输运过程的基本方程及基本流动形式

1、第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式高分子流变学研究高分子液体在流动过程中所表现的非线性粘弹性及其规律，广义而言，这些内容均属于连续介质力学的范畴，属于输运过程。因此象所有材料的真实物理过程一样，高分子流变过程也必然遵循自然界普遍适用的最基本的守恒定律。在输运过程范畴内，这些守恒定律主要表现为质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。高分子流变过程与其他流体输运过程的主要差别在于高分子液体是一种特殊的非线性粘弹性流体，这种特殊性表现在其特殊的流变本构方程上。为定量地研究高分子材料在流变测量和合成或加工工程中的流动规律，为高分子材料设计、加工工艺设计、模具和设备设计提供系统地计算基础和设计方

2、法，本章介绍输运过程基本方程的物理意义和方程形式，讨论其在几种典型高分子材料流动形式中的应用。1 连续性方程质量守恒律设无限大空间内充满流体，在固定的空间坐标系中任取封闭曲面A，设其包围体积为"（图5-1）。考察单位时间内曲面A中包围流体的质量变化率为 (5-1)式中；(x，t)为时刻t，空间任一点x的质量密度。积分是对体积"的体积分。该质量变化率应等于单位时间内穿过曲面A的净质量流量。在A上任取面元dA，设 dA的方向指向封闭曲面的外法线方向。假定dA处流体的流速为v，则单位时间通过dA的体积流量为（- v · dA），这是两个矢量的点乘，负号的出现是由于规定了

3、以流进封闭曲面的流量为正流量（使封闭曲面内物质增多），流出为负流量。相应的通过dA的质量流量为（-v · dA），于是有 （5-2）我们称（5-2）式为连续性方程的积分型式。公式表明单位时间内体积"中流体的质量变化等于该时间内穿过曲面A的净流量，其物理本质为质量守恒定律。后一个积分是对包围体积"的封闭曲面A作的面积分。图5-1 推导连续性方程示意图利用场论中的Gauss定理可将一个面积分转化为体积分，于是（5-2）式可改写为： （5-3）式中为一个矢量微分算符，称Hamilton算符，其显式为： （5-4）为三个坐标轴单位矢量，见（3-18）式。（5-3）式中的称

4、为对乘积求散度运算。由于区域为无限大空间中任取的区域，所以（5-3）式积分等于零，只有被积函数等于零： （5-5）此公式称连续性方程的微分型式。 对于任何一种稳定流动，有 所以由（5-5）式得知： （5-9） 对于不可压缩流体的稳定流动，进一步有： （5-10） 在直角座标系中，（5-10）式的显式表示为： （5-11）这是不可压缩流体稳定流动的连续性方程。对于大多数高分子材料熔体加工过程均可近似地视其为不可压缩流体的稳定流动，故连续性方程可用（5-10）式表式。注意采用的坐标系不同，（5-10）式的显式表示不同。其中直角坐标系和柱坐标系中的连续性方程最常用。2 运动方程动量守恒律 按质点的动

5、量定理有 （5-13）式中m为质点的质量，Fi为质点所受的外力。公式的物理意义为质点的动量变化率等于质点所受的外力和。考察流体中一无限小流体元，其速度为v，动量为，见图（5-2）。图5-2 推导动量方程示意图取动量矢量的分量研究。由（5-13）式有： （5-14）由于为流体元质量，在考察中保持不变，故上式改写为。 外力包括流动时作用在体积元上的压力在方向的分量，粘弹力在方向的分量VE1 和重力在方向的分量G1。通过计算可以求得它们分别等于： （5-15） （5-16） （5-17） 式中（-p）为流体内压力，为偏应力张量的分量，其中为弹性力分量，为粘性力分量，为重力加速度在方向的分量。 代入（

6、5-14）式，得到。 （5-18）同理可求出动量方程在，方向的分量式。综合写成张量表示式： （5-19）此式称一般粘弹性流体的动量方程，也称运动方程。式中p为压力梯度，记为 （5-20）注意式中最后一个等号的右侧表示三项求和的缩记形式。采用这种书写方式，原有的求和号可以省略。于是Hamilton算子可缩记为 （5-21）而 （5-22）公式（5-19）表示，流体元流动中动量的变化有三种外力的贡献，分别是压力、粘弹力和重力。由于高分子流体粘度很大，重力影响很小，常忽略不计。因此影响流动的主要外力为压力和粘弹力，流动形式也可区分为由压力引起的压力流和由粘弹力引起的拖曳流。对不可压缩的牛顿流体，为常

7、数，偏应力张量，粘度0为常数，故（5-19）式得以简化： (5-23) 此方程即著名的Navier-Stokes方程，为牛顿流体力学中的基本方程。在这儿它只是粘弹性流体运动方程的一个特例。式中称Laplace算子，在直角坐标系中的显式为： (5-25)3 能量方程能量守恒律能量守恒律有多种表示方法，我们取热力学第一定律来研究。设一个封闭体系的内能为E，动能为K，它与外界的功交换和热量交换分别记为和，则热力学第一定律，即能量守恒律表示为： （5-26）公式的物理意义为：封闭体系的任何能量变化，或源于与外界的功交换，或源于与外界的热交换，否则能量守恒。注意（5-26）式的成立基于各物理量符号的规定

8、，此处规定体系能量升高为正，外界对体系作功为正，体系吸收热量为正。反之为负。设无限大空间内充满连续流体，取在某一瞬时占有空间域A（体积为）的流体系统研究。按（5-26）式，它在单位时间内的能量变化律为： （5-27）式中Wi 为外力对体系做功的功率。注意此处因针对确定流体元研究，故所取时间导数为物质导数。图5-3 推导能量方程示意图对A域中的流体系统而言，其内能和动能分别为： （5-28） （5-29）式中e为内能密度，单位为Jkg-1，积分是对体积的体积分。 设A域中的流体与外界的热量交换只计传导热，不计辐射热。按Fourier导热定律，热流矢量q等于 （5-30）式中q的单位为J·

9、;m-2·s -1 ；k为导热系数，单位为J·（m·s·K）-1 ；为温度梯度，式中负号的意义为热量总是沿温度下降的方向传导的。于是A域内的流体与外界的热量交换率为（参看图5-3）： （5-31）式中负号的引入是因为按规定，导入体系的热量为正。公式中也引用了将面积分转化为体积分的Gauss定理。再求外力对体系作功的功率。外力主要指压力与粘弹力。其功率为 （5-32） 将（5-28）（5-32）式代入（5-27）中，得到流动过程中能量方程的积分型式为： （5-33） 通过适当的演算（演算过程略），还可得到能量方程的微分型式： （5-34） 式中为密度，cv

10、为流体的定容比热，T为绝对温度，q为热流矢量，p为流体内压力，而张量与的二次点乘等于： 方程最左边的写法，有两对求和指标。表示先对j求和，再对i求和。展开来写，即为： (5-35)它是九项对应乘积之和。其中既有剪切应力分量与剪切速度梯度的贡献（粘性力贡献），又有法向应力分量与拉伸速度梯度的贡献（弹性力贡献）。 对于不可压缩流体而言，因为，故能量方程简化为： （5-36） 其物理意义为，流体流动过程中体系能量的变化，决定于与外界的热交换和功交换。对于粘弹性流体而言，功交换既包括粘性力贡献，也包括弹性力贡献。 大多数高分子流体的测量和加工过程近似遵循上述简化方程。另外注意，不同的坐标系下，运动方程

11、和能量方程的显式不同。例题：不可压缩粘弹性流体在稳态简单剪切流场中的输运方程。输运过程的基本方程应用在解决具体问题时，由于问题的特殊性，许多情况下方程可以简化，使之易于求解。考察不可压缩的粘弹性流体在稳态简单剪切流场中的流动。稳态简单剪切流场的定义式见（2-46）式。流体的速度分量只有v1分量不等于零；v1的速度梯度分量只有不等于零。在简单剪切流场，偏应力张量中的剪切应力分量只有；另外还要考虑法向应力分量。假定流体与外界的热交换只沿着x2方向进行，热流矢量只有q2分量不等于零。忽略重力的影响。根据上述简化假定，输运过程基本方程得以简化，得到：连续性方程为： (5-37)运动方程为： (5-38

12、)能量方程为： (5-39)该方程组比原始方程简化了许多，容易求解。为了求得上述方程组的解析解，还必须引入粘弹性流体的本构方程及一定的边界条件或初始条件，使方程组完备性得到满足才行。4 平行板间的等温拖曳流和管道中的压力流4 1 平行板间的等温拖曳流讨论两块无限大平板间的等温拖曳流。这种流动又称Couette流动。比如在挤出成型过程中，挤出机的螺杆转动，由此带动物料运动，而机筒不动。所谓等温流动，指流动过程中两块大板的温度TW保持不变，但这并不意味着物料与外界没有热交换。在两平行大板间安排直角坐标系如图5-4所示。假定两块板间距为H，板间充满流体。设上板以速度v0沿x方向运动，拖动板间流体也沿

13、x方向流动，下板静止。流动期间两板温度保持不变为TW 。求板间流体的速度分布与温度分布情形。为方便求解，需要首先把讨论的问题简化和明确一下：a） 设板间流体为不可压缩的牛顿型流体，其密度r和粘度h0为常数。b) 设板间距H远远小于板的几何尺寸（长度和宽度），于是边缘效应忽略不计。设板间流体的流速只有v x分量不等于零，v x也只有沿y方向的速度梯度分量不等于零。c) 物料在板壁上无滑移。该假定称壁面无滑移假定。d) 流体与外界的热交换只通过两块大板进行，即热流矢量只有qy分量不等于零。e) 设流体内压力p为常数；重力和惯性力忽略不计。图5-4 两平行板间的Couette流动由上述简化假定，输运

14、过程基本方程得以大大简化，得到：连续性方程： （5-40） 运动方程： x方向 （5-41） y方向 （5-42） 能量方程： （5-43）而热流矢量等于 （5-44）代入得到： （5-45） 上述方程联立得到一个方程组，但该方程组并不完备。为了求解，还必需采用所研究的流体对象牛顿型流体的本构方程： （5-46）和必要的边界条件。在本问题中，边界条件为： （5-47） 上述方程组合在一起，构成一个定解问题。通过简单的运算，容易求得流体在两块无限大平板间等温拖曳流中的速度分布和温度分布： （5-48）以及流体内的剪切应力，可见，该剪切应力等于常数值。 图5-5绘出流场内的速度分布和温度分布图。由

15、图知，在无限大平行板间的等温拖曳流中，速度分布为线性分布，即速度分量v x沿y方向线性变化；而温度分布为抛物线分布，在流道中央y=H/2处温度最高，接近两板处流体温度与板的温度相等，等于TW 。流道中央物料温度升高的原因是由于粘性流动耗散外部能量所致，因此在流动中两块大板要保持预先设定的温度不变，必须加以冷却，将热量导出流体。这也提醒我们在实际加工中，机筒内物料的真实温度要比加工设备的设定温度高许多，要注意防止物料“烧焦”。图5-5 两板间流场的速度分布及温度分布4 2 圆形管道中的压力流 管道中的压力流存在于许多高分子流变测量仪器和高分子材料加工过程中，比如毛细管流变仪、熔融指数仪、挤出机口

16、模、注射模具流道中。按管道截面形状不同，又分为圆形管道，矩形管道，异形流道等多种。物料在管中流动，是因为管道两端存在压力差，因此称压力流。又称Poiseuille流动。现在以圆形管道为例，讨论流体在压力作用下的流动情况。设管道内径为R，长度为L，在管道内取柱坐标系（r，z）如图5-6所示。物料沿z方向流动，在不同半径r处物料流速不等，故r方向为速度梯度方向；方向为中性方向。图5-6 圆形管道中的Poiseuille流动同样，对流动情况作适当的简化假定：1） 设物料为不可压缩的遵循幂律方程的非牛顿型粘性流体。2） 设管径R<<管长L；流速只有z分量vz不等于零，vz也只有沿r方向的速

17、度梯度分量不等于零。物料在管壁无滑移。偏应力张量中只有。3） 管壁温度为恒温TW ；流体与外界的热交换只通过管壁进行，即热流矢量只有q r分量不等于零。温度场不随时间变化。4） 设流体内压力p沿z方向有梯度，压力梯度为常数。重力和惯性力忽略不计。由此可以得到输运过程基本方程的简化形式。注意本例中我们采用的是柱坐标系，由于坐标基矢量的不同，输运过程基本方程的显式在不同坐标系中也不相同。具体到本例中，其简化形式为：连续性方程： （5-49） 运动方程： z方向 （5-50） 能量方程： （5-51）其中热流矢量等于 （5-52） 同样引入所研究的流体对象幂律流体的本构方程： （5-53）和边界条件。在本问题中，边界条件为： （5-54） 解上述方程定解问题，得到幂律流体流过圆管的压力流场中的速度分布和温度分布： （5-55） （5-56）式中：k为流体的导热系数，K为幂律方程的系数，n为非牛顿指数。（5-55）式中出现负号的意义是物料总是沿着压力下降方向流动。讨论：首先由上式得到管壁处（r = R）物料的流速为零，而温度为TW ；管道轴心处（r = 0）的流速和温度分别为： （5-57） （5-58）可以看