备考2025届高考数学一轮复习分层练习第一章集合常用逻辑用语与不等式第5讲二次函数与一元二次方程不等式

第5讲二次函数与一元二次方程、不等式1.[2024安徽宿州模拟]不等式2x+11－x≥0的解集为（A.{x｜－12≤x≤1B.{x｜－12≤x＜1C.{x｜x≤－12或x≥1D.{x｜x≤－12或x＞1解析由题意2x+11－x≥0，即（2x+1)(x－1）≤0，1－x≠0，解得－12≤x＜2.[2024江苏无锡模拟]下列不等式中，解集为R的是（A）A.x2－1x2+2＜1 B.－x2＋C.x2＋6x＞9 D.x2－42x＋6≥0解析对于A，x2－1＜x2＋2，且x2＋2＞0，所以x2－1x2+2＜1x＝2时，－x2＋4x－3＝－22＋4×2－3＝1＞0，B不符合题意；对于C，x＝0时，x2＋6x＝0＜9，C不符合题意；对于D，Δ＝（－42）2－4×1×6＝8＞0，因此不等式的解集不是R，D不符合题意.故选A.3.不等式ax2－（a＋2）x＋2≥0（a＜0）的解集为（A）A.{x｜2a≤x≤1} B.{x｜1≤x≤2C.{x｜x≤2a或x≥1} D.{x｜x≤1或x≥2解析原不等式可以转化为（x－1）（ax－2）≥0，当a＜0时，可知（x－2a）（x－1）≤0，对应的方程的两根为1，2a，且2a＜1，所以原不等式的解集为{x｜2a≤x≤14.[2024云南文山模拟]若不等式2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（DA.{k｜－3＜k＜0} B.{k｜－3≤k＜0}C.{k｜－3≤k≤0} D.{k｜－3＜k≤0}解析当k＝0时，－38＜0对一切实数x都成立，满意要求；当k≠0时，由题意得2k<0，Δ＝k2－4×2k×（－38）<0，解得－3＜k＜5.[2024山西太原模拟]不等式ax2－bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则函数y＝ax2－bx＋c的图象可能为（A） A B C D解析因为ax2－bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，所以方程ax2－bx＋c＝0的两根分别为－2和1，且a＜0，则函数y＝ax2－bx＋c的图象开口向下，且与x轴的交点坐标为（1，0）和（－2，0），故A选项的图象符合.故选A.6.[2024陕西咸阳模拟]已知当x＞0时，不等式x2－mx＋16＞0恒成立，则实数m的取值范围是（A）A.（－∞，8） B.（－∞，8] C.[8，＋∞） D.（6，＋∞）解析依据题意当x＞0时，不等式x2－mx＋16＞0恒成立，则m＜x2+16x＝x＋16x恒成立，只需m＜（x＋16x）min即可.易知当x＞0时，由基本不等式可得x＋16x≥2x·16x＝8，当且仅当x＝4时取等号，所以（x＋16x）min＝8，即m＜8，所以实数7.[2024天津模拟]若不等式ax2－bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜3}，则不等式bx2＋ax＋c＜0的解集为（C）A.{x｜－3＜x＜2}B.{x｜x＜－2或x＞3}C.{x｜x＜－3或x＞2}D.{x｜－2＜x＜3}解析由不等式ax2－bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜3}，可知方程ax2－bx＋c＝0的两根为－2，3，且a＜0，则ba=1，ca＝－6，可得b＝a，c＝－6a，对于不等式bx2＋ax＋c＜0，即ax2＋ax－6a＜0，且a＜0，可得x2＋x－6＞0，解得x＞2或x＜－3，所以不等式bx2＋ax＋c8.已知关于x的一元二次方程x2＋（a2＋1）x＋a－2＝0的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（C）A.（－3，1） B.（－2，0）C.（－1，0） D.（0，2）解析记f（x）＝x2＋（a2＋1）x＋a－2，则其图象开口向上，要使原方程的根一个大于1，一个小于1，则只须要f（1）＝1＋a2＋1＋a－2＜0，解得－1＜a＜0，故选C.9.[浙江高考]若函数f（x）＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m（B）A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关解析解法一由f（x）＝x2＋ax＋b的图象可知，a确定对称轴位置，b确定上下平移的距离，则易知M－m的值与上下平移距离无关，与左右平移距离有关，故选B.解法二由题意得f（x）＝（x＋a2）2－a24＋b，分状况探讨：①当0≤－a2≤1时，f（x）min＝m＝f（－a2）＝－a24＋b，f（x）max＝M＝max{f（0），f（1）}＝max{b，1＋a＋b}，∴M－m＝max{a24，1＋a＋a24}与a有关，与b无关；②当－a2＜0时，f（x）在[0，1]上单调递增，∴M－m＝f（1）－f（0）＝1＋a与a有关，与b无关；③当－a2＞1时，f（x）在[0，1]上单调递减，∴M－m＝f（0）－f（1）＝－1－a与a有关，与10.[多选/2024四川泸州模拟]某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将削减2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（ABC）A.15 B.16 C.18 D.20解析因为这批台灯的售价为x元（x≥15），且这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，所以x[30－2（x－15）]＞400，化简得－2x2＋60x－400＞0，解得10＜x＜20，所以15≤x＜20.故选ABC.11.[多选]设函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），对随意实数t都有f（4＋t）＝f（－t）成立，则在函数值f（－1），f（1），f（2），f（5）中，最小的可能是（ACD）A.f（－1） B.f（1） C.f（2） D.f（5）解析由已知得f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴方程是x＝2.当a＞0时，函数值f（－1），f（1），f（2），f（5）中，最小的是f（2）；当a＜0时，函数值f（－1），f（1），f（2），f（5）中，最小的是f（－1）和f（5）.故选ACD.12.已知关于x的不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为{x｜－2＜x＜7}，则函数y＝x2＋bx＋a的全部零点之和等于－514解析由题设，易知－2，7是ax2＋bx＋1＝0的两个根，则a<0，－ba=5，1a＝－14，所以a＝－114，13.[2024湖北武汉模拟]在关于x的方程x2－ax＋4＝0，x2＋（a－1）x＋16＝0和x2＋2ax＋3a＋10＝0中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是（C）A.{a｜－4≤a≤4} B.{a｜a≥9或a≤－7}C.{a｜a≤－2或a≥4} D.{a｜－2＜a＜4}解析若方程x2－ax＋4＝0，x2＋（a－1）x＋16＝0和x2＋2ax＋3a＋10＝0都没有实数根，则Δ1＝a2－16<0，Δ2＝（a－1）2－64<0，Δ3=4a2－4（3a＋10）<0，解得－2＜a＜4.因为方程x2－ax＋4＝0，x2＋（14.[2024江苏省常州一中阶段质量调研]已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋2a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的取值集合是{3，4}.解析令f（x）＝x2－6x＋2a，易知此函数图象开口向上，对称轴为直线x＝－－62×1＝3，因为一元二次不等式x2－6x＋2a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以这三个整数分别是2，3，4，则有f（2）≤0，f（1）>0，即4－6×2+2a≤0，1－6×1+2a>015.[2024贵州名校联考]若关于x的方程mx2＋2x＋2＝0至少有一个负实根，则实数m的取值范围是（－∞，12]解析当m＝0时，方程为2x＋2＝0，有一个负实根.当m≠0时，mx2＋2x＋2＝0为一元