2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)解答题专项3　数列

解答题专项三数列1.(2022浙江,20)已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*).(1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn;(2)若对于每个n∈N*,存在实数cn,使an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,求d的取值范围.2.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列Snn是首项为12,公差为14的等差数列,若[x]表示不超过x的最大整数,如[0.5]=0,[lg499]=(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=[lgan],求数列{bn}的前2021项的和.3.(2022河南郑州一模)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn,现给出下列三个条件:①S1,S2,S4成等比数列;②S4=16;③S8=4(a8+1).请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.(1)求{an}的通项公式;(2)若bn-bn-1=4an(n≥2),且b1=3,求数列1bn的前n项和T4.已知等比数列{an}的公比为λ(λ>1),a1=1,数列{bn}满足bn+1-bn=an+1-λ,b1=1λ(1)求数列{bn}的通项公式;(2)规定:[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.2]=-2,[2.1]=2.若λ=2,cn=1bn+2n-2,记Tn=c1+c2+c3+…+cn(n≥答案：1.解(1)数列{an}是首项a1=-1的等差数列且d>1.∵S4-2a2a3+6=0,∴4a1+4×32d-2(a1+d)(a1+2d)+6把a=-1代入得-4d2+12d=0,解得d=3或d=0(舍去),∴Sn=na1+n(n(2)∵对每个n∈N*,存在实数cn使得an+cn,an+1+4cn,an+2+15cn成等比数列,∴(an+1+4cn)2=(an+cn)(an+2+15cn),an+12+8an+1cn+16cn2=anan+2+an+2cn+15anccn2+(8an+1-an+2-15an)cn+an+12-an而8an+1-an+2-15an=8(a1+nd)-[a1+(n+1)d]-15[a1+(n-1)d]=8a1+8nd-a1-(n+1)d-15a1-15(n-1)d=-8a1+(8n-n-1-15n+15)d=8+(14-8n)d,an+12-an·an+2=(an+d)2-an(an+2d)∴cn2+[8+(14-8n)d]cn+d对此式,Δ=[8+(14-8n)d]2-4d2≥0,[8+(14-8n)d+2d][8+(14-8n)d-2d]=[(16-8n)d+8][(12-8n)d+8]≥0,[(2-n)d+1][(3-2n)d+2]≥0,n=1时,显然成立;n=2时,-d+2≥0,d≤2;n≥3时,原式=[(n-2)d-1][(2n-3)d-2]>0恒成立.∴1<d≤2,∴d的取值范围是(1,2].2.解(1)数列Snn是首项为12,公差为14所以Snn=12+(n-1)×14当n=1时,a1=S1=12当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2又a1=12也适合上式所以an=n(2)由(1)得bn=[lgan]=lgn2,当n=1时,-1<lga1<0;当n=2,3,4,…,19时,0≤lgan<1;当n=20,21,22,…,199时,1≤lgan<2;当n=200,201,202,…,1999时,2≤lgan<3;当n=2000,2001,…,2021时,3≤lgan<4.故数列{bn}的前2021项和为[lga1]+[lga2]+[lga3]+…+[lga2021]=-1+0×18+1×180+2×1800+3×22=3845.3.解(1)由①S1,S2,S4成等比数列可得S22=S1·S4,即(2a1+d)2=a1·(4a1+6d),解得d=2a由②S4=16可得S4=4a1+6d=16,即2a1+3d=8,由③S8=4(a8+1)可得8a1+8×72d=4(a1+7d+1),可得a若选①②,由d=2a1,2a1+3d=8,可得a1=1若选①③,由d=2a1,a1=1,可得a1=1,d=2若选②③,由2a1+3d=8,a1=1,可得a1=1,d综上所述,{an}的通项公式为an=2n-1.(2)由(1)知an=2n-1,所以bn-bn-1=4(2n-1)=8n-4,所以b2-b1=12,b3-b2=20,b4-b3=28,b5-b4=36,…,bn-bn-1=8n-4,以上各式累加可得bn-b1=12+20+28+…+8n-4=(n-1)(12+8n-因为b1=3,所以bn=4n2-1(n≥2),且b1=3也满足上式,所以bn=4n2-1.所以1bn所以Tn=121-13+13−15+15−17+4.解(1)由题意得an=λn-1(λ>1),则bn+1-bn=λn-λ(λ>1),当n≥2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=(λn-1-λ)+(λn-2-λ)+…+(λ1-λ)+1=(λn-1+λn-2+…+λ1)-(n-1)λ+1λ-1=λn又b1=1λ-因此bn=λnλ-1-nλ+(2)由(1)知,当λ=2时,bn=2n-2n+1,则cn=1bn+2当n=2时,T2=c1+c2=43,此时Tn2-2Tn+2当n=3时,T3=c1+c2+c3=3121,此时Tn2-2Tn+2Tn-当n≥3时,Tn≥T3,因为cn=12n-1所以Tn<1+3123+124+…+12n+1=1+3×18[1-(12)

n-1]1-12=