备战2024年高考数学一轮复习9.2椭圆(精练)(原卷版+解析)

9.2椭圆（精练）（提升版）题组一题组一椭圆定义及应用1．（2022高三下·广东月考）设P为椭圆上一点，分别是C的左，右焦点．若，则（）A． B． C． D．2．（2021·新高考Ⅰ）已知F1,F2是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（）A．13 B．12 C．9 D．63．（2022·东北三省模拟）已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（）A．1 B． C． D．4．（2022·柳州模拟）已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为．5．（2022·合肥模拟）已知的内角．，的对边分别为，，，若，，则面积的取值范围为．6．（2022·佛山模拟）若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是.7．（2022·郑州模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F1PF2的面积为．8．（2022·贵州模拟）设P为椭圆和双曲线的一个公共点，且P在第一象限，F是M的左焦点，则M的离心率为，.9．（2022·株洲模拟）已知、是椭圆的两个焦点，M为椭圆上一点，若为直角三角形，则．10．（2022·奉贤模拟）已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为.11．（2021·岳阳模拟）椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果的中点在y轴上，那么是的倍12．（2022·新高考Ⅰ卷）已知椭圆C：C的上顶点为A，两个焦点为离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是．题组二题组二椭圆的标准方程1．（2022·安徽合肥）已知椭圆的右焦点为F，椭圆上的两点P､Q关于原点对称，若6，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．2．（2021·四川自贡·高三（文））古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（）A． B．C． D．3．（2022云南）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A． B． C． D．4．（2022海南）已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为（）A． B．C． D．5．（2021·山西太原五中高三（文））已知两定点、和一动点，若是与的等差中项，则动点的轨迹方程为（）A． B．C． D．6．（2022·陕西模拟）已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆的方程是．题组三题组三椭圆的离心率1．（2021·芜湖模拟）已知方程表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则离心率（）A． B． C． D．2．（2022·安徽模拟）一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为的液体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．3．（2022·枣庄模拟）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点P为直线上一个动点．若的最大值为，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．4（2022·柯桥模拟）已知椭圆，则该椭圆的离心率（）A． B． C． D．5．（2023高三上·江汉开学考）已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（）A． B． C． D．6．（2022·岳阳模拟）已知椭圆及圆O：，如图，过点与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若，则椭圆离心率的为（）A． B． C． D．7．（2022·湖南模拟）中心在坐标原点O的椭圆的上顶点为A，左顶点为B，左焦点为F．已知，记该椭圆的离心率为e，则（）A． B． C． D．8（2022·毕节模拟）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．9．（2022·安徽模拟）已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．10．（2022·辽宁模拟）已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为．11．（2022·海宁模拟）如图，点F为椭圆的左焦点，直线分别与椭圆C交于A，B两点，且满足，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率．题组四题组四直线与椭圆的位置关系1．（2022·四川成都）已知椭圆，过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐标原点，若为锐角，则直线l的斜率k的取值范围为（

）．A． B．C． D．2．（2022·全国·专题练习）直线与椭圆相交两点，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（

）A．2 B． C． D．33．（2022·江苏省）椭圆上的点P到直线x+2y-9=0的最短距离为（）A． B． C． D．4．（2022·全国·高三专题练习）直线和曲线的位置关系为_____.5．（2022·全国·专题练习）不论为何值，直线与椭圆有公共点，则实数的范围是__.6．（2022·全国·高二专题练习）椭圆上的点到直线的距离的最大值为______.7．（2022·全国·单元测试）直线与椭圆相交于A、B两点，椭圆上的点P使△PAB的面积等于12，这样的点P共有______个.8．（2022·云南）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.题组五题组五弦长及中点弦1．（2022·福建）已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（

）A． B．C． D．2．（2021·全国·课时练习）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南·永州市第一中学）已知椭圆的一个顶点为，直线与椭圆交于两点，若的左焦点为的重心，则直线的方程为（

）A． B．C． D．4．（2022·广东）斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且过的左焦点，线段的中点为，的右焦点为，则的周长为______.5．（2022·上海市）已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为______.6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()与直线交于A、B两点，，且中点的坐标为，则此椭圆的方程为________．7．（2022·江苏）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为______．8．（2022·河北）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若是线段的中点，则椭圆的方程为__．9．（2021·黑龙江）已知椭圆，过点作直线交椭圆于，两点，且点是的中点，则直线的方程是___________.10．（2022·湖南邵阳）椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为______．9.2椭圆（精练）（提升版）题组一题组一椭圆定义及应用1．（2022高三下·广东月考）设P为椭圆上一点，分别是C的左，右焦点．若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】椭圆的长半轴长为3，由椭圆的定义可知，由，可得．故答案为：C2．（2021·新高考Ⅰ）已知F1,F2是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【解析】由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，

则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤，

当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.故答案为：C

3．（2022·东北三省模拟）已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，即，又，所以，由，所以；故答案为：A4．（2022·柳州模拟）已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为．【答案】9【解析】根据题意可得：a=4，b=，c=3，

则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点F(3，0)，

∴|PB|+|PF|=8，即|PB|=8-|PF|，

∵，即点A在椭圆内，

|PA|+|PB|=|PA|-|PF|+8<|AF|+8=9，

当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立.

故答案为：95．（2022·合肥模拟）已知的内角．，的对边分别为，，，若，，则面积的取值范围为．【答案】【解析】，，由余弦定理得，所以，即，又，所以在以为焦点，长轴长为6的椭圆上（不在直线上），如图以为轴，线段中垂线为轴建立平面直角坐标系，设椭圆方程为，则，所以，当是椭圆短轴顶点时，到的距离最大为，所以的最大值为，可无限接近于0，无最小值，的取值范围是，故答案为：．6．（2022·佛山模拟）若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是.【答案】（1，2）【解析】因为椭圆的焦点在y轴上，所以，解得，即实数k的取值范围为（1，2）.故答案为：（1，2）7．（2022·郑州模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F1PF2的面积为．【答案】7【解析】由题意得：，解得：，所以，设出，则，解得：，故故答案为：78．（2022·贵州模拟）设P为椭圆和双曲线的一个公共点，且P在第一象限，F是M的左焦点，则M的离心率为，.【答案】；【解析】M的离心率，设M的右焦点为，因为，且M与N的焦点都在x轴上，所以椭圆M与双曲线N的焦点相同，所以，，解得.故答案为：；.9．（2022·株洲模拟）已知、是椭圆的两个焦点，M为椭圆上一点，若为直角三角形，则．【答案】【解析】在椭圆中，，，，则.（1）若为直角，则，该方程组无解，不合乎题意；（2）若为直角，则，解得，；（3）若为直角，同理可求得.综上所述，.故答案为：.10．（2022·奉贤模拟）已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为.【答案】或10【解析】由题意，曲线的半焦距为5，若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则a>16，所以，而椭圆上的点到一个焦点距离是2，则点到另一个焦点的距离为；若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则0<a<16，所以，舍去；若曲线是双曲线，则a<0，容易判断双曲线的焦点在y轴，所以，不妨设点P在双曲线的上半支，上下焦点分别为，因为实半轴长为4，容易判断点P到下焦点的距离的最小值为4+5=9>2，不合题意，所以点P到上焦点的距离为2，则它到下焦点的距离.故答案为：或10.11．（2021·岳阳模拟）椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，如果的中点在y轴上，那么是的倍【答案】5【解析】由题得，由题得轴，当时，，所以,所以,所以是的5倍.故答案为：512．（2022·新高考Ⅰ卷）已知椭圆C：C的上顶点为A，两个焦点为离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则△ADE的周长是．【答案】13【解析】椭圆离心率为，则a=2c，，可设C：，

则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，

则△AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率，

由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|，|AD|=|DF2|，由

椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，

设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为，

与椭圆方程联立，得13x2+8cx-32c2=0，

则，

则，

解得，

即△ADE的周长=4a=13

故答案为：13

题组二椭圆的标准方程题组二椭圆的标准方程1．（2022·安徽合肥）已知椭圆的右焦点为F，椭圆上的两点P､Q关于原点对称，若6，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由椭圆的定义及椭圆的对称性可得由椭圆C的离心率为得，所以故选：A2．（2021·四川自贡·高三（文））古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵焦点F1，F2在y轴上，∴可设椭圆标准方程为，由题意可得，∴，即，∵△F2AB的周长为32，∴4a＝32，则a＝8，∴，故椭圆方程为．故选：B．3．（2022云南）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设椭圆的标准方程为()，焦距为，则：解得故选：D4．（2022海南）已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，所以可得，又因为，所以可得，即为短轴的顶点，设为短轴的上顶点，，，所以，所以直线的方程为：，由题意设椭圆的方程为：，则，联立，整理可得：，即，可得，代入直线的方程可得，所以，因为，所以，整理可得：，解得：，可得，所以椭圆的方程为：，故选：D．5．（2021·山西太原五中高三（文））已知两定点、和一动点，若是与的等差中项，则动点的轨迹方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】、，，是与的等差中项，则，即，点在以、为焦点的椭圆上，，，，，因此，椭圆的方程是.故选：B.6．（2022·陕西模拟）已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆的方程是．【答案】【解析】由已知，所以，则，设椭圆上的任一点的坐标为，则，若，则当时，，由得，满足题意，此时，椭圆方程为，若，则时，，则，即，但时，，无解．综上，椭圆方程为．故答案为：．题组三题组三椭圆的离心率1．（2021·芜湖模拟）已知方程表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则离心率（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为方程表示椭圆，所以，，所以，所以，因为焦距为，所以，解得，所以，所以故答案为：B2．（2022·安徽模拟）一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为的液体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当液面倾斜至如图所示位置时，设，.因为圆柱底面积为，故液体体积为，解得，即，，故，所以，，即，所以离心率，即椭圆离心率的取值范围是.故答案为：3．（2022·枣庄模拟）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点P为直线上一个动点．若的最大值为，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据对称性，不妨设点在第一象限且坐标为，如图，记直线与轴的交点为，设，则，由于，故，所以，，所以，因为，，当且仅当时等号成立，即时等号成立，所以，整理得，所以，解得，所以，即椭圆C的离心率为.故答案为：D4（2022·柯桥模拟）已知椭圆，则该椭圆的离心率（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为椭圆的方程为，即，故，又，故.故答案为：C.5．（2023高三上·江汉开学考）已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，.由椭圆的定义可知，所以，所以，.在△ABF1中，.所以在△AF1F2中，，即整理可得：，所以故答案为：C6．（2022·岳阳模拟）已知椭圆及圆O：，如图，过点与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若，则椭圆离心率的为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得是等边三角形，则直线的倾斜角为，其斜率为，故直线的方程为，代入椭圆方程整理得，其判别式，化简可得，则，又，所以，故答案为：A.7．（2022·湖南模拟）中心在坐标原点O的椭圆的上顶点为A，左顶点为B，左焦点为F．已知，记该椭圆的离心率为e，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据角平分线定理，结合及离心率有，化简得．设又，，当时，恒成立，故在上单调递减，所以。故答案为：C.8（2022·毕节模拟）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题知，所以直线的方程为，因为，所以直线的倾斜角为，所以直线的方程为．联立，解得，．因为为等腰三角形，，所以，即，整理得：．所以椭圆的离心率为．故答案为：D.9．（2022·安徽模拟）已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接，延长交轴于，则，又，，所以，故，即，又，所以，即.故答案为：D.10．（2022·辽宁模拟）已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为．【答案】【解析】由题可知，为直角三角形，，直线过原点，，故，又，则，在中，，即，又，解得：或（舍去）.故答案为：.11．（2022·海宁模拟）如图，点F为椭圆的左焦点，直线分别与椭圆C交于A，B两点，且满足，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率．【答案】【解析】由题知：令连接，所以，且，从而．故答案为：．题组四题组四直线与椭圆的位置关系1．（2022·四川成都）已知椭圆，过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐标原点，若为锐角，则直线l的斜率k的取值范围为（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意设直线l的方程为，、，联立方程得，则∴，，∵为锐角，则，即，，解得，又∵，∴．故选：C2．（2022·全国·专题练习）直线与椭圆相交两点，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】由题意联立方程组，解得或，因为两点在椭圆上关于原点对称，不妨取，则,设过点C与AB平行的直线为，则与AB的距离即为点C到AB的距离，也就是的边AB上的高，当与椭圆相切时，的边AB上的高最大，面积也最大，联立，得：，令判别式，解得，此时与间的距离也即是的边AB上的高为，所以的最大面积为，故选：B.3．（2022·江苏省）椭圆上的点P到直线x+2y-9=0的最短距离为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为，则所以所以椭圆上点P到直线的最短距离为故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）直线和曲线的位置关系为_____.【答案】相交【解析】曲线为：可得直线恒过，由知定点在椭圆内部，所以直线与椭圆的位置关系为相交.故答案为：相交.5．（2022·全国·专题练习）不论为何值，直线与椭圆有公共点，则实数的范围是__.【答案】【解析】方法一：把直线代入椭圆1，化为．其中．(注意这个坑)，直线与椭圆1有公共点，恒成立，化简为．上式对于任意实数都成立，，解得．实数的范围是．方法二：因为直线恒过定点所以代入得即因为是椭圆，所以故的取值范围是．故答案为：．6．（2022·全国·高二专题练习）椭圆上的点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】设与直线平行的直线与椭圆相切，由得，由得，，解得设直线与直线的距离为，当时，直线为，则，当时，直线为，则，因为，所以椭圆1上的点到直线的距离的最大值为.故答案为：7．（2022·全国·单元测试）直线与椭圆相交于A、B两点，椭圆上的点P使△PAB的面积等于12，这样的点P共有______个.【答案】2【解析】易知直线过点，则即为直线与椭圆交点，不妨设，，设到直线的距离为，则，解得，作与直线平行且与椭圆相切的直线，设，联立椭圆方程化简得，由解得，则或，又因为与距离为，与距离为，故这样的点P共有2个.故答案为：2.8．（2022·云南）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意设椭圆的方程为，因为椭圆经过点且长轴长为，所以，所以椭圆方程为，（2）因为直线过点且斜率为1，所以直线的方程为，设，将代入，得，整理得，所以，所以题组五题组五弦长及中点弦1．（2022·福建）已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意知，，消去y，得，则，，所以A、B两点中点的横坐标为：，所以中点的纵坐标为：，即线段AB的中点的坐标为.故选：B2．（2021·全国·课时练习）已知双曲线方程，则以为中点的弦所在直线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设直线交双曲线于点、，则，由已知得，两式作差得，所以，，即直线的斜率为，故直线的斜率为，即.经检验满足题意故选：B.3．（2022