若要求在该时段内车流量超过10(千辆/小时)，则汽车的平均速度应在什么范围内？

21.已知关于x的不等式的解集是

(1)若。=3,求解集M；

(2)若河=昆。<2]解关于x的不等式卢7>1.

I2J2x-\

22.已知关于x的不等式依2+(a-2)x-2N0,awR.

(1)已知不等式的解集为求实数”的值；

(2)若不等式依2+(。-2)》一222寸—3对xeR恒成立，求实数〃的取值范围；

(3)解关于x的不等式依?+(a-2)龙-220

23.已知二次函数"X)=G?+次+c.

(1)若/(x)>0的解集为卜|-3<x<4},解关于x的不等式加+2or-(c+36)<0.

(2)若对任意xeR,〃x)±0恒成立，求上的最大值.

a+c

(3)已知匕=4,a>c,若/(x)ZO对于一切实数x恒成立，并且存在与eR,使得展+bx°+c=O

成立，求竺二+J6*2的最小值.

2a-c

24.(1)己知。，匕都是正实数，ab=a+b+S9求必的最小值；

JC?+2v2+8

(2)已知正实数丸丫满足x+y=【，求———的最小值.

*y

25.已知二次函数"x)=2x2-(4-2k)x+；.

(1)若存在%使/(力<()成立，求火的取值范围；

(2)当无=0时，求在区间［24,4+1］上的最小值.

26.解下列不等式并写出解集

(1)-2x2+3x+9>0:

(2)

5+x

.解关于X的不等式：字

2x-3

28.为了让同学们吃上热腾腾的饭菜，重庆鲁能巴蜀中学食堂花费5万元购进了一套蒸汽保温设备,

该设备每年的管理费是4500元，使用x年时，总的维修费用为若/万元，问:

(1)设平均费用为y万元，写出y关于尤的表达式；(平均费用二笠等)

年限

(2)这套设备最多使用多少年报废合适？(即使用多少年的平均费用最少)

29.(1)比较/与丁―1+1的大小;

(2)已知且。+b+c=0,

①求证：—>T--.

a-cb-c

②求£的取值范围.

a

113

30.已知正实数。，人满足_-+—=1,求证：a+b>-.

2a+bb+\2

【答案与解析】

1.(1)8：(2)。=2,。=8或。=8,〃=2.

【解析】

(1)根据x>0,y>°,x+2y=8,由肛=gr2y,利用基本不等式求解；

(2)根据x>0,y>o,-+-=i,利用“1”的代换，由基本不等式求得其最小值，再由x+y的最

xy

小值为18求解.

⑴因为x>0,y>0,x+2y=8,

所以旬=%2y4产三：=8,

当且仅当x=2y=4时，等号成立，

所以孙的最大值是8：

(2)因为。>0,b>0和变量x>0,y>0满足。+8=10,—+—=1,

xy

所以x+y=(x+y)—+—=a+b+—+—>a+h+2/—•—>a+b+2y[ah,

"4y'xy

当且仅当竺二竺时、等号成立，

又因为太+y的最小值为18,

所以。+0+2A/^=18,

因为〃+b=10,

解得而二16,

所以〃，人是方程X2-10X+16=0的两个根，

解得〃=2,匕=8或。=8,8=2.

2.(1)7；(2)5.

【解析】

4

(1)原函数可化为y=x-3+—-+3,然后利用基本不等式求最小值；

x-3

,4

(2)原函数可化为y=x+1+T+1,然后利用基本不等式求最小值.

x+1

(1)y=x—3d----+322^(x-3),—~+3=7,

4

当且仅当工-3='时、等号成立，即x=5.

x-3

J+X)+(2X+2)+4*2+J_,

x+lx+l

44

=(X+1)H-----F1之2」(工+1)------F1=5

'7x+1vX+1

4

当且仅当x+l=—7时，等号成立，即x=l.

3.⑴{(1,2,-2)}；(2){(2,3)}；(3)[(1,1),(-",-日

【解析】

（1）中由第一个式子可得z=3-3x-y代入第二个、第三个式子，再作差求解即可;

（2）中由第一个式子可得y=5-x代入第二个式子求解即可；

（3）由第一个式子可得y=2x-l代入第二个式子求解即可.

（1）由第一个式子可得z=3-3x-y

代入第二个、第三个式子可得：

8尤+6y-20=0

两个式子作差可得y=2,x=i

8x+y-10=0

代入z=3-3x-y可得z=-2

故方程组的解集为｛（1,2,-2）｝

（2）由第一个式子可得y=5-x

代入第二个式子可得产-（5-4=-5

解得x=3

代入y=5-x,可得y=2

故方程组的解集为｛（2,3）｝

（3）由第一个式子可得y=2x7

代入第二个式子可得x2+2（2X-1）2=3

即9f_8x-l=0

1

解得=1,X,9-

代入y=2x-i可得％=1,%=-不

故方程组的解集为«1,1){-§,-;力

4.(1){x[T<x41或2Mx<6}；(2)[5,+oo).

【解析】

(1)先求解两个不等式，因为。八q为假，pvq为真,所以。，q一真一假，分类讨论即得解；

(2)转化P是。的必要不充分条件为、。用，分N=0,NW0两种情况讨论即可.

(1)当。=1时，不等式V—3x+2<0的解集为：

AXBX

A={x[l<x<2},dKA={|>2J；<1)

2a-3<x<a+5的解集为：

8={x|-l<x<6},dRB={x|x>6ngx<-l)

因为。人q为假，pvg为真，所以乙<7—真一假，

当P真4假时，4c&B)=0,

当P假夕真时，(aA)nB={x|T<xMl或2Mx<6},

综上可知，实数x的取值范围是{x|-l<x41或2Wx<6}.

(2)命题P对应的集合为〃={x|x3-3aY+2«2<0(">0)}={布<犬<2〃},

命题4对应的集合为N={x|2a-3cxea+5},

因为"是4的必要不充分条件，所以N。"，

当N=0时，2a-324+5,解得a28；

2。一3<。+5

当NH0时，'2a-3>a,且24?—3=。与a+5=2a不同时成立

a+5<2a

解得5<a<8,

综上可知，实数。的取值范围为[5,小).

5.(1)答案见解析；(2)答案见解析.

【解析】

(1)先通过作差法对式子进行变形，因式分解，进而讨论。的范围，最后比较出大小；

(2)对不等式因式分解，进而解出对应方程的根，然后讨论a的范围，比较根的大小关系，进而

求出不等式的解集.

(1)a2/2-2_("+础〃-及).

aaa

29

当a=&时，a一一=0,则。=一；

aa

2?

当4〉41时，a-->0，则4〉一；

aa

22

当0<〃<&时，a—<0,则。<一.

aa

2

22

(2)^ax-(^+2)x+2a=(<ax-2)(x-a)=0f得玉=%x,=—.

7a

2(2~l

当a〉近时，一，原不等式的解集为-°°，-u［a,+8)；

aI。」

当〃=&时，。=4，恒成立，原不等式的解集为R；

a

当0<a<应时，a<|,原不等式的解集为(-<»，"］口

2「2一

当-血V4<0时，。>一,原不等式的解集为一，〃；

a\.aJ

当“=_&时，a=j，原不等式的解集为卜&};

7r2~

当a<-0时，«<-，原不等式的解集为〃，-.

aL。」

6.最大值为6,最小值为3.

【解析】

可令y=i,解得x=0,令y=10,可得x=±3,结合二次函数性质，及区间的长度，即可得到结论.

因为V+121,当且仅当x=0时等号成立，所以Oe［a,A］,即“W0W6.

又由题意/+1<1(),即Ym9,即凶43,即-3MXV3.

可知a=-3和b=3至少有一个成立.

所以当［”,句=［-3,3］时，满足题意，且区间长度最大为6；

当［〃句=［-3,0］或［。例=［0,3］时，满足题意，且区间长度最小为3.

所以区间［凡句长度的最大值为6,最小值为3.

2

7.(1)M=-,证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)令。=匕即可求解M,利用不等式性质即可证明不等式；(2)从原不等式入手，对原不等式变形,

通过分类讨论。与6之间的大小关系即可证明.

222

证明：(1)当a=b时，故

ab_(a+2b)-2b(2。+b)-2abab2

由=2-2(-------1------)，且------1------4一,

a+2h2a+ha+2h2a+ba+2h2a+h2a+ha+2h3

2b

利用不等式性质可得,六石五+药

abb

(2)欲证-------1-------w-------1-------,

3a+2b2a+3h2a+3h3a+2b

bb,即号，悬，

只需证明----------------<----------------

3a+2b3a+2b2。+3b2a+3b

①当时，显然不等式卢卢占成立，

3a+2h2a+3b

ft—bft-b

②当标人时，不妨令a>b,即a—b>0,<--o3a+2b>2a+3h9

3a+2h2a+3h

由于a>6,显然3a+2Z?22a+3Z?成立,

ah.ah4、

故原不等式-——+-一■—<-——+-——成立;

3a+2/72a+3b2a+3b3a+2b

b/ab

同理，当时，原不等式...-+----<-------+----也成立.

3a+262a+3b2a+3b3a+2b

ab,ah

综上所述，对于任意a,Z>e(0+oo),----+-------<-------+----均成立.

3a+2b2a+3b2a+3b3a+2b

8.(1)变好了：(2)小于0.1.

【解析】

设窗户面积为。，地板面积为b,由题意知，。」琮"

(1)设增加的窗户面积和地板面积均为(>0),利用作差法比较署签的大小即可得出结论;

(2)设增加的窗户面积和地板面积分别为优和〃(以〃>0),要使住宅的采光条件必定会变差，需

满足产-?<0恒成立，即竺恒成立，根据:的范围即可得解.

b+nbnbb

解：设窗户面积为a,地板面积为由题意知‘

(1)设增加的窗户面积和地板面积均为>0),则

a+ta_h(a+t)-a(h+t)_(b-a)t

~b+t~~bb(b+t)'

因为所以需故黑嗫

因此，住宅的采光条件变好了.

(2)设增加的窗户面积和地板面积分别为加和〃(根则

a+maO(a+w)-a(Z?+〃)bm-an

人+〃bb(b+n)〃(/?+〃)，

要使住宅的采光条件必定会变差，需满足等-1<0恒成立，

即bm-an<0,亦即生<，恒成立.

nb

因为0.14/<1,所以‘<0.1,

bn

即增加的窗户面积和地板面积的比值小于0.1时，住宅的采光条件必定会变差.

9.见解析

【解析】

根据条件得[x-(〃T)](x-2a)>0,讨论4-1与2a的大小，求解即可.

原不等式可化为[x-(〃-l)](x-2a)>0,

讨论与2a的大小.

(1)当a-l>2a,即"-I时，不等式的解为｛x[x)a-l或x<2a｝；

(2)当a—l=2a,即a=-1时,不等式的解为｛xeR|xw-2｝；

(3)当a-l<2a,即a>-1时，不等式的解为｛x|x〉2o或x<〃-1｝.

综上：当时，不等式的解为｛x|x"-1或x<2a｝；当a=—1时，不等式的解为｛XWR|XH-2｝；

当。>-1时，不等式的解为屏㈤2a或

10.(1)/(X)=X2+X-6；(2)｛x|-5<x<2｝.

【解析】

(1)利用根与系数的关系，由占-马=5求出m=l,即可得到函数/(x)的解析式；

(2)把原不等式转化为V+3x-10<0,即可解得.

(1)由题意得：关于x的方程f+〃ir-6=0(加>0)的两个根为王和马，

X,+=一m,

由根与系数的关系得I-

XjX2=-6,

2

故一司)’=(玉+W)2-4XjX2=m+24=25,

故加2=1.\*/n>0,"z=l,

故/(x)=f+x—6.

(2)由/(x)<4—2x得x?+x—6<4-2x,

即X2+3X-10<0,

BP(x+5)(x-2)<0,

解得-5<x<2,

故原不等式的解集是{x|-5<x<2}.

11.{x[l<x<2或3cx<4}

【解析】

根据题意，结合穿针引线法画图，即可求解.

/(x)=(x-l)(x-2)(x-3)(x-4),分析各个因式的符号,画图如下:

结合图像可知，原不等式的解集为{x[l<x<2或3<x<4}.

12.(1)0<"；时，不等式的解集为卜14x411；a时，不等式的解集为{中=1};

时，不等式的解集为卜宁4》41;(2)a<^.

【解析】

(1)首先不等式，因式分解后，讨论。的取值，解不等式；

(2)将不等式参变分离，转化为求函数y=一二的最小值，求实数。的取值范围.

X+1

解：(1)不等式以2_》+]一出0可化为。-1)(以+。-1),,0,

当”>0时，不等式化为

①0<"(时，—>1,解不等式得掇k—,

2aa

11—a

②。=不时，一=1,解不等式得％=1,

2a

③a>[时，-——<1,解不等式得-~~^领k1.

2aa

综上，0<a《时，不等式的解集为卜忖宁),

a=]时，不等式的解集为3x=U，

a>g时，不等式的解集为卜|宁都|v11.

(2)由题意不等式依2-x+l-n,,0化为。(/-1),,犬-1,

当xe[2,3]时，X-1€[1,2],且x+le[3,4],

所以原不等式可化为斯一二恒成立，

设y=—1，xe[2,3],则》的最小值为!，

X4-14

所以。的取值范围是。

4

13.(1)|x|4-V13<x<4+Vi31；(2)jx|—；(3)｛小<1或

【解析】

(1)不等式可化为f-8x+3<0,求出对应方程的根，数形结合即可求解；

(2)不等式可化为(x-l)(2x+l)<0,求出对应方程的根，数形结合即可求解；

(3)不等式可化为3/-7x+4>0,求出对应方程的根，数形结合即可求解;

(1)不等式可化为d—8x+3<0,因为A=64-4x3=52>0,

方程Y-8x+3=O有两个不等实根，X|-4+413

所以不等式的解集为卜卜-/<x<4+后);

(2)不等式可化为(xT)(2x+l)<0,

方程(x-I)(2x+l)=。的两个根为jq=-g,x2=l,

所以不等式的解集为

(3)不等式可化为3f-7x+4>0,BP(3x-4)(x-l)>0,

4

方程(31一4)。-1)=0的两个根为$=1,x2=p

所以不等式的解集为｛x|x<l或

14.(1)(x+3)(x+4)；(2)(x+3)(3x-2)；(3)(x+y)(2x-3j)；(4)(xy+2)(xy-2)^x2y2

【解析】

由十字相乘法即得.

(1)X2+7X+12=(X+3)(X+4)；

(2)3x?+7尢—6=(x+3)(3x-2)；

(3)2x2-xy-3y2=(x+y)(2x-3y)；

(4)x4y4-3x2y2-4=，y2-4)(犬2>2+］)=(砂+2)(D一2)卜2,2+］)

15.(1)(0,1),(2,1)(答案不唯一)；(2){(3,0),(3-2),(-1,0),(-1,-2)}.

【解析】

(1)由题得y取区间［-1-6,T+石］内的任意一个值时，都可以求得相应的x值，即得解;

r2_?r-3=0

(2)解方程组2c即得解.

y2+2y=A0

(1)答案不唯一，左=1时，x2+y2-2x+2y-3=0,

所以(X-1>+()，+1)2=5,

所以y的取值范围为

当)'取区间-6,T+6］内的任意一个值时，都可以求得相应的x值.

例如，当y=l时,x=0或2,因此，(0,1),(2,1)都满足等式.

(2)由题得％(Y-2x-3)+y2+2y=0对于对任意的实数火，等式恒成立，

X2-2X-3=0x=3\x=3X=-l

所以，,所以

y2+2y=0y=0'[y=_2'[y=0'y=_2

所以所有实数对(x,y)的集合为{(3,0),(3,-2),(7,0),(-1,-2)}.

16.(1)8；(2)2.

【解析】

(1)分离常数结合基本不等式求得X的取值范围.

(2)利用基本不等式，首先求得时.」，由此求得/+尸的最小值.

(1)由题设可得：人,(”以八+后,

ab

...J+加(&+刷2向2而t=g,当且仅当q=匕时等号成立，

abab

・•.4,8,.•.4的最大值为8；

(2),/67>0,b>0,:.a+b=lab..2y[ab,

y/cibfS=>ah1,当且仅当a=5=l时等号成立，

a2+h2..lab>2,当且仅当a=6=1时等号成立.

二./+从的最小值为2.

3

17.(1)答案不唯一，具体见解析：(2)4-

【解析】

(1)化简/(x)<Tx+2,对“进行分类讨论，由此求得不等式的解集.

(2)结合基本不等式以及对。分类讨论，由此求得L+空的最小值.

(1)由题意可得/0)vYx+2,即为ar2―(a+i)x+ivo,

即(x-l)(ax-l)<0,

当〃<0时，1>0〉,，由。一1)。一,)>(),解得x>l或

aaa

当a=l时，(x-1)2<0,可得了w0；

当a>l时，1〉,，由。一1)(工一_1)<0,解得

aaa

当0<。<1时，1<一,由(x—l)(x—)<0,解得l<x<一,

aaa

综上可得，av()时，解集为*|x>l或％<，｝;0<〃<1时，解集为｛式

aa

时，解集为0;时，解集为Hl'cvl｝;

a

(2)由/⑴=4,b>-\,可得a+Z?+l=4,b+l>0,

可得_L+@="J皿=皿+”1+*N2叵亘+，=i+j

b+\41alb+\b+\41al41al丫8+14|〃|41al41al

当a>0时，1+才%=l+(=(，可得(~j+黑"的最小值为'，当且仅当a=g，力="|时等号成立；

当avO时，"A片=1-;=；，可得L+"!的最小值为,，当且仅当。=-4,Z?=7时等号成立.

4|。|44\a|b+14

所以！+的最小值为1.

\a\b+i4

18.(1)2<-1；(2)a<l

【解析】

(1)转化为-f+2x+/l<0恒成立，即可得解；

(2)转化为/12一2〃2%+〃一2卬初7+4〃2一2卬22>()对任意工£[0,2],机之〃>0恒成立，求出最值结

合分离参数方法求解.

(1)XER不等式/(x)<0恒成立，—f+Zx+zlvO恒成立，

所以Aud+d4vO,

2<-1；

(2)当4=0,对任意xe[0,2],m>n>Q,都有>一〃"(龙)一2。根〃+—2。〃？>0恒成立,

2

即AT?_〃2+2%)-2amn+4/-2aH>0,

n2x2—2n2x4-tv1—2anm+4n2-2an2>0对任意x£〔。,2],加2〃>0怛成立，

8(%)=〃2%2—2〃21+62-24/府+4〃2_勿〃2是开口向上的二次函数，对称轴为1=1,

g(x)n】in=g(1)="2—2n2+/n2-20nm+4n2-2arr>0艮|J可，

所以24(/%〃+叫<〃，+37,

"Y+3

2〃<〃/3〃：=〔〃广,,令』+N/22,

mn+〃~生+]n

n

则㈡m=t+：222旧一2=2,当f=2时取得等号，

所以2。v2,avl

19.(1)卜|x<0或x>2｝；(2)见解析

【解析】

(1)对x分类讨论即可得解；

(2)对女分类讨论解二次不等式，即可得解.

(1)当k=2时，不等式-2Ax-x+2>卜-2|,

即2x~-5x+2>|x—2|,

(2x-l)(x-2)>|x-2|

当x=2时，不等式不成立；

当x>2时，2%-1>1,解得x>l,所以x>2；

当x<2时，(2x-l)(x-2)>-(x-2),2x-1<-1解得x<0,所以x<0；

综上：卜|x<0或x>2｝；

(2)kx2-2kx-x+2>0,(Ax-l)(x-2)>0

当％=0时，x€(e,2),

当k<0时，xer2?

(-oo,2)ufp+<»j,

当时，xe

2

当Z，时，xw(F/JUR+OO).

2

335

20.(1)在该时段内，当汽车的平均速度为30千米〃卜时时，车流量最大，最大车流量为工「千辆/

小时；(2)(20,45).

【解析】

(1)利用均值不等式进行求解即可；

(2)得到不等式赤>10,解分式不等式即可.

v+2v+900

670v670,670335

V=------------=-----------<-------=----Qf)f)

(1)V2+2V+900”*900一厂前31,当且仅当丫=——，即v=30时，等号成

U++22.V----+2V

nVv

立；

在该时段内，当汽车的平均速度为30千米/小时时，车流量最大，最大车流量为篝千辆/小时；

(2)因为要求在该时段内车流量超过10(千辆/小时)，即,二”>10,即0>/-65v+900,

V+2V+900

因此20<v<45,汽车的平均速度应在(20,45).

21.(1)/=(―8,—2)；(2){x［；<x<；}

【解析】

(1)解不等式(3x-l)(x+2)>0即可得解:

(2)根据M=[x[g<x<2｝求出”=-2,解分式不等式即可.

(1)若a=3,3x?+5x-2>0即(3x-l)(x+2)>0,所以xw(-8,-2)U，,+8

所以M=(-8,-2川(；,+8)；

(2)若河=卜(<光<2卜44+10-2=0,所以°=-2,

-2x—2.x—2,x+1

不等式事>1即>1,>0,

ZX-12x-l2x-l

等价于(2x—l)(4x—1)<0,

所以不等式的解集为*l；<x<g}.

22.(1)a=l；(2)[2,6]；(3)答案见解析.

【解析】

(I)根据给定条件得-1,2是方程如2+(。-2卜-2=0的两根即可计算作答；

(2)将所给不等式等价变形，利用二次型不等式在R上恒成立分类求解即得；

(3)按不等式类型及二次项系数正负分类解含参数的不等式即可.

(1)依题意，一1,2是方程依2+(4-2卜一2=0的两根(a>0),于是有-1+2=.，-1x2=--,

aa

解得a=1

所以实数。的值为1;

(2)不等式+(〃—2)x—222x?—3对R恒成立，即为(a—2)f+(〃-2)x+l20恒成立，

当〃=2时，120恒成立，贝ija=2,

当。工2时，一元二次不等式(a-2)x2+(a-2.+lN。在R上恒成立，则必有

a-2>0

'A=(a-2)2-4(a-2)<0,解得2<a46,

综上得，2<a<6,

所以实数”的取值范围是[2,6]；

(3)不等式62+(a-2)x-2N0化为：即有(ax-2)(x+l)N0,

①当a=0时,原不等式为-2(X+1)20,解得xWT；

②当a>0时，原不等式化为*—W)(x+l)20,->-1,解得或尤4-1,

aaa

③当a<0时，原不等式化为(X-2](X+1)40,当2>-],即。<—2时，解原不等式得：-IWxwZ,

\a)aa

当*2=-1,即。二一2时,解原不等式得：了二一1,当24<-1,即一2<。<0时，解原不等式得：2*WxW-1,

aaa

综上所述：当。<-2时，原不等式的解集为-1,-,

_a_

当a=-2时，原不等式的解集为{-1},

当-2<a<0时，原不等式的解集为-,-1,

a

当。=0时，原不等式的解集为(3,-1],

当a>0时，原不等式的解集为(7,T]ujy]

23.(1)(-3,5)；(2)最大值为1；(3)8.

【解析】

(1)利用/。)>0的解集为{x|-3<x<4},得出“，b,c的关系，再解关于x的不等式

bx2+2ax一(c+3b)<0；

(2)对任意次£R,/(力之0恒成立，等价于△=/一4改40,且。>0,借助均值不等式可得最大

值；

(3)由对于一切实数x恒成立，可得匕人…，由存在使得国+如,+c=0

成立可得△=16-WcN0,结合均值不等式得到结果.

解：(1):加+加+c>0的解集为{R-3v%v4},

b

*'•tz<0»—3+4=—,—3x4=c—b=—a,c——12a(a<0),

aa

b£+2ur-(c+3b)vOo-加+2or+15。v0(av0)0X2—2x-15<0,

・・・解集为(-3,5),

(2)・・•对任意xwR,y20恒成立，

AA=Z?2-4OC<0,且a>0

•**b2<4ac,c>0,

故-2\/ac<b<2\[ac,

...上=1,当c=a,b=2a时取“=”,

a+ca+ca+c

•••一丝的最大值为1;

a+c

a>0

(3)由“x)NO对于一切实数，恒成立，可得

A=16—4ac<0

a>0

即

ac>4"

由存在玉)cR,使得avj+〃/+。=0成立可得A=16—々zcNO,

A=16—44=0,

/.ac=4,又a>c,

4a2+c2_(2«-C)2+16242a-c)2.l6

2a—c2a-c2a—c

当且仅当2a-c=4时“=”成立.

24.(1)最小值为16；(2)最小值为19.

【解析】

(1)利用“+匕22而把已知条件转化为“。-2至一8±0,令t=8i>,解不等式z2-2r-8>0,

即可求出他的最小值为16.

(2)由土」士+上」上=x+y+±+±,利用基本不等式中“1的代换”即可求出最小值.

xyxy

(1)因为。，匕都是正实数，

所以=a+/?+822V^F+8,BPab-2\[ab-8>0,当且仅当。=b时，等号成立，

令1=%,1N2&，则/一2,一8N0,解得1N4,即必之4,ab>\6,

故必的最小值为16.

(2)・.,正实数九y满足x+y=l,

.X2+2V2+828

,・-------+-------=x+y+—+—

xyxy

J28：、

=1+—+—(x+y)

5y)

=11+^+—>11+2=19

xyxy

当且仅当§=,，即尤=；,y=|■时取等号,

X?+2y~+8,,,

-----+~—的最M小值为19.

1y

8cz2-8tz+—,—<tz<l

22

3八1

25.(1)(U)；(2)〃x)m,——，0<a<一

n22

2c1—,%0

2

【解析】

(1)由题意，根据/<0即可求解；

(2)由题意2a<a+l,即a<l,再根据对称轴与区间的三种位置关系分情况讨论即可求解.

解：(1)因为存在X使/(x)<0成立，

所以△=(4-2%)2—4x2xg<0,解得1<么<3,

所以k的取值范围为(1,3)；

(2)由题可知：即。<1.

•.•当左=0时,，f(x)=2f一4x+g,其图象开口向上，对称轴％=1,下面分类讨论：

(i)当L,2o,即:4a<1时，y=/(x)在区间上为增函数，

则有了"L=f(2a)=&『-8a+g；

(ii)当勿<l<a+l,即0<。<；时，y=/(x)在区间［2刈上为减函数，在上为增函数，则有

3

(iii)当a+L,l即4,0时，y=/(x)在区间上为减函数，

则有/(4正=/(。+1)=2/-|・

8o2-8i7+-,-<a<l

22

3八1

综上，〃力M—,0<。v—

1n22

3

—0

2

26.(1),'fa)；⑵

【解析】

(D原不等式等价于2/-3x-9<0,即有(x-3)(2x+3)<0,由此可求得原不等式的解集;

(2)原不等式等价于'一“一(5+"n0,即有手由此可求得不等式的解集.

5+x5+x

解：(1)由-2Y+3x+9>0得2/-3%一9<0,即(x-3)(2x+3)<0,解得-|<x<3,

故不等式一2V+3x+9>0的解集为'■|，3)；

(2)由〜4］得(8"-(5+X)N0,即三圆：NO,也即为"二

5+尤5+x5+x5+x

，号”卜。,解得一5K|,

故不等式手21的解集为1-5,［.

5+xI2J

27.分类讨论，答案见详解

【解析】

转化"二?410[3-2)x+3-2a](2x-3)40且XX。，按照是否为二次，以及开口方向分4=2,

2x-32

a>2,。<2三种情况讨论，其中。<2时，再按照两根大小关系分为4=。,">0，”<0三种情况讨论

即得解

a(x-2)_a(x-2),_(a-2)x+3-2a

由题意,---------------S1<=>------------------ISO<=>-------------------------------<0

2x—32x—32x—3

3

<x>[(a-2)x+3-2a](2x-3)<0目xw士

2

33

(1)当a=2时，-(2X-3)40且

22

故不等式的解集为：｛x|x>｝

(2)当。>2时，令[(〃-2)x+3—2。](2X-3)=0芭=———,x=—