2024年中考数学二次函数压轴题专题04面积定值问题(学生版+解析)

专题04面积定值问题一、知识导航二、典例精析如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标．思路1：铅垂法列方程解．根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3），，，分类讨论去绝对值解方程即可得m的值．思路2：构造等积变形同底等高三角形面积相等．取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2，在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点．当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，联立方程：，解之即可．当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，联立方程：，解之即可．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、．（1）求、满足的关系式及的值．（2）如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）点A坐标为（-2,0），点B坐标为（0,2），代入解析式可得：c=2，4a-2b+2=0（2）考虑A、B水平距离为2，△PAB的面积为1，故对应的铅垂高为1．当a=-1时，可得b=-1，抛物线解析式为y=-x²-x+2．取点C（0,3）作AB的平行线，其解析式为：y=x+3，联立方程-x²-x+2=x+3，解得x=-1，故点坐标为（-1,2）取点D（0,1）作AB的平行线，其解析式为：y=x+1，联立方程-x²-x+2=x+1，解得，．点坐标为、点坐标为．三、中考真题演练1．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．

(1)求c的值及顶点M的坐标，(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；(2)点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；4．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式．(3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延宽线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积．5．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．

(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标；7．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．

(1)求该抛物线的解析式；(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．①当时，求的宽；②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．专题04面积定值问题一、知识导航二、典例精析如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标．思路1：铅垂法列方程解．根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3），，，分类讨论去绝对值解方程即可得m的值．思路2：构造等积变形同底等高三角形面积相等．取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2，在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点．当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，联立方程：，解之即可．当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，联立方程：，解之即可．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、．（1）求、满足的关系式及的值．（2）如图，当时，在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）点A坐标为（-2,0），点B坐标为（0,2），代入解析式可得：c=2，4a-2b+2=0（2）考虑A、B水平距离为2，△PAB的面积为1，故对应的铅垂高为1．当a=-1时，可得b=-1，抛物线解析式为y=-x²-x+2．取点C（0,3）作AB的平行线，其解析式为：y=x+3，联立方程-x²-x+2=x+3，解得x=-1，故点坐标为（-1,2）取点D（0,1）作AB的平行线，其解析式为：y=x+1，联立方程-x²-x+2=x+1，解得，．点坐标为、点坐标为．三、中考真题演练1．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．

(1)求c的值及顶点M的坐标，(2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G．①当时，求的宽；②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；（2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解；②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可．【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为，∴，

∴，∴顶点M的坐标是．（2）①∵A在x轴上，B的坐标为，∴点A的坐标是．当时，，的坐标分别是，．当时，，即点Q的纵坐标是2，当时，，即点P的纵坐标是1．∵，∴点G的纵坐标是1，

∴．

②存在．理由如下：∵的面积为1，，∴．根据题意，得P，Q的坐标分别是，．如图1，当点G在点Q的上方时，，此时（在的范围内），

如图2，当点G在点Q的下方时，，此时（在的范围内）．

∴或．2．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．

(1)求b，c的值；(2)P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式；【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）得到，即可求解；【详解】（1）由题意，得（2）由（1）得抛物线的解析式为．令，则，得．∴B点的坐标为．，∴．∵，∴直线的解析式为．∵，∴可设直线的解析式为．∵在直线上，∴．∴．∴直线的解析式为．

3．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）探究函数的图象和性质，探究过程如下：

(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下其中，________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；(2)点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；【分析】（1）把代入解析式，求出的值即可，描点，连线画出函数图形，根据图形写出一条性质即可；（2）利用，进行求解即可．【详解】（1）解：当时，，∴，根据题干中的表格数据，描点，连线，得到函数图象，如下：由图象可知：图象关于轴对称；故答案为：．（2）解：∵点，点，∴，∴，∴，∴，当时：，解得：，∴或，当时：，解得：，∴；综上：或或；4．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式．(3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延宽线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积．【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，，，解得：，抛物线的解析式为：；（3）解：设点，直线的解析式为，，，解得：，直线的解析式为，当时，，，，，在抛物线中，当时，，，，，设点的坐标为，，，，，，，解得：，点的坐标为，．5．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．

(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；【详解】（1）解：将点，代入，得解得：∴抛物线解析式为；（2）∵，顶点坐标为，当时，解得：∴，则∵，则∴是等腰直角三角形，∵∴到的距离等于到的距离，∵，，设直线的解析式为∴解得：∴直线的解析式为，如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，

设的解析式为，将点代入得，解得：∴直线的解析式为，解得：或∴，∵∴∴是等腰直角三角形，且，如图所示，延宽至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，∵是等腰直角三角形，∴∴是等腰直角三角形，∴∴设直线的解析式为∴解得：∴直线的解析式为联立解得：或∴或综上所述，或或；6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点P的坐标；【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且可得点M的坐标为，利用待定系数法可得抛物线的解析式为；（2）过点P作轴于点F，交线段AC于点E，用待定系数法求得直线AC的解析式为，设点P的横坐标为，则，，故，先求得，从而得到，解出p的值，从而得出点P的坐标；【详解】（1）解：∵点M在y轴负半轴且，∴将，代入，得解得∴抛物线的解析式为（2）解：过点P作轴于点F，交线段AC于点E，

设直线的解析式为，将，代入，得，解得，∴直线AC的解析式为设点P的横坐标为则，，∴∵，∴，解得，∴7．（2023·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．

(1)求该抛物线的解析式；(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．①当时，求的宽；②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根据抛物线对称轴为，可得，求得，再将代入抛物线，根据待定系数法求得，即可解答；（2）①求出点，点的坐标，即可得到直线的解析式为，设，则，求得的解析式，列方程求出点的坐标，最后根据列方程，即可求出的宽；②过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，根据，解得，