高中数学：3 .1 直线的倾斜角与斜率

3.1直线的倾斜角与斜率

一、直线的倾斜角

i.直线的确定

在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，

二者缺一不可.

2.直线倾斜角的概念

当直线/与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线/向上一方向之间所成的角a叫

做直线/的倾斜角.

倾斜角与倾斜程度

平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角a,且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相

等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角a表示平面直角坐标系内

一条直线的倾斜程度.

3.倾斜角的取值范围

当直线/与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0。.因此,直线的倾斜角a的取值范围是

0°<a<180°。

如下图：4的倾斜角为0。，4的倾斜角为锐角，4的倾斜角为直角，乙的倾斜角为钝角.

二、直线的斜率

1.斜率的定义

我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即

Z=tana.注：倾斜角是90。的直线没有斜率.

2.斜率与倾斜角之间的关系

当直线的倾斜角a=0。时，斜率仁0,直线与x轴平行或重合二

当0。<<1<90。时，斜率Q0,且％值增大，倾斜角随着增大；

当a=90。时，斜率k不存在（此时直线是存在的，直线与x轴垂直）;

当90。<“180。时，斜率M0,且力值增大，倾斜角也随着增大.

3.直线的倾斜程度

（1）倾斜角a不是90。的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用

表示直线的倾斜程度.（2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数

角度，倾斜角侧重于几何角度.

三、过两点的直线的斜率公式

1.公式

经过两点6（%,M）,£（々，％）（%工々）的直线的斜率公式为斜率.

2.公式的推导

如图（1）,（2）,设直线[鸟的倾斜角为a（存90。），当直线64的方向（即从《指向巴的方向）向

上时，过点耳作x轴的平行线，过点鸟作y轴的平行线，两条直线相交于点。，于是点。的坐

标为

QGwJ，

（2）

如图（1）,当a为锐角时，a=NQ66，X[＜%2，＞1＜必•在RtalQE中，

=3I_%-M

tana=tanZQPtP2如图（2）,当a为钝角时,a=l为。-W设NQ耳鸟=6）,

IP\Q\x2-xx

%>x2,y]<y2.tantz=tan（18（X-。）=-tan6.在RtZx/JQg中,

HF，于是可得tana=，即％=上上

x一%x-Xjx-Xj

2器222

同样，当直线HE的方向向上时，如图（3）,（4）,也有tana=2匚&，即上=上二'

x2一玉x2-x]

综上所述，经过两点《a，x）,鸟（9,%）（玉工/）的直线的斜率公式为一％=）二上一

注意

（1）当直线的倾斜角为90。时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注

意斜率的存在与不存在两种情况.（2）斜率计算公式中出的值与所选取的两点在直线上的位置

无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.（3）当直线［6与x轴平行或重合

时，直线的斜率公式成立，此时％=0.

四、两直线平行

1.特殊情况下的两条直线平行的判定

两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°_,

故它们互相平行.

2.两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定

两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜

率相等，那么它们平行，即4〃/20K=右.证明如下：

设两条直线/,,乙的斜率分别为匕,h.

如果4〃/?（如图），那么它们的倾斜角相等,即a、=a》：,tana]=tana2k]=&.

反过来，如果两条直线的斜率相等，即匕=修，那么tana=tana?.由于

0<a,<180^90°）,04a?<180.（。2/90」），；.4=。2・又两条直线不重合，二

五、两直线垂直

1.特殊情况下的两条直线垂直的判定

当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即--条直线的倾斜角为90。,

另一条直线的倾斜角为0。时，两条直线互相垂直.

2.两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于T；反之，如果两条直线的斜

率之积等于T,那么它们互相垂直，即/|J_/2=Z#2=-L

证明如下：设两条直线/,与12的倾斜角分别为名与夕2•

如果这时。尸。2•否则%=。2,则/"L与相矛盾.设<%(如下图),

(1)(2)(3)

图(1)的特征是/1与12的交点在x轴上方；图(2)的特征是4与/2的交点在x轴下方；

图(3)的特征是4与4的交点在x轴上，无论哪种情况下都有q=9()+a2.

V/,,12的斜率分别是k］,k2，且a户90°，,a2H。°・

tan=tan(90°+a2)=-----——kx,BPk}k2=-\.反过来,若尢即

tana2k2'k2

左#2=-1・不失一般性，设尢<0，则tanax=-------=tan(90+<z2)，即a,=90+a2,

tana2

1.求直线的斜率

(1)已知倾斜角求斜率时，若aw9(T,根据公式左=tana直接计算.当倾斜角未给出时，可

根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入％=tana计

算.

(2)已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若

不相等，则可用斜率公式％=上&(玉彳/)直接计算.

/一玉

［例I］经过两点A(4,2y+l),B(2,-3)的直线的倾斜•角为45。,则y的值为(A)

A.-1B.-3C.0D.2

【解析】由过两点的直线的斜率公式可得匕产等f=tan45o=L解得

【例2】已知点M,N的坐标分别是(2,-3),(-3,-2),直线/经过点P(l,l),且与线段MN相交.

(1)求直线P例与PN的斜率；(2)求直线/的斜率左的取值范围.

【解析】(1)由题意与斜率公式可知，直线PM与PN的斜率分别为

-3-1-2-1_3

k=-4,k

0PM2-1PN-3-1-4

(2)如图，直线/相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，是过P点且与x轴垂直的直线,

当/由PN位置旋转到/位置时，倾斜角增大到90。，又卜04三3，：・k%3.

当I从/'位置旋转到PM位置时，倾斜角大于90°,又⑥用=一4,二ZWT.

3

综上所述，Z:e(-oo,-4]U[—,+oo).

【归纳总结】求直线的斜率的方法：

(1)定义法.已知直线的倾斜角为明且好90。，则斜率％=tana.

(2)公式法.若直线过两点4(%,%),8(%,,%),且玉工工2，则斜率女=2二21

々一玉

(3)数形结合法.已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线/与线段AB有交点

的情况下/的斜率，若直线以,PB的斜率均存在，则步骤为：

①连接玄，PB；②由％=%二几求出一A次”；

龙2-玉

③结合图形即可写出满足条件的直线/的斜率的取值范围.

2.三点共线问题

两点即可确定一条直线，要证三点共线，只要证过同一点的两直线的斜率相等即可.用斜率公式

解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴，即斜率不存在的情

况.斜率存在的前提下，当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时，三点共线.

【例3】求证：A(-2,-4),8(2,0),C(3,l)三点共线.

[例4]若A(-1,-2),B(4,8),C(5力，且4,8,C三点共线，求x的值.

【解析】由题意，可知直线ABAC的斜率存在,

8-(-2)_x-(-2)

又A,B,C三点共线，则以8=&c,即，解得户10.

4-(-1)-5-(-1)

3.直线的斜率、倾斜角的应用

光的反射问题中，反射角等于入射角，但反射光线所在直线的斜率并不等于入射光线所在直线

的斜率.当镜面水平放置时，上述斜率之间是互为相反数的关系.另外，在光的反射问题中也经常

使用对称的方法求解.

［例5］光线从点A(2,l)射到y轴上的点Q,经)，轴反射后过点8(4,3),试求点Q的坐标及

入射光线的斜率.

4.直线的倾斜角与斜率的关系

(1)直线的倾斜角a与斜率上的关系：k=tana(aw90),由直线的倾斜角能求斜率，反过

来，由直线的斜率能求倾斜角.注意倾斜角的取值范围是0。<a<180。.

(2)在00<a<90。范围内，女>0,且k随着a的增大而增大;在90。<。<180。范围内，左<(),

且％随着a的增大而增大.但在0<a<180。范围内，k并不是随着«的增大而增大的.

【例6】已知直线/的倾斜角范围为［45。，135。］,求直线/的斜率的范围.

【解析】应进行分类讨论：

当倾斜角a=90。时，/的斜率不存在；

当ae［45。,90。)时，/的斜率左=tanae［1,4<o)；

当(90。,135。］时，l的斜率k=tanae(-a),-l］.

；./的斜率不存在或斜率々e(-8,-l］UU,+8).

5.两条直线的平行关系

在判断两条直线是否平行时，首先应判断直线的斜率是否存在，然后根据斜率的关系进行判断，

同时不要漏掉两条直线重合的情况.

【例7】根据下列给定的条件，判断直线4与直线/2是否平行.

(1必经过点/(2,1),B(—3,5),b经过点C(3,-3),0(8,-7)；

(2为经过点E(0,1),F(~2,-1),〃经过点G(3,4),HQ,3)；

(3)/i的倾斜角为60。,/2经过点M(l,我,N(—2,—2依)；

(4)/1平行于y轴,(经过点于0,—2),2(0,5).

6.两条直线的垂直关系

判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是

否等于T即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直

线也垂直.

【例8】根据下列给定的条件，分别判断直线h与h是否垂直：

(l)/i经过点41,3),仅-1,-1),/2经过点C(2,l),£)(4,0);

(2)/i经过点£(-1,3),尸(-1,-5),/2经过点6(2,4),"(-1,4);

(3)/＞的倾斜角为30。/经过点M(l,小),M2,0)；

(4)Zi经过点尸(2,4),。(3,4)/经过点R(5,2),S(0,l).

7.根据直线的位置关系求参数

已知两直线平行或垂直求解参数的相关问题时，首先需考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存

在，则依据斜率间的关系求解；若斜率不存在，则需注意特殊情形.此外，己知两直线垂直求解

参数时，还需注意斜率是否为零.

【例9】已知直线4经过点A(3,a),B{a-1,2)，直线12经过点M(l,2),N(—2,a+2).

(1)若求a的值；(2)若求a的值.

【解析】由题意知直线4的斜率存在且率="+2-2=一4

-2-13

(1)若，则直线/,的斜率也存在，又k=2一"=三，

a-1-3。-4

由A=%得当=—解得a=l或a=6.经检验，当a=l或4=6时，

■。一43

(2)若当左2=0时，a=0,匕=一;,不符合题意；

当匕工0时，直线12的斜率存在且不为0,则直线4的斜率也存在，且k1k,=-1，即—3.上工=-1,

3<2-4

解得。=3或。=-1.经检验，当。=3或a=T时，ly±l2.

【例10】已知点A(-2,-5),8(6,6),点尸在y轴上,且NAPB=90°,则点P的坐标为(C)

A.(0,-6)B.(0,7)C.(0,-6)或(0,7)D.(-6,0)或(7,0)

8.两直线平行和垂直的综合应用

利用直线平行与垂直的条件判断三角形或四边形的形状是常见题型，同时要熟知各种图形的特

点及判定方法.证明两直线平行时，仅有斜率相等是不够的，注意排除两直线重合的情况.

【例11］已知A(0,l),5(1,0),C(3,2),0(2,3),试判断四边形ABCO的形状.

0-13-22-03-1

【解析】由题意，可得A”=—Lbp=2-2)=-LA'。1MzM=1,

1-03-12-0

/.kAK=kCD,kBC=kIM..\AB//CD,BC//DA.：.四边形ABCD为平行四边形.

又kAB-kBC=T，，直线48与BC垂直，即ZABC=90°.：.四边形ABCD为矩形・

9.求直线的倾斜角时忽略斜率不存在的情况

【例12】求经过4〃?，3),8(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角a的取值范围.

【错解】由斜率公式可得直线A2的斜率女=二3-2^=——1.

m-\

当〃?>1时，k=」一>0,所以直线的倾斜角a的取值范围是0。<。<90。；

m-1

当胆<1时，z=—L<0,所以直线的倾斜角a的取值范围是9(r<a<180。.

m-1

【错因分析】利用斜率公式求直线的斜率的条件是“西/马”.而错解中没有考虑胆=1的情况，忽

略了斜率不存在的情况.

【正解】当机=1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的倾斜角a=90。.

3-2I

当机,1时，由斜率公式可得直线AB的斜率A=-=——，

m-\m-\

当m>\时，Z=—!—>0,所以直线的倾斜角a的取值范围是0。<心<90。；

m-1

当时，&=」一<(),所以直线的倾斜角a的取值范围是90。*<180。.

m-1

10.忽略直线斜率的存在性致错

【例13】已知4(一加一3,2),8(-2加一4,4),。(-九利),£)(3,3利+2),若直线45，。£),求加的

4—223m+2-m2(m+l)

值.【错解】由斜率公式知，kAB--=-,k=~~-——

-2m-4-(-m-3)-(m+1)cn3-(-m)m+3

即一-——2(〃z+l)=—],解得机=i,

■:AB.LCD,/.kAB-kCD=-1,

-(m+1)m+3

：.m的值为1.

【错因分析】漏掉了直线斜率不存在的情况.

【正解】「A］两点纵坐标不相等，.'AB与x轴不平行.

,.,4B_LC£）,，C£）与x轴不垂直，一根。3,加工-3.当AB与x轴垂直时，一帆-3=-2〃7-4,解得

〃2=-1,而〃2=-1时，C,。纵坐标均为一1,则C力〃x轴，此时48J_CO,满足题意.

2

当A8与x轴不垂直时，由斜率公式知，kAII=------------------

AH-2/n-4-（-m-3）-(m4-1)

f3m+2-m2(7n+l),nn22(/n+l)

kcn-----------=--------ABI.CD,I.kAR•kcn=-1,即

CL/3C-(/-7/2)\m+O3/LoCLz-(/n+1)"2+3

解得〃?=1.综上，机的值为1或-1.

基础测试

1.关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是（B）

A.所有的直线都有倾斜角和斜率B.所有的直线都有倾斜角，但不一定都有斜率

C,直线的倾斜角和斜率有时都不存在D.所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角

2.已知直线/经过点A（—2,0）与点8（—5,3）,则该直线的倾斜角为（C）

A.150°B.75°C.135°D.45°

3.直线4的斜率为2,lt//l2,直线/2过点（一1,1）,且与y轴交于点P,则P点坐标为（D）

A.（3,0）B.（-3,0）C.（0,-3）D.（0,3）

4.如图，设直线/l,h,/3的斜率分别为七，&2,&3,则％,kl,&3的大小关系为（A）

A.k1<k2<k3B.k]<k3<k2C.k2<k]<k3D.k3<k2<k]

2

5.若直线/经过点(a-2,T)和(-4-2,1),且与斜率为-§的直线垂直，则实数〃的值是(A)

2323

A.---B.---C.-D.一

3232

6.已知4-4,2),2(6,-4),C(12,6),。(2,12),则下面四个结论：®AB//CD；®ABLAD；③

AC//BD.④ACLBD中正确的个数为(C)

A.1B.2C.3D.4

7.若/i过点｛见1),8(-3,4),b过点C(0,2),0(1,1),且则加=0.

8.若过点P(1,1),Q(3,2”)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是(-«),-).

2

9.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角.

(l)A(O,-1),5(2,0).⑵P(5,-4),Q(2,3).(3)M(3,-4),N(3,-2).

(1)KB=±Q=，，因为心8>0,所以直线AB的倾斜角是锐角-

0-22

-4-37

(2)即°=-----因为依所以直线PQ的倾斜角是钝角.

5—23

(3)因为XM=XN=3,所以直线MN的斜率不存在，其倾斜角为直角.

10.当机为何值时，过A(l,1),8(2%2+1,m-2)两点的直线：

(1)倾斜角为135。；(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直；

(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行？

11.己知A(l,5),B(-l,1),C(3,2),若四边形ABC。是平行四边形，求。点的坐标.