高中数学必修二第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题 (22)(含解析)

第八章第4节《空间点'直线'平面之间的位置关系》解答题(22)

1.在直三棱柱ABC-4/1G中，AB=AC=1,zBAC=90°,且异面直线与当口所成的角等于

(1)求“的值;

(2)求平面&BG与平面BiBQ所成的锐二面角的大小.

2.如图所示，四边形A3EF和ABCD都是直角梯形，^BAD=AFAB=90°,BC平行且等于“D,

8E平行且等于:凡4,G,H分别为FA,FD的中点

(1)证明：四边形BC”G是平行四边形

(2)C,D,F,E四点是否共面？为什么？

3.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABC。为矩形.SAABCD,E,F分别为AO,SC的中点,

E尸与平面ABC。所成的角为45。.

(1)证明：EF为异面直线A。与SC的公垂线;

(2)若EF=^BC,求二面角B-SC-D的余弦值.

4.如图，已知三棱柱ABC-AiBiG中，A4i1底面=90。,=1,AB=遍，AC=2.E,

F分别为棱CC],BC的中点.

(1)求异面直线EF与所成角的大小；

(2)若G为线段4&的中点，试在图中作出过E、F、G三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求

出以该多边形为底，4为顶点的棱锥的体积.

5.如图，在四棱锥P-ABCD中，「。1平面48<7。，PD=2,DC=

BC=1,AB=2,AB//DC,/.BCD=90°.

(/)求证：AD1PB；

(2)求A点到平面BPC的距离.

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD，底面ABC。，底面ABC。为正方形，PD=DC,E,F分别是

AB,PB的中点.

(1)求证：EFlCD；

(2)在平面PAZ)内求一点G,使GF1平面PCB,并证明你的结论.

7.如图所示，在长方形48CD中，AB=2,AD=1,E为CD的中点，以AE为折痕，把△ZME折

起到团DZE的位置，且平面1平面ABCE.

(1)求证：AD'1BE；

(2)求四棱锥D'-4BCE的体积.

8.如图所示，在三棱柱ABC-&B1C1中，ZiABC为等边三角形,NBABi=^BBrA,ABt0ArB=0,

CO1平面。是线段41cl上靠近4的三等分点.

(1)求证：AB144i；

(2)求直线0D与平面44CC1所成角的正弦值.

9.(1)已知某圆柱的体积为3兀，侧面积为6兀，求该圆柱的高与表面积；(2)

如图，“与k，，2分别交于A，B两点，〃与，I，，2分别交于C,

。两点，EC4。证明：A,B,C,D,E五点共面.

10.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且4G=2GE.

(1)试用向量瓦?，丽,正表示向量出；

(2)若04=2,OB=3,OC=4,Z.AOC=^BOC=60°,求成•亚的值.

11.如图，在多面体A8CDE中，AC和80交于一点，除EC以外的其余各棱长均为2.

(I)求证：BD1CE^

(II)若平面4DE，平面ABE,求多面体ABCDE的体积.

12.如图，三角形PAB是半圆锥尸0的一个轴截面，P0=1,AB=2,四棱锥P-4BCD的底面为

正方形，且与半圆锥尸0的底面共面.

(1)若H为半圆锥P0的底面半圆周上的一点，且BH〃0C,证明：AH1PC；

(2)在半圆锥P0的底面半圆周上确定点G的位置，使母线尸G与平面PC。所成角的正弦值为平.

13.如图，在空间四边形0ABe中，已知E是线段的中点，G在AE上，且4G=2GE.

c

(1)试用向量办，0B＜左表示向量8；；

(2)若。4=2,0B=3,0C=4,AAOC=^BOC=60°,求左.几的值.

14.如图，在多面体PABC。中，平面ABC。_L平面PAD,AD//BC,NBAC=90°,APAD=120°,

BC=1,AB=AD=PA=2.

(1)求多面体PA8C。的体积；

(2)已知E是棱P8的中点，在棱8是否存在点F使得E/7/P0,若存在，请确定点尸的位置;

若不存在，请说明理由.

15.如图，在正方体4BCD-48传道1中，E,F,G,怪分别为的中点.

AFB

(1)在正方体ABC。-必当的。1中哪些棱所在的直线与直线是异面直线；

(2)分别求异面直线EF与GH,EF与CG所成的角.

16.如图，在多面体尸48。。中，平面48。。上平面以。,4。〃8。，/84。=90°,Z.PAD=120。,

BC=1,AB=AD=PA=2.

(1)求多面体PA8C。的体积；

(2)已知E是棱P8的中点，在棱8是否存在点F使得E/7/P0,若存在，请确定点尸的位置;

若不存在，请说明理由.

17.在长方体4BCD-A/165中，E是矩形BCC/i的中心，F是矩形4。。送1的中心,连接AE,BrF,

求证：AE与aF是异面直线.

18.如图,在正方体力BCD-AiBiQDi中，点M,N分别是公当，81cl的中点.求证:

(1)4M和CW共面；

(2)。/和CCi是异面直线.

19.如图所示，三棱锥P-4BC中，P41平面ABC,^BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的

中点.

(1)求证AE与PB是异面直线；

(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值.

20.如图，在正方体4BCD-4B1GD1中，对角线4C与平面BBC1交于点O,AC、BO交于点M,E

为AB的中点，尸为441的中点。求证：

(1)6、。、M三点共线；

(2)E、C、%、F四点共面。

【答案与解析】

1.答案：解：〃&G，•••44BC就是异面直线与当6所

即N48C=60°,

连接&C,又AB=AC,则=AtC41BC为等边三角形,

由48=AC=1,乙BAC=90°=BC=近，

2

•••AXB=\[2=>y/1+a=\[2=a=1;

(2)取的中点E,连接B]E,过E作EF_LBG于F,

连接B[F,B]E1ArB,&G1BrE=BrE_L平面&BGnB】E1Bg

又EFJ_BG，所以BG1平面BiEF,即&F1BC1，

所以NB/E就是平面&BG与平面BiBCi所成的锐二面角的平面角.

在ABiEF中，乙BiEF=90°,&E=争=瞽，sin/FE=霁=/nNB/E=60。，

因此平面418cl与平面BmCi所成的锐二面角的大小为60。.

解析：【试题解析】

本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于

基础题.

(1)将/Ci平移到BC,44BC就是异面直线与当口所成的角，在三角形48月内建立等式，解之

即可；

(2)取4$的中点E,连接过E作EF1于F,连接昆凡B，E1AtB,41cl1BXE,得到NB/E

就是平面4/G与平面/Be1所成的锐二面角的平面角，在48透尸中解出此角即可.

2.答案：⑴证明：由题意知，FG=GA,FH=HDf

/IN.

ZiX

所以GH4—D，又Be」、。，&GH&BC/!\

22QL/1\

C

所以四边形BC7/G是平行四边形.

(H)C,D,F,E四点共面.理由如下:

由G是FA的中点知，BE=GA,即有BE△GF，

所以四边形8EFG是平行四边形，

所以EF〃BG

由(I)知BG〃CH,所以EF〃CH,故EC,“共面.

又点。在直线尸”上

所以C,D,F,E四点共面.

解析：【试题解析】

(1)由已知得GH又BC野AD，散GH&BC，由此能证明四边形3C”G是平行四边形.

(口)由BEG"F，G是E4的中点知，BE'1GA,从而得到四边形8EFG是平行四边形，由此能推

导出C,D,F,E四点共面.

本题考查了平面的基本性质，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，属于基础题.

3.答案：(1)证明：如图，四棱锥S-48CD中，S4_L平面ABC。，E,尸分别为AD,SC的中点，EF

与平面A8CD所成的角为15".

由题意，AB,AD,AS两两垂直，以A为原点，AB,AD,AS所在直线为x,y,z轴建立如图所示空

间直角坐标系，

设B(a,O,0),0(0力，0),S(0,0,c),

则C(a"0),E(0,p0),F(p|,|)>

£T=(p0,|),平面ABC。的法向量为而=(0,0,c),

由EF与平面A8C£>所成的角为一5,

了.si几45。=|co«<Ep,>|=解得a=c,

AAD—(O,bf0),EF=SC=(a,b,—a),

・••而,前=0,SC-EF=09••・EF1AD，EFISC,

・・・EF为异面直线AD与SC的公垂线.

(2)解：若EF=：BC,贝噌+f/...b=V2a，

•••BC=(0,42a,0),SC=(a,\[2a,—a)»DC=(a,0,0),

设平面BSC的法向量为祠=(%i，yi，zi),

则。】=°-

+yf2y1-Zi=O'

取元=(1,0,1),

设平面DSC的法向量为沅=(%2，y2，Z2)，

叫_LF5N

取沅=(0,1,72),

.一rt、v/2瓜

006<>=—3=——==——，

y/2-瓜3

由图可知二面角B-SC-。为钝二面角，

••・二面角B-SC-。的余弦值为一退.

3

解析：此题考查直线与直线垂直的证明，考查二面角的求法，属中档题.

(1)以A为原点，AB,AD,AS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设出各点坐标，由EF

与平面A8C。所成的角为J5求出各点坐标的等量关系，再由向量法证明EF14。，EFJ.SC即可;

(2)在(1)的基础上，由EF=：BC可得各点坐标的等量关系，再求平面BSC与平面。SC的法向量,

利用向量夹角公式求解即可.

4.答案：解：(1)连接BC1，则EF为ABCCi的中位线,

故乙41BCi为所求异面直线所成的角.

又41cli41Bi，41cli4遇，且414nAiBi=&,

故4iG-L平面ABBiZi，z_GAiB=90。.Rt△中，AG=2,AIB=2.

故乙4$Ci=*故异面直线痔与4$所成角的大小为会

(2)取AB中点M,连接MF,MG,EG.

则M尸〃4C〃GE,即M、F、E、G四点共面，则EFMG为所求截面的多边形.

又G为7Ml中点，则&到平面MFEG的距离与A到平面MFEG的距离相等.

故以i-GEFM=^A-GEFM-

过A作/”_LGM于”，AH1GM,AH1GF,GMC\GE=G,

故A/H平面GMFE,又4G=；,AM=—,AH=—,GM=1,

224

则%LG"M=匕-G“M=l-UMF+GEyMG-AH=

解析：【试题解析】

本题考查了异面直线夹角以及等积法求棱锥体积，考查了转化思想，中等题.

(1)连接BG，由中位线平移可得，N48G为所求异面直线所成的角，证41G_L平面4BB1&得

=90°,在Rt△G&B中可得N&BCi=3，

(2)取AB中点M,连接MF,MG,EG.证匕LGEFM=匕-GEFM，过A作AH1GM于H,AH1GM,AH1GE,

GMnGE=G，

故AHI平面GMFE,VA^GEFM=[J(MF+GE)-MG-AH.

5.答案：解：(1)如图所示：，

在四边形ABCD中，连接BO,由DC=BC=1,48=2,乙BCD=

乙ABC=

2

在△力BC中，BD=AD=V2,乂48=2,

因此40J.B。，又PO_L平面ABCD,

•••PDLAD,又BDCPD=D,

：.AD1平面PBD,

AD1PB；

(2)在四棱锥P-4BCD中，：PO_L平面A8CD,

•••PD1BC,而BC1DC,

BCJL平面PDC,

■■■BC1PC,

*,•S〉BPC=5xBCxPC—，，而S—BC=5x力8xBC=1,

,设点4到平面PBC的距离为力，

由匕-BPC=^P-ABC可得：3XS&BPC'九=§XSHABQXPDf

,1X24A/5

・•.九二运=可，

2

即点A到平面PBC的距离为延.

5

解析：⑴利用勾股定理证得4DLBD,又PD工平面A8CZ),所以P0_L4D,从而由线面垂直的判定

定理得到40JL平面尸30,所以40J.PB；

(2)易证BC1PC,所以可求出，8pc和S-BC，再由以-BPC=VP-ABC利用等体积法即可求出点A到平

面PBC的距离.

本题主要考查了线线垂直的证明，以及等体积法求点到平面的距离，是基础题.

6.答案：(1)证明：以D4,DC,OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

如图，设力。=a.

则。(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(*,0),P(0,0,a),呜微,

二前=(一表0,2，DC=(0,a,0).

.•.FFDC=(-p0,|).(0,a,0)=0,

:.EF1DC.

(2)解：•・•GW平面尸AO,设G(%0,z),

二用=("_'一打_》

由(1)知旗=(a,0,0),CP=(0,-a,a).

由题意，要使GF1平面尸CB,

只需尸G-CB=(x—j,——^)1(a,0,0)

=a(x-])=0，

...，■，…CLCLCL

PG,CP=(x——,——,z——)•(0,—a,a)

=—+a(z--)=0，

2、2/

•••x-pz=0.

.••点G的坐标为(*0,0),即点G为AQ的中点.

解析：【试题解析】

本题考查了空间中直线与直线的位置关系、利用空间向量判定线面的垂直、平行关系的相关知识，

属于中档题.

以QA、DC,QP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设4。=a,可求出各点的坐标;

(1)求出EF和CD的方向向量，根据向量垂直的充要条件，可证得前1DC，即EF1DC;

(2)设G(x,0,z),根据线面垂直的性质，可得而•而=用•不=0，进而可求出x,z值，得到G

点的位置；

7.答案：⑴证明：根据题意可知，在长方形ABC。中，ADAE和ACBE为等腰直角三角形，

Z.DEA=乙CEB=45°,

ZAEB=90°,即BE_L4E.

•••平面D'AE_L平面ABCE,且平面D'AEn平面ABCE=HE,BEu平面4BCE,

BE_L平面C\4E,40'u平面E,.•■AD'l.BE.

(2)解取AE的中点F,连结。‘尸，则D'F_L4E.

D'

•••平面J_平面ABCE,

且平面D'AEn平面ZBCE=AE,D'Fu平面DAE,

D'F±平面ABCE,

•••^D'-ABCE=三S四边形ABCE-X|X(1+2)X1Xy=^-

解析：【试题解析】

本题考查平面与平面垂直的性质，线线垂直，三棱锥的体积公式，考查逻辑推理能力和空间想象能

力，属于中档题.

(1)由题意，在长方形ABC。中，可知BEJ.4E,根据面面垂直的性质定理可以证明AD'lBE；

(2)取AE的中点F,连接D'F,则D'FIAE,由面面垂直的性质定理可以证明D'FJ■平面48CE,从

而求出VW-ABCE-

8.答案：(1)证明：因为NB4B1=NBBi4

故AB=BB「所以四边形为菱形，

而C。J_平面4BB14,故“。A=Z.C0B=90°.

因为C0=C0,CA=CB,故AC。4三△COB,

故AO=B。，即四边形4BB14为正方形，

故481441.

(2)解：依题意，C0104CO10A1.

在正方形4遇8%中,0A110A,

故以。为原点，04,OA,OC所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的平面直角坐标系。-孙z；

不妨设=2,

则0(0,0,0),4(e,0,0),71(0,V2,0).C(0,0,V2),加(夜,一夜,我)，

又因为彷=西+1晒*,所以0(夜，一号，号).

所以布=(一鱼，鱼,0),AC=(0,-V2,V2).

设平面占4CQ的法向量为记=(x,y,z),则I布,竺1=0，

Im-AC=0.

即(-V2x+V2y=0,

(—y[2y+>/2z=0.

令％=1,则y=1,z=L于是沆=(1,1,1).

又因为而=(企,一立,立)，

设直线。。与平面4/CC1所成角为。，

则sin。=|cos标，网|=髓=祟

所以直线。。与平面4ACG所成角的正弦值为

解析：本题考查空间线面的位置关系、利用空间向量求线面的夹角，考查空间想象能力，属于中档

题.

(1)由条件可证得四边形4BB遇I为正方形，即可证得4B142；

(2)以。为原点，。&,OA,0c所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的平面直角坐标系。-盯z,

设48=2,可得中，AC，设平面&ACC1的法向量为记=(居y,z),贝立瓦.竺】=°，可得记=

Im-AC=0.

(1,1,1),设直线0。与平面44CC1所成角为0,由sin。=|cos(沆，而)|，即可求得直线。。与平面

4p4CQ所成角的正弦值.

9.答案：(1)解：设圆柱的底面半径为r,高为儿

ljli|(nr2h=3兀，

、I2nrh=6n,

解得｛r=1,

h=3.

故该圆柱的表面积为67r+2nr2=87r.

(2)证明：因为I1/%，所以，i，，2可以确定一个平面a.

因为力D&12,所以Aea,0€a,

所以力Oua,又EWA。，所以Eea.

因为CeL，Be/2，所以Cea,Bea,从而A,B,C,D,E五点都在平面a内,

即4,B,C,D,E五点共面.

解析：【试题解析】

本题考查圆柱的表面积和平面基本定理，考查逻辑推理能力，属于基础题.

(1)设圆柱的底面半径为r,高为力，则［:丁?=17r'即可求解；

I2nrn—6n,

(2)证明：因为1"/%，所以匕，已可以确定一个平面-

因为De12＜所以A6a,Dea,所以ADua,又EeAD,所以E6a.即可.

10.答案：解：(1)丫布=2在，

■.OG-OA=2(OE-OGy

3OG—2OE+OA'

又2/=丽+就,

•••OG=-OA+-OB+-OC,

333

(2)由(1)知m=^OA+|OB+|OC,

_k1__1_____,1________>

.-.OGAB=(-OA+-OB+-OC)-(OB-OA)

i>2i>2i»»1>»

=--OA+-OB^-OCOB--OCOA,

3333

又Z710C=乙BOC=60°,

・・・。。♦OB=3x4X士=6,OC•。4=4x2X2=4,

22

一一1,1,11

=--x22+-x32+-x6--x4

=一。3+2-±

333

解析：本题考查空间向量的数量积，以及空间向量的线性运算，属于中档题.

(1)直接利用空间向量的线性运算即可得解；

(2)求出赤=ga+9而+3灰，AB=OB-OA，再利用空间向量的数量积计算即得结果.

11.答案：(I)证明：取AE的中点。，连接。B、OD,

•:AB=BE,DA=DE,OB1AE,ODA.AE,又,：OBCOD=0,AEOBD,•••BDu平

ffiOBD,故AE1BO,

又•.•四边形4BCD为菱形，.♦.ACJ.BD,y."AE0AC=A,

■.BDJ_平面ACE,

又丫CEu平面ACE,•••BD1CE；

(U)解：•；平面力DE，平面ABE,DO，平面ABE,

故多面体ABCDE的体积

^E-ABCD=^E-ABD=^D-ABE=2X—X^—X2Xb)XV3=2.

解析：本题主要考查线面平行的判定、性质，线面垂直的判定、性质及多面体体积的求法.

(I)由已知添加辅助线可得4E_L平面08D,即可得BD_L平面ACE,再根据线面垂直性质即可证得

BD1CE；

(口)将UE-4BCD转化为%-4BCD=^E-ABD=^D-ABE,即可轻松求解.

12.答案：解：(1)：“为半圆锥P0的底面半圆周上的一点，・•.AHLBH.

5LBH//0C,：.AH10C.

vPOiTl®ABCD,AHu平面ABC。，PO

vPOHOC=0,：.AH1平面PCO.

PCu平面PCO,：.AH1PC.

(2)以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,1),0(1,-2,0),C(-l,-2,0),

PD=(1,-2,-1)>PC=(-1,-2,-1).

设平面PCD的法向量为元={x,y,z),

则由便,元=0,得厂2；一=0

"c•元=0I-2y-z=0

得x=0,取丫=1,则z=-2,

••・平面PCD的一个法向量为五=(0,1,-2).

•••G为半圆锥PO的底面半圆周上的一点，

可设G(cos9,sin0,0)(0<9<n},则同=(cos6,sin0,-l).

依题意，得|PGn|_sinO+2_V10

|PG||n|-V2xVs-4

解得sin。=I，cosO=±圣

.•.点G的坐标为(泉/0)或(一与,,0).

解析：【试题解析】

本题考查了直线与平面所成角及求法，直线与平面垂直的判定及性质，属于中档题.

(1)H为半圆锥P。的底面半圆周上的一点，且BH〃OC,通过证明PO_L平面ABC。，说明PO1AH利

用直线与平面垂直的判定定理证明：AH1PC；

(2)以。为原点，OA方向为x轴，0P方向为z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设出平

面PCZ)的一个法向量五，利用[里,史=°,就是母线尸G与平面PCZ)所成角的正弦值为包，求出G

的坐标即可.

13.答案：ft?：(l)-.-^G=2GE

.-.OG-OA=2(0E-OG)

1•-30G=2OE+OA

又2屁=证+元

__]_____,]__»]__,

**•0G——0A+—0B+—0C

(2)由(1)知面=海+海+萍

Ill

.--OGAB=(-0A+-OB+-0C)-(0B-OA)

1—»21—>21―，——，1―>—，

=--0A+=0B+-0C-OB--0C-OA

3333

又上AOC=乙BOC=60°

oc.OB=3x4xi=6,OCOA=4x2x-=4,

22

_,1111

22

AOG-___=--X24--X34--x6--x4

3333

=Y4+3+2-441.7

333

解析：【试题解析】

本题考查空将向量的数量枳，以及平面向量加减运算，属于基础题.

(1)直接利用平面向量加减运算即可得解；

(2)求出出=lOA+lOB+^OC,AB=OB-OA，再利用空间向量的数量积得到力•元=2x4x5

OC-Ofi=3x4x1,代入即得结果.

14.答案：解：(1)解法一：如图，作PH140交D4的延长线于”，

因为平面4BCC_L平面PAD,

平面4BC0D平面P40=AD,

且PHu平面PAD,

所以PHJL平面A8C。，

所以PH为点P到平面ABCD的距离.

因为“力。=120°,PA=2,所以PH=P4sin60°=V3

又

所以Up-ABCD=鼠PH,S四边形ABCD=&xV3x3=V3.

(2)假设棱C。上存在点凡使得EF〃PD.连接8。，取8。的中点M,

在小BPD中，

因为E,M分别为BP,BD的中点，

因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，

所以EM与EF重合.

因为点F在线段上，所以F=BDDCD,

又Bonco=D,

所以E是8。与CD的交点。，即EF就是EZ),

而ED与尸力相交，

这与E/7/PD相矛盾，

所以假设不成立，

故棱CC上不存在点尸使得EF〃PD.

解法二：(1)因为平面4BCD1平面PAD,且平面ABCCn平面24。=AD,BA1AD,BAu平面ABC。,

所以B4_L平面PAD,

依题意,S@PAD=-AD-APsinZ.PAD=|x2x2Xy=V3，

所以％-PAD=gS®pAD•AB=-xV3x2=-J-

在梯形ABC。中，由A0〃BC,40=28c知右阳。=2S0BCD,

所以4TB。=2pp_Bc。，

所以力力BCD=^P-ABD+Vp-BCD=^P-ABD~^B-PAD=]X=遮・

(2)假设棱。。上存在点凡使得EF〃PD,

显然F与点。不同,

所以P,民匕。四点共面，记该平面为a,

所以Pea,PEca,FDca,

又BGPE,CGFD,

所以BGa,CGa,

所以P,B,C,D共面于a,

这与P-ABC。为四棱锥相矛盾，

所以假设不成立，

故棱CD上不存在点F使得EF〃PD.

解析：本题考查多面体的体积计算，以及反证法证明，解题证明需理解理解反证法是解题的关键.

解法一，（1）作PH14）交D4的延长线于从判断尸”为点尸到平面ABCD的距离.求出PH,即可

求出多面体P48CZ）的体积；

（2）假设棱CZ）上存在点F,使得EF〃PD.连接BD,取8。的中点可得以PH为点、P到平面ABCD

的距离.可用反证法证明，即可求出多面体月4BC。的体积；

解法二，（1）根据面积转化为求△24D得面积，再求得高，可求结论，再求结论；

（2）假设棱CQ上存在点F,使得EF〃PD,所以P,B,C,0共面于a,这与P-4BC0为四棱锥相矛盾，

从而证明结论.

15.答案：解：（1）在正方体48co中，所在的直线与是异面直线的棱有：AD,

CD,C1D1,DDI,CC「

（2）连接BQ,QG，因为E,F,G,H分别为AB,BB°当〃的中点,

所以“〃4/，GH//BCr,

所以48与BQ所成的角即为E尸与GH所成的角.

由于△&BG为正三角形，所以与BG所成的角为60。，

即EF与GH所成的角为60。.

因为在正方体4BCD-4/165中，CCJ/AA^

所以乙4EF即为E尸与CG所成的角.

因为AAEF为等腰直角三角形,

所以乙4EF=45。，即EF与CG所成的角为45。.

解析：本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，异面直线，异面直线所成的角的应用，

(1)根据已知及空间中直线与直线的位置关系，异面直线的判断，可知哪些棱所在的直线与直线是

异面直线，

(2)根据已知及异面直线所成的角的计算，求出异面直线所成的角的值.

16.答案：解：(1)•.•平面ZBCD_L平面PAD,

且平面ABC。n平面PAO=4。，BA1AD,84u平面ABC。，

BA，平面PAD,

依题意，ShPAD=^AD-APsin^PAD

=-x2x2x—=V3>

22

•••^B-PAD=3^APAD,AB=-XV3X2=

在梯形48CO中，

由皿/BC,AD=2BC,

知SfB。=2S&BCD'

^P-ABD~2Vp-8。。，

3

贝M—48CD=^P-ABD+Vp-BCD=^P-ABD

=|VB-PAD=|X等=遮；

(2)假设棱CD上存在点凡使得EF〃PD,

显然尸与点Q不同，

：.P,E,F,。四点共面，记该平面为a,

・•・P€a,PEua,FDca,

又BGPE,C6FD,

••Bea,CGQ,

故P,B,C,。共面于a,

这与P-ABCD为四棱锥相矛盾，

二假设不成立，

故棱CD上不存在点F使得EF//PD.

解析：【试题解析】

本题考查线面垂直的判定、面面垂直的性质，空间几何体的体积等基础知识，是中档题.

(1)由已知结合平面与平面垂直的性质可得84，平面PA。，求出三角形PAO的面积，可得三棱锥