备考2025届高考数学一轮复习分层练习第四章三角函数第4讲简单的三角恒等变换

第4讲简洁的三角恒等变换1.[2024黑龙江鹤岗一中模拟]已知tan（π－α）＝－2，则11+cos2α＝（A.23 B.34 C.45 解析因为tan（π－α）＝－2，所以tanα＝2，则11+cos2α＝sin2α＋2.若θ为锐角，cos（θ＋π4）＝－210，则tanθ＋1tanθ＝（A.1225 B.2512 C.247 解析因为cos（θ＋π4）＝cosθcosπ4－sinθsinπ4＝22（cosθ－sinθ）＝－2sinθ＝－15解法一因为sin2θ＋cos2θ＝1且有0＜θ＜π2，所以sinθ＝45，cosθ＝35，所以tanθ＝sinθcosθ＝43，所以tanθ＋1tan解法二将cosθ－sinθ＝－15两边平方，整理得1－2sinθcosθ＝125，所以sinθcosθ＝1225，所以tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cos3.[2024四川成都新都一中模拟]sin50°1－cos80°3cos10°A.63 B.64 C.66 解析sin50°1－cos80°3cos10°＝2sin50°·sin40°3cos10°4.[数学文化]魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则1－2cosA.－18 B.－8 C.8 D.解析将π≈4sin52°代入1－2cos27°π－cos14°8sin（90°+14°）5.[浙江高考]若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos（π4＋α）＝13，cos（π4－β2）＝33，则cos（αA.33 B.－33 C.539 解析不难发觉α＋β2＝（π4＋α）－（π4－β2）.留意到0＜α＜π2，则π4＜α＋π4＜3π4，所以sin（又－π2＜β＜0，所以0＜－β2＜π4，所以π4＜π4－β2＜π2，所以sin（π4－β2）＝1－（33）2＝63，从而cos（α＋β2）＝cos[（π4＋α）－（π4－β2）]＝cos（π4＋α）cos（π4－β2）＋sin6.[2024浙江联考]已知2sinα－sinβ＝3，2cosα－cosβ＝1，则cos（2α－2β）＝（D）A.－18 B.154 C.14 解析由题可得，（2sinα－sinβ）2＝3，（2cosα－cosβ）2＝1，即4sin2α－4sinαsinβ＋sin2β＝3，4cos2α－4cosαcosβ＋cos2β＝1，两式相加可得4－4sinαsinβ－4cosαcosβ＋1＝4，即cosαcosβ＋sinαsinβ＝14，故cos（α－β）＝14，cos（2α－2β）＝2cos2（α－β）－1＝2×116－1＝－77.[2024广东阳江模拟]已知α∈（0，π），若3（sinα＋sin2α）＋cosα－cos2α＝0，则sin（α－π12）＝（CA.22 B.32 C.6＋2解析∵3（sinα＋sin2α）＋cosα－cos2α＝0，∴3sinα＋cosα＝cos2α－3sin2α，∴sin（α＋π6）＝sin（π6－2α），∴α＋π6＝π6－2α＋2kπ或α＋π6＋π6－2α＝2kπ＋π，k∈Z，即α＝2kπ3或α＝－（6k+2）π3，k∈Z，又α∈（0，π），∴α＝2π3，∴sin（α－π12）＝sin（2π3－π12）＝sin7π128.已知cos4α－sin4α＝23，且α∈（0，π2），则sin2α＝53，cos（2α＋π3）＝解析∵cos4α－sin4α＝（sin2α＋cos2α）（cos2α－sin2α）＝cos2α＝23，又α∈（0，π2），∴2α∈（0，π），∴sin2α＝1－cos22α＝53，cos（2α＋π3）＝12cos2α－32sin29.[2024湖南张家界模拟]已知锐角α满意1＋3tan80°＝1sinα，则α解析1＋3tan80°＝sin80°＋3cos80°sin80°＝2sin（80°+60°）sin80°＝2sin140°2sin40°cos40°＝2sin40°2sin40°10.化简并求值.（1）3－（2）（1cos280°解析（1）原式＝3－4sin20°（1－2sin220°）2sin20°sin480°＝（2）原式＝（cos10°－3cos80°)(cos10°＋3cos80°）cos11.设θ∈R，则“0＜θ＜π3”是“3sinθ＋cos2θ＞1”的（AA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析3sinθ＋cos2θ＞1⇔3sinθ＞1－cos2θ＝2sin2θ⇔（2sinθ－3）sinθ＜0⇔0＜sinθ＜32.当0＜θ＜π3时，0＜sinθ＜32；当0＜sinθ＜32时，2kπ＜θ＜π3＋2kπ，k∈Z或2π3＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z.所以0＜θ＜π3是3sinθ＋12.已知tanα＝13，tanβ＝－17，且α，β∈（0，π），则2α－β＝（CA.π4 B.π4C.－3π4 D.π4或解析∵tanα＝13＞0，且α∈（0，π），∴α∈（0，π2），2α∈（0，π），∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－（13）2＝34＞0，∴2α∈（0，π2）.∵tanβ＝－17＜0，且β∈（0，π），∴β∈（π2，π），∴2α－β∈（－π，013.[2024武汉模拟]f（x）满意：∀x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，都有x2f（x1）－x1f（x2）x1－x2＜0.a＝sin7°sin83°，b＝tan8°1+A.f（a）a＜B.f（a）aC.f（b）b＜D.f（c）c解析a＝sin7°sin83°＝sin7°cos7°＝12sin14°，b＝tan8°1+tan28°＝sin8°cos8°cos28°＋sin28°＝12sin16°，c＝cos25π24－12＝12cos5π12＝12sinπ12＝12sin15°，∴a＜c＜b.由题知，∀x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，都有x214.[多选]已知tan（α＋β）＝tanα＋tanβ，其中α≠nπ2（n∈Z）且β≠mπ2（m∈Z），则下列结论确定正确的是（A.sin（α＋β）＝0 B.cos（α＋β）＝1C.sin2α2＋sin2β2＝D.sin2α＋cos2β＝1解析由条件得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tanα＋tantanα＋tanβ＝0，所以α＝kπ－β，k∈Z，即α＋β＝kπ，k∈Z，所以sin（α＋β）＝0，故A正确；对于B选项，cos（α＋β）＝coskπ＝±1，故B错误；对于C选项，sin2α2＋sin2β2＝sin2（kπ2－β2）＋sin2β2，当k为偶数时，sin2α2＋sin2β2＝sin2β2＋sin2β2＝2sin2β2，故C错误；对于D选项，sin2α＋cos2β＝sin2（kπ－β）＋cos2β＝sin215.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于点A，B，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝55，点B的纵坐标是210（1）求cos（α－β）的值；（2）求2α－β的值.解析（1）由题意，｜OA｜＝｜OM｜＝1，∵S△OAM＝12｜AO｜·｜OB｜·sinα＝12sinα＝55∴sinα＝255，cosα＝又点B的纵坐标是210，且β为钝角，∴sinβ＝210，cosβ＝－∴cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝55×（－7210）＋255（2）∵cos2α＝2cos2α－1＝2×（55）2－1＝－35，sin2α＝2sinαcosα＝2×255×∴2α∈（π2，π∵β∈（π2，π），∴2α－β∈（－π2，π∵sin（2α－β）＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝45×（－7210）－（－35）×∴2α－β＝－π416.[情境创新/2024盐城模拟]已知由sin2x＝2sinxcosx，cos2x＝2cos2x－1，cos3x＝cos（2x＋x）可推得三倍角余弦公式cos3x＝4cos3x－3cosx，已知cos54°＝sin36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin18°＝5－14；如图，已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成的，则HE·HG＝5＋解析因为cos54°＝cos（90°－36°）＝sin36°，所以4cos318°－3cos18°＝2sin18°·cos18°，即4cos218°－3＝2sin18°，即4（1－sin218°）－3＝2sin18°，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，因为0＜sin18°＜1，所以sin18°＝－2+4+168在五角星ABCDE中，EG＝EI，HG＝HI，HE＝HE，故△EHG≌△EHI，又正五边形中每个内角均为