2024年高考数学第一轮复习讲义第十三章13.3　绝对值不等式(学生版+解析)

§13.3绝对值不等式考试要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.知识梳理1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔________________________.②|ax＋b|≥c⇔________________________.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则________≤|a±b|≤________.(2)如果a，b，c是实数，那么______________，当且仅当________________时，等号成立．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．()(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()教材改编题1．不等式3≤|5－2x|<9的解集为()A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)2．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为________．3．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．题型一绝对值不等式的解法例1(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>－a，求a的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2)当不等式两端均为正数时，可通过两边平方的方法，转化为不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．跟踪训练1已知函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x－3)).(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)解不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(fx))≥1.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二利用绝对值不等式的性质求最值例2已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－4|.(1)解不等式f(x)≤6；(2)若不等式f(x)＋|x－4|<a2－8a有解，求实数a的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华求含绝对值函数的最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值的三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.(3)利用零点分段法，转化为分段函数求最值．跟踪训练2已知函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋m))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2))，m∈R.(1)若m＝3，求不等式f(x)>1的解集；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若对∀x∈R，不等式f(x)＋2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2))≥4都成立，求实数m的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三绝对值不等式的综合应用例3设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．跟踪训练3(2023·成都联考)已知函数f(x)＝|x－2|－a|x＋1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)<x的解集；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)当a＝2时，若关于x的不等式f(x)>m＋1恰有2个整数解，求实数m的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________§13.3绝对值不等式考试要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.知识梳理1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(×)(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(√)(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．(×)(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(√)教材改编题1．不等式3≤|5－2x|<9的解集为()A．[－2,1)∪[4,7)B．(－2,1]∪(4,7]C．(－2，－1]∪[4,7)D．(－2,1]∪[4,7)答案D解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－5|<9，,|2x－5|≥3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－9<2x－5<9，,2x－5≥3或2x－5≤－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<x<7，,x≥4或x≤1，))则不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．2．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为______．答案(－∞，4)解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4；③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．3．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．答案R解析∵|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|，且|a－b|>2，∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，即该不等式的解集为R.题型一绝对值不等式的解法例1(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>－a，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，即求|x－1|＋|x＋3|≥6的解集，当x≥1时，原不等式可化为2x＋2≥6，得x≥2；当－3<x<1时，原不等式可化为4≥6，无解；当x≤－3时，原不等式可化为－2x－2≥6，得x≤－4.综上，不等式f(x)≥6的解集为{x|x≤－4或x≥2}．(2)f(x)＝|x－a|＋|x＋3|≥|(x－a)－(x＋3)|＝|a＋3|，当且仅当(x－a)(x＋3)≤0时，等号成立．所以f(x)min＝|a＋3|>－a，当a<－3时，原不等式可化为－a－3>－a，无解；当a≥－3时，原不等式可化为a＋3>－a，解得a>－eq\f(3,2)，综上所述，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞)).思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2)当不等式两端均为正数时，可通过两边平方的方法，转化为不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．跟踪训练1已知函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x－3)).(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)解不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(fx))≥1.解(1)由题意得f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x－3))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋5，x≥\f(3,2)，,3x－1，－2≤x<\f(3,2)，,x－5，x<－2，))画出f(x)的图象，如图．(2)分别画出函数y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(fx))与y＝1的图象，如图所示，由图可知，令eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(fx))＝1，则有x＝0或x＝eq\f(2,3)或x＝4或x＝6，所以根据图象可知，要使eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(fx))≥1，则有x≤0或eq\f(2,3)≤x≤4或x≥6，所以不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(fx))≥1的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0或\f(2,3)≤x≤4或x≥6)))).题型二利用绝对值不等式的性质求最值例2已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－4|.(1)解不等式f(x)≤6；(2)若不等式f(x)＋|x－4|<a2－8a有解，求实数a的取值范围．解(1)由已知得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋3，x<－\f(1,2)，,x＋5，－\f(1,2)≤x≤4，,3x－3，x>4，))当x<－eq\f(1,2)时，原不等式可化为－3x＋3≤6，即x≥－1，∴－1≤x<－eq\f(1,2)；当－eq\f(1,2)≤x≤4时，原不等式可化为x＋5≤6，即x≤1，∴－eq\f(1,2)≤x≤1；当x>4时，原不等式可化为3x－3≤6，即x≤3(舍去)．综上，f(x)≤6的解集为[－1,1]．(2)f(x)＋|x－4|＝|2x＋1|＋|2x－8|≥9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当－\f(1,2)≤x≤4时取等号))，∵f(x)＋|x－4|<a2－8a有解，∴a2－8a>9，即(a－9)(a＋1)>0，解得a<－1或a>9，∴实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(9，＋∞)．思维升华求含绝对值函数的最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值的三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.(3)利用零点分段法，转化为分段函数求最值．跟踪训练2已知函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋m))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2))，m∈R.(1)若m＝3，求不等式f(x)>1的解集；(2)若对∀x∈R，不等式f(x)＋2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2))≥4都成立，求实数m的取值范围．解(1)当m＝3时，f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋3))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2))，则f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－5，x<－3，,2x＋1，－3≤x≤2，,5，x>2，))当x<－3时，f(x)＝－5，则f(x)>1无解；当－3≤x≤2时，令f(x)＝2x＋1>1，解得x>0，则0<x≤2；当x>2时，f(x)＝5，则f(x)>1恒成立，则x>2.综上所述，不等式f(x)>1的解集为(0，＋∞)．(2)因为f(x)＋2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2))≥4对∀x∈R都成立，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋m))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2))≥4恒成立，只需eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋m))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2))))min≥4即可，由绝对值三角不等式知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋m))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－2))≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋m))－x－2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋2))，当且仅当(x＋m)(x－2)≤0时等号成立，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋2))≥4，解得m≥2或m≤－6.故实数m的取值范围为(－∞，－6]∪[2，＋∞)．题型三绝对值不等式的综合应用例3设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．解(1)由题意得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x，x<－\f(1,2)，,x＋2，－\f(1,2)≤x<1，,3x，x≥1.))则y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上恒成立，因此a＋b的最小值为5.思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．跟踪训练3(2023·成都联考)已知函数f(x)＝|x－2|－a|x＋1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)<x的解集；(2)当a＝2时，若关于x的不等式f(x)>m＋1恰有2个整数解，求实数m的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|－|x＋1|，则不等式f(x)<x即为|x－2|－|x＋1|<x，即|x－2|<x＋|x＋1|，当x≥2时，不等式为x－2<x＋x＋1，解得x>－3，所以x≥2；当－1<x<2时，不等式为2－x<x＋x＋1，解得x>eq\f(1,3)，所以eq\f(1,3)<x<2；当x≤－1时，不等式为2－x<x－x－1，解得x>3，此时无解．综上，原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).(2)由题意，函数f(x)＝|x－2|－2|x＋1|，可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤－1，,－3x，－1<x<2，,－x－4，x≥2，))则f(x)的图象如图所示．f(－3)＝1，f(－2)＝2，f(－1)＝3，f(0)＝0，因为关于x的不等式f(x)>m＋1恰有2个整数解，由图可知，1≤m＋1<2，所以0≤m<1，故m的取值范围为[0,1)．课时精练1．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x|＋a.(1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若方程f(x)＝x有三个不同的解，求实数a的取值范围．解(1)当a＝0时，f(x)＝|x＋1|－|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，x<－1，,2x＋1，－1≤x<0，,1，x≥0.))所以当x<－1时，f(x)＝－1<0，不符合题意；当－1≤x<0时，f(x)＝2x＋1≥0，解得－eq\f(1,2)≤x<0；当x≥0时，f(x)＝1>0，符合题意．综上可得，f(x)≥0的解集为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).(2)设u(x)＝|x＋1|－|x|，则由(1)知y＝u(x)的图象和y＝x的图象如图所示．易知y＝u(x)的图象向下平移1个单位长度内(不包括1个单位长度)，与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1<a<0.所以实数a的取值范围为(－1,0)．2．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.(1)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象；(2)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围．解(1)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥2，,2－x，x<2，))g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4，x<－\f(3,2)，,4x＋2，－\f(3,2)≤x<\f(1,2)，,4，x≥\f(1,2)，))作出f(x)和g(x)的图象，如图所示．(2)由(1)得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥2，,2－x，x<2，))函数f(x＋a)的图象即为将函数f(x)的图象向左或向右平移|a|个单位长度得到的图象，当a≤0时，即为将函数f(x)的图象向右平移|a|个单位长度得到f(x＋a)的图象，此时函数f(x＋a)的图象始终有部分图象位于函数g(x)的图象下方，无法满足f(x＋a)≥g(x)，则要满足f(x＋a)≥g(x)，需a>0，f(x＋a)＝|x＋a－2|，当函数y＝|x＋a－2|的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋a－2))＝4，解得a＝eq\f(11,2)或a＝－eq\f(5,2)(舍去)，根据图象可得若f(x＋a)≥g(x)，则a≥eq\f(11,2)，即a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)，＋∞)).3．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|＋2meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m∈R)).(1)若m＝eq\f(1,2)，求不等式f(x)≤eq\f(1,2)的解集；(2)若f(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围．解(1)当m＝eq\f(1,2)时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，x<－1，,2x＋1，－1≤x≤1，