高中数学 等比数列复习全册教案 新人教A版必修5精

等比数列复习

1、等比数列的定义.

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前•项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比

数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示.

注意(1)、q是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即.

(2)、由定义可知，等比数列的任意一项都不为0,因而公比q也不为0..

(3)、公比q可为正数、负数，特别当q=l时，为常数列a»ai,…….；

q=—1时，数列为a“一a“ai,—ai,...

(4)、要证明一个数列是等比数列，必须对任意nGN+,

a„+i-ra„=q,或a“+a“-i=q(n22)都成立.一

2、等比数列的通项公式

：!

由az=aiq,a3=a2q=aiq,ai=a3q=aiq,...,归纳出aFaiq"-1.此式对n=l也成立.一

3、等比中项

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.一

4、等比数列的判定方法

⑴、a„=a„-i•q(n22),q是不为零的常数，W0二瓜｝是等比数列.一

(2)、a„2=a„-i•a„+i(n22,a„-i,a„,an+i^O)=｛a0｝是等比数列.

⑶、a„=c-qn(c,q均是不为零的常数)=｛a“｝是等比数列.一

5、等比数列的性质

设｛aj为等比数列，首项为a,,公比为q-

(1)、当q>Lal>0或0<q<l,al<0时，｛an｝是递增数列；当q>Lal<0或0<q〈l,al>0时，｛a„｝

是递减数列；当q=l时，⑸｝是常数列；当q<0时，｛&｝是摆动数列.

n-B

(2)、an=aB•q(m>n£N*).

(3)、当m+n=p+q(m>n、q>p《N*)时，有am•an=ap•a,

(4)、｛aj是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积..

(5)、数列｛入“｝(X为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；若｛bn｝是公比为十的等

山-

比数列，则数列｛an・bj是公比为qq，的等比数列；数列，是公比为孑的等比数列；｛|a』｝是

公比为|q|的等比数列.

(6)、在｛aj中，每隔k(kGN*)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公

比为qk+1..

(7),当数列｛aj是各项均为正数的等比数列时，数列｛lga“｝是公差为Igq的等差数列.

(8)、瓜｝中，连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列..

(9)、若m、n、p(m、n、pGN*)成等差数列时，a“、a”、%成等比数列.

6、等比数列的前n项和公式

由此得qWl时等比数列｛a.｝的前n项和的公式上0.

因为a,,=auT'，所以上面公式还可以写成1-0.

当q=l时，S“=nai.

7、等比数列前n项和的一般形式

一般地，如果ai,q是确定的，那么

,l-gl-qfV,

«4--3_MJJCKOS为-

i-q

8、等比数列的前n项和的性质

(1)、若某数列前n项和公式为Sn=a"T(aW0,±1),贝!HaJ成等比数列.

(2)、若数列｛aj是公比为q的等比数列，则S.+产S.+q"・S”.

(3)、在等比数列中，若项数为2n(nGN*),则4*

(4)、Sn,Sa—Sn,S3*—S&＞成等比数列.

二、举例讲解

1、利用等比数列的通项公式进行计算.

【例1】在等比数列｛a“｝中，ai+az+a3=-3,aia2a3=8①求通项公式，②求aia3asam%

解析：①设公比为q,则由已知得

■.V0--9*-

IUZ4

【例2】有四个数，前三个成等差，后三个成等比，首末两项和37,中间两项和36,求这四个

数.

解析1：按前三个数成等差可设四个数为：a-d,a,a+d,一7一，由已知得:

a

giq

二。・1田・学士・皿・全

mt*制416m2总半。星条

■■qq

解析2：按后三个数成等比可设四个数为2a-aq,a,aq,aq2,

由已知得:

卜.371MlM35.0

[ay16

二q-彳5■.■歹7

JMs—Ltidlii——.

解析3：依条件设四个数分别为x,y,36-y,37-x,

r27-x<-3«-/

"to-，76-/'

2、利用等比数列的性质解题.

【例3】等比数歹ij｛a“｝中，

（1）已知。2=4,。5=一,，求通项公式.（2）、已知23a.@5=8,求a2a3a4a5a6的值.

w：①畛・荷々•二中--1

二,—一・4（一夕1.

=端=&

二.■2.

―2$一

又y/■4,二^.32

3、如何证明所给数列是否为等比数列.

【例4】设｛&,｝是等差数列，hn,已知仇+%+为=4,b也玩=二求等差数列的

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通项an.

4、利用等比数列的前n项和公式进行计算.

［例5］若数列｛aj成等比数列，且an>0,前n项和为80,其中最大项为54,前2n项之和为6560,

求S100=?

5、利用&n,Sn的公式及等比数列的性质解题.

【例6】数列｛aj中，ai=l,fianan+i=4n,求前n项和Sn.

n

解析：由J知得anan+i=4①

n+,

Hn+1Hn+2-4……②

K・4.

aHO,②+①得4.

a3,as,…,a2ll-i,

…，…