高中数学-化归与转化思想

高中数学-化归与转化思想

目录

1.考点回顾....................................................................1

2.经典例题剖析...............................................................2

3.选择题：....................................................................6

4.解答题：....................................................................7

5.解析答案：..................................................................8

1.考点回顾

化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某

种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决

问题的思想。转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是

把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问

题。化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗

透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。转化有等价转化与

不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地

改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。

应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量

是等价转化。常见的转化有：

1、等与不等的相互转化

等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减

少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的

突破口。

2、正与反的相互转化

对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从

而使正面问题得以解决。

3、特殊与一般的相互转化

对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题

思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。

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4、整体与局部的相互转化

整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。

5、高维与低维的相互转化

事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，

通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化

在复数与立体几何中特别常见。

6、数与形的相互转化

通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性

解决问题，使问题简化。

7、函数与方程的转化

2.经典例题剖析

例1、设/(x)=x-lTn2x+2alnx(x>0).

(I)令尸。)=才。)，讨论尸⑶在(°，+8)内的单调性并求极值；

(II)求证:当时，恒有x>ln2x-2alnx+l.

解析：(I)讨论也的在O+8)内的单调性并求极值只需求出厂(%)的导数

F(X)即可解决；

(II)要证当X>1时，恒有x>ln2>2alnx+l,可转化为证x>l时

x-ln2x+2«lnx-l>0,亦即转化为时/㈤>°恒成立;因/⑴=0,于是可

转化为证明"力>/⑴，即八幻在(Lx°)上单调递增，这由(I)易知。

,21nx2a..

f\x)=1------+—,x>0

答案：(I)解：根据求导法则有％》,

故E(x)=4'(x)=x—21nx+2a,x>0

F'(x)=1--=—―x>0

于是％》,

列表如下：

X(0,2)2(2+8)

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F'(x)—0+

E(x)、、极小值尸⑵

故知2x）在（°，2）内是减函数，在（2，+8）内是增函数，

所以，在％=2处取得极小值尸⑵=2-21n2+2,

（II）证明:由心°知，尸3的极小值尸（2）=2—21n2+2a＞0.

于是由上表知，对一切xc（°，+8）,恒有尸（x）=^'（x）＞0.

从而当x＞。时，恒有/（幻＞°,故A©在3+8）内单调增加.

所以当1时，/*）＞/（I）=。，即x-1—In2x+2«lnx＞0.

故当%＞］时,恒有%＞ln2＞-2aln%+l.

点评：对于证明〃x）＞g（x）在区间①力）恒成立问题，常运用化归转化思

想转化为证明〃x）-g（x）＞°在区间（0/）上恒成立，令〃（x）=/（x）-g（x）,即

可转化为在①/）上以初榜＞0,这样只需求出/2（x）在区间3"）上的最小值即可

解决之。这种化归转化的思想方法在近几年高考中经常用到。

（1）求他"｝的通项公式；（2）设"”=&，3-2%，证明其中〃

为正整数.

解：

,、3

0＜。〃＜一，a

方法二：由（1）可知2

....a'^-2"南

因为2,所以

（2）-aY

«„（3-2«„）＜

由4户1可得12J,

。；（32a“）（卜”

即＜2＞

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ayl3-2a<-―

两边开平方得n7n27.

即b„<bn+l,〃为正整数.

例、在平面直角坐标系中，已知△A6C的顶点4-4,0）和C（4,0）,顶

x2y2<sinA+sinC

---F—=1----------=

点8在椭圆259上，则sin8.

例、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为。，则cosa=

解：不妨认为这个正四棱柱为正方体，与正方体的所有面成角相等时，为

与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等，即为对角线与该正方体

cosa=—V72^=——V6

所成角.故133.

点评：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空题中经常

应用

例、已知函数/（x）=d-

（1）求曲线y="x）在点”（力/⑺）处的切线方程；

（2）设如果过点（⑦份可作曲线y=/a）的三条切线，证明：

-a<b</（«）

解析：（1）通过求导得出切线的斜率，从而由点斜式较易写出切线方

程；（2）由（1）易得过点（⑦切的曲线的切线方程g"）二°,曲线

y=/a）有三条切线可转化为方程g⑺=0有三个相异的实数根，即函数

y=g⑺有三个零点，故只需g⑴的极大值大于零且g⑺的极小值小于零。

答案：解：（1）/⑴的导数/（幻=3/-1.曲线y=./a）在点

/«，/⑺）处的切线方程为：y-/（0=/Wx-0,即y=（3『-l）x-2/.

（2）如果有一条切线过点（《叽则存在L使"=（3产

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若过点3,切可作曲线y=的三条切线，则方程2尸—3“2+以+6=0有

三个相异的实数根.记gQ）=2/_3加+.+,贝,'（。=6/-6。，=6，（，一。）

当f变化时,g（）g'«）变化情况如下表：

t(—8,0)0(0,a)a(Q,+00)

g'(f)+0—0+

极大值极小值

gQ)增函数减函数增函数

a+bb-f（a）

由g。）的单调性，当极大值。+6<。或极小值匕一了⑷〉。时，方程g⑺=°

最多有一个实数根；

t=0,t=—

当a+〃=0时，解方程g（，）二°得2,即方程g（/）=°只有两个相

异的实数根；

_a_

当"一〃G=°时，解方程g⑺=0得‘一5,‘一"，即方程gQ）=o只有两

个相异的实数根.

综上，如果过（3勿可作曲线丁=/（龙）三条切线，即g（'）二°有三个相异的

a+b>0,

<

实数根，则.即~a<b<f（d）

点评：将证明不等式的问题通过等价转化化归为函数的极值问题来讨论，

这是近年来高考试题中常出现的一种类型。

例、已知函数/（x）=e'一去，xeR

（I）¥=e,试确定函数A©的单调区间；

（H）若&〉°,且对于任意xeR,“国）>°恒成立，试确定实数％的取

值范围；

解析：（I）求出八幻的导函数，易得八幻的单调区间；

（II）易知网助是偶函数，于是"船>°对任意xeR成立可等价转化为

/（幻>0对任意xeO成立，进一步转化为/（幻在。+8）上的最小值大于零，

从而求出实数％的取值范围。

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答案：解：（［）由攵=€得/（幻=6'-5，所以尸（x）=e，e

由/'（x）>°得x>1,故/（X）的单调递增区间是（1，+°°）,

由fXx）<0得x<1,故/（x）的单调递减区间是S4）.

（II）由川T）=加）可知,刎）是偶函数.

于是/（IX）>。对任意xeR成立等价于°对任意x、0成立.

由/'（X）=e'—Z=0得%=］n%.

①当kw（0,1］时，f\x）=ex-k>l-k^0（x>0）

此时/（幻在0+8）上单调递增.

故/（幻>/（0）=1>0,符合题意.

②当攵£（1,+8）时，］n攵>0.

当X变化时/'"），/（X）的变化情况如下表：

X(0,lnZ)InZ(lnZ,+oo)

f'M——0+

单调递

f(x)极小值单调递增

减

由此可得，在D+00）上,f（）nk）=k-khik

依题意，k-k\nk>0,又

综合①，②得，实数出的取值范围是°<左<，

3.选择题：

1.若函数/（x）=〃E+4a^+3的定义域为R

,则实数。的取值范围是

（o,3|］（o,34）.吟D.吟

A.4B.4C.

y=ig（11）

2.函数17的图象关于（）

A、原点对称B、x轴对称C、y轴对称D、直线y=

x对称

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3,若。、力满足/+〃=1,则（1一2）。+。份有

]_3

A.最小值2和最大值1B.最小值4和最大值1

3

C.最小值4但无最大值D.最大值1,但无最小值

4.若关于x的不等式（1+尸口4/+4的解集是M,则对任意实常数％,

总有：（）

A、26M,OEM；B、2纪M,0《M；C、2GM,0至M；D、2《M,

OGM.

5.若不等式x2+ax+120对于一切xe（0,2）成立，则a的取值范围是

6,若J（」+3）2+（y-l）2—归一y+3|=°,则点例（Q）的轨迹是

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

填空题：

7.P（x,y）在直线x+2y—3=0上运动，则x2+y2的最小值是.

8.在一6,4,-2,0,1,3,5,7这8个数中，任取两个不同的数分别

作为虚数。+次的实部和虚部，则所组成的所有不同虚数中，模大于5的虚数

的个数是.

4.解答题：

/（x）=2sin?|—+x|-\/3cos2xxe—

9.已知函数14J,L42..

（I）求/（X）的最大值和最小值；

XG71兀

（H）若不等式〃'⑴一叫＜2在上恒成立，求实数加的取值范

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5.解析答案:

1.C解析：函数/(X)=.公2+4办+3的定义域为R,

」.依2+4依+320对XWR恒成立。当。=0时有320对XWR恒成立，符合题

意；当。。。时，要使⑪2+4以+32。对xeR恒成立，必、须。>0且

3

—之。>0

A=16«9--12a<0,解得4。

aG[0,—]

综上4,故选c.

--------1>0XG(—1,1),

2.A解析：函数定义域满足1-%

•••+=--l)=lg=lgl=0，

U+x)\1—X)1+XJ\1—Xy_

・••/(—x)=l/(x).・.f(x)为奇数，.♦.选A.

3.B解析：因〃、6满足/+/=1,故可设a=cose,/2=sin%

则(1一a/?)(l+。份=

1,17

(1-cosOsin6)(1+cos^sin0)=1--sin-20=-^cos4^+—

3

所以(1-a份(1+a份的最大值为1,最小值为1,故选B。

4.A解析：方法1：代入判断法，将”=2,x=°分别代入不等式中，判

断关于k的不等式解集是否为R；

方法2：求出不等式的解集：(1+6»忘/+4

nxW4也(R+D+g__2=>X<[(A:2+1)+-^2]mm=2库2

左2+1k2+l/+i%；故选A。

_a_a

5.解析：设f(x)=x2+ax+l,则对称轴为x=2,若2>

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5_

2,即a<-l时，则f(x)在(0,2)上是减函数，应有f(5)>0=>-2<

X<—1;

_a1

若2<0,即Q0时，则f(x)在(0,2)上是增函数，应有f(0)=

1>0恒成立，故a>0

a1aa2a2..a2^_

—————1-1——0

若0W2<2,即—iwawo,贝胸有f(2)=424恒

成立，故一lWaWO

5_

综上，有一2益o

J(x+3)2+(y-l)2_3

x-y+3

6.C解析：由J(x+3)、(yT)2-|x-y+3]=o得后,

由双曲线的定义知点的轨迹是双曲线。故选c。

9

7.5解析：x2+y2为原点与直线x+2y—3=0上的点距离的平方，其