2024年高考数学第一轮复习讲义第九章9.2　两条直线的位置关系(学生版+解析)

§9.2两条直线的位置关系考试要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括________________________三种情况．(1)两条直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)两条直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔________________________.2．三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②结论：|P1P2|＝________________________________________________________________.③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝________________________.(2)点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________________.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝__________________________________________________________________________________________.常用结论1．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．()(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－eq\f(1,k)，且线段AB的中点在直线l上．()教材改编题1．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为()A．2eq\r(5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\r(5)D.eq\f(2\r(5),5)2．若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于()A．4B．－4C．1D．－13．直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为________________．题型一两条直线的平行与垂直例1(1)(2023·合肥质检)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是()A．0或－1 B．－1或1C．－1 D．1听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．相交但不垂直 B．垂直C．平行 D．重合(2)已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________.题型二两直线的交点与距离问题例2(1)两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为()A．a＝6，d＝eq\f(\r(6),3) B．a＝－6，d＝eq\f(\r(6),3)C．a＝－6，d＝eq\f(\r(5),3) D．a＝6，d＝eq\f(\r(5),3)(2)(2023·哈尔滨模拟)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为________________________．听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．跟踪训练2(1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是()A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0(2)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为()A．3B．4C．2D．6题型三对称问题命题点1点关于点的对称问题例3直线3x－2y＝0关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))对称的直线方程为()A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2点关于直线的对称问题例4(2022·太原模拟)已知两点A(－4,8)，B(2,4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为()A．2eq\r(13)B．9C.eq\r(74)D．10听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3直线关于直线的对称问题例5两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为()A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0听课记录：____________________________________________________________________思维升华对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．跟踪训练3已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________§9.2两条直线的位置关系考试要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．(1)两条直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)两条直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②结论：|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)点到直线的距离点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).常用结论1．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(×)(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－eq\f(1,k)，且线段AB的中点在直线l上．(√)教材改编题1．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为()A．2eq\r(5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\r(5)D.eq\f(2\r(5),5)答案C解析点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝eq\f(|2－10＋3|,\r(1＋4))＝eq\r(5).2．若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于()A．4B．－4C．1D．－1答案A解析因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，所以eq\f(2,3)＝eq\f(m,6)≠eq\f(1,－1)，解得m＝4.3．直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为________．答案x＋2y－3＝0解析直线x－2y－3＝0的斜率为k＝eq\f(1,2)且与x轴交于点(3,0)，故所求直线的斜率为－eq\f(1,2)，且过点(3,0)，其方程为y＝－eq\f(1,2)(x－3)，即x＋2y－3＝0.题型一两条直线的平行与垂直例1(1)(2023·合肥质检)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)，解得m＝1或m＝－3，而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去，则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件．(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是()A．0或－1 B．－1或1C．－1 D．1答案A解析由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意．思维升华判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．跟踪训练1(1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．相交但不垂直 B．垂直C．平行 D．重合答案B解析由题意可知，直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的斜率分别为－eq\f(sinA,a)，eq\f(b,sinB)，又在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以－eq\f(sinA,a)·eq\f(b,sinB)＝－1，所以两条直线垂直．(2)已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________.答案3或－2eq\f(1,7)解析因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以，若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2，若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝eq\f(1,7)，经检验符合题意．题型二两直线的交点与距离问题例2(1)两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为()A．a＝6，d＝eq\f(\r(6),3)B．a＝－6，d＝eq\f(\r(6),3)C．a＝－6，d＝eq\f(\r(5),3)D．a＝6，d＝eq\f(\r(5),3)答案D解析依题意知直线2x－y＋3＝0与直线ax－3y＋4＝0平行，得2×(－3)－(－1)×a＝0，解得a＝6，所以两直线分别为2x－y＋3＝0和6x－3y＋4＝0，即6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，所以两直线间的距离d＝eq\f(|9－4|,\r(62＋32))＝eq\f(\r(5),3).(2)(2023·哈尔滨模拟)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为________________________．答案x＝3或y＝1解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时l与直线l1，l2的交点分别为A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，且设直线l与直线l1和l2的交点分别为A，B.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－3，,x＋y＋1＝0，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)，\f(－4k＋1,k＋1)))；联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1＝kx－3，,x＋y＋6＝0，))得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－7,k＋1)，\f(－9k＋1,k＋1))).由|AB|＝5，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)－\f(3k－7,k＋1)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－4k＋1,k＋1)－\f(－9k＋1,k＋1)))2＝52，解得k＝0，即所求直线l的方程为y＝1.综上所述，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.思维升华利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．跟踪训练2(1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是()A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0答案D解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋3＝0，,x＋2y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，))所以直线l1与l2的交点为(－1,1)，设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.(2)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为()A．3B．4C．2D．6答案B解析由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1,0)距离的平方，得其最小值为点(1,0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方，即d2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|3＋0－13|,\r(32＋42))))2＝4.题型三对称问题命题点1点关于点的对称问题例3直线3x－2y＝0关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))对称的直线方程为()A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0答案B解析方法一设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))对称的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y))，因为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x，－y))在直线3x－2y＝0上，所以3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－x))－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，所以所求直线方程为3x－2y－2＝0.方法二在直线3x－2y＝0上任取两点O(0,0)，M(2,3)，设点O，M关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))的对称点分别为O′，M′，则O′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))，M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，－3))，所以所求直线方程为eq\f(y－－3,0－－3)＝eq\f(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))),\f(2,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))))，即3x－2y－2＝0.命题点2点关于直线的对称问题例4(2022·太原模拟)已知两点A(－4,8)，B(2,4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为()A．2eq\r(13)B．9C.eq\r(74)D．10答案C解析依题意，设B(2,4)关于直线y＝x＋1对称的点为B′(m，n)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－4,m－2)＝－1，,\f(n＋4,2)＝\f(m＋2,2)＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝3，))∴B′(3,3)，连接AB′交直线y＝x＋1于点C′，连接BC′，如图，在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B′C，显然，直线y＝x＋1垂直平分线段BB′，则有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，当且仅当点C与C′重合时取等号，∴(|AC|＋|BC|)min＝|AB′|＝eq\r(－4－32＋8－32)＝eq\r(74)，故|AC|＋|BC|的最小值为eq\r(74).命题点3直线关于直线的对称问题例5两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为()A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0答案C解析设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－y1,x－x1)＝－1，,\f(x＋x1,2)－\f(y＋y1,2)－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝y＋2，,y1＝x－2，))(*)∵点M′在直线3x－2y－6＝0上，∴将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程．思维升华对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．跟踪训练3已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．解(1)设A′(x，y)，由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点为M′(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设直线m与直线l的交点为N，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．又m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.方法二∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式，得eq\f(|－2＋6＋C|,\r(22＋32))＝eq\f(|－2＋6＋1|,\r(22＋32))，解得C＝－9，∴l′的方程为2x－3y－9＝0.课时精练1．已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a,4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a等于()A．－2B．2C．－1D．1答案C解析直线l1的斜率k1＝eq\f(a－1－4,2－a)＝eq\f(a－5,2－a)，直线l2的斜率k2＝－2，所以eq\f(a－5,2－a)＝－2，解得a＝－1，经检验符合题意．2．若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c等于()A．－6B．4C．－10D．－4答案D解析因为ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，即a＝10，因为垂足为(1，b)，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10×1－4×b＋2＝0，,2×1＋5×b＋c＝0，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,c＝－17，))故a＋b＋c＝－4.3．(2023·漳州质检)已知a2－3a＋2＝0，则直线l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直线l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置关系为()A．垂直或平行 B．垂直或相交C．平行或相交 D．垂直或重合答案D解析因为a2－3a＋2＝0，所以a＝1或a＝2.当a＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：4x－2y－3＝0，k1＝－eq\f(1,2)，k2＝2，所以k1·k2＝－1，则两直线垂直；当a＝2时，l1：2x＋y－2＝0，l2：2x＋y－2＝0，则两直线重合．4．设直线l1：y＝px＋q，l2：y＝kx＋b，则下列说法正确的是()A．直线l1或l2可以表示平面直角坐标系内任意一条直线B.l1与l2至多有无穷多个交点C．l1∥l2的充要条件是p＝kD．记l1与l2的交点为M，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0可表示过点M的所有直线答案B解析对于A，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝m(m为直线与x轴交点的横坐标)，此时直线l1或l2的方程无法表示，故A错误；对于B，当p＝k且q＝b时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；对于C，当p＝k且q≠b时，l1∥l2，故C错误；对于D，记l1与l2的交点为M，则M的坐标满足l1：y＝px＋q且满足l2：y＝kx＋b，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0不表示过点M的直线l2，故D错误．5．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于()A．2eq\r(3)B．2eq\r(5)C．2D．4答案B解析因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为eq\f(|1－3|,\r(12＋－22))＝eq\f(2,\r(5))，3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为eq\f(|c1－c2|,\r(32＋42))＝eq\f(|c1－c2|,5)，于是有eq\f(|c1－c2|,5)＝eq\f(2,\r(5))⇒|c1－c2|＝2eq\r(5).6．(2023·牡丹江模拟)直线y＝eq\f(\r(3),3)x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是()A.eq\r(3)x＋y－2＝0 B.eq\r(3)x＋y＋2＝0C．x＋eq\r(3)y－2＝0 D．x＋eq\r(3)y＋2＝0答案C解析直线y＝eq\f(\r(3),3)x与直线x＝1交于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，所以直线l的斜率为－eq\f(\r(3),3)且过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，所以直线l的方程为y－eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)，即x＋eq\r(3)y－2＝0.7．已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程为()A．4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0B．x＋4y－6＝0或2x＋3y－7＝0C．x＋4y－6＝0或3x＋2y－7＝0D．4x＋y－6＝0或2x＋3y－7＝0答案A解析由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为eq\f(3－－5,2－4)＝－4，所以直线l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时，直线l的斜率为eq\f(2－－1,1－3)＝－eq\f(3,2)，此时直线l的方程是y－2＝－eq\f(3,2)(x－1)，即3x＋2y－7＝0.8．设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，P，Q分别为l1，l2上任意一点，M为PQ的中点，若|AM|＝eq\f(1,2)|PQ|，则m的值为()A．2B．－2C．3D．－3答案A解析根据题意画出图形，如图所示．直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，M为PQ的中点，若|AM|＝eq\f(1,2)|PQ|，则PA⊥QA，即l1⊥l2，则1×m＋(－2)×1＝0，解得m＝2.9．过直线3x－y＋5＝0与2x－y＋6＝0的交点，且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程是________．答案2x＋y－10＝0解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＋5＝0，,2x－y＋6＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝8，))直线x－2y＋1＝0的斜率为eq\f(1,2)，故过点(1,8)且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程为y－8＝－2(x－1)，即2x＋y－10＝0.10．已知直线l1：2x＋y＋1＝0和直线l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为________；若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为________．答案－2eq\r(5)解析已知直线l1：2x＋y＋1＝0和l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，则2＋a＝0，解得a＝－2；若l1∥l2，则2a＝1，解得a＝eq\f(1,2)，此时直线l2：2x＋y＋6＝0，显然两直线不重合，故此时l1与l2间的距离d＝eq\f(|5|,\r(1＋4))＝eq\r(5).11．(2022·岳阳模拟)点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为________．答案(－8，－3)解析设点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A(a，b),由对称性知，直线x＋y＋1＝0与线段PA垂直，所以kPA＝eq\f(b－7,a－2)＝1，所以a－b＝－5，又线段PA的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋a,2)，\f(7＋b,2)))在直线x＋y＋1＝0上，即eq\f(2＋a,2)＋eq\f(7＋b,2)＋1＝0,所以a＋b＝－11，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＝－5，,a＋b＝－11，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－8，,b＝－3，))所以点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(－8，－3)．12．已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2