备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题22平面向量

专题22平面对量【考点预料】一、向量的基本概念1、向量概念既有大小又有方向的量叫向量，一般用，，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如（其中A为起点，B为终点）.注：谈到向量必需说明其方向与大小.向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作或.2、零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量零向量：长度为零的向量，记为，其方向是不确定的.单位向量：模为1个单位长度的向量.当时，向量是与向量共线（平行）的单位向量.相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为.平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上.规定零向量与任何向量平行（共线），即.注：①数学中探讨的向量都是自由向量，可以随意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几何中平行不行以重合；③，，不愿定有，因为可能为.二、向量的线性运算1、向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量，，在平面内任取一点A，作，，则向量叫做向量与的和（或和向量），即.向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图所示，向量=.2、向量的减法（1）相反向量.与长度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，记作.（2）向量的减法.向量与的相反向量的和叫做向量与的差或差向量，即=.向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图所示，，则向量.3、向量的数乘（1）实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度和方向规定如下：①②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反；当时，方向不确定；时，方向不确定.（2）向量数乘运算的运算律.设、为随意向量，、为随意实数，则；；.三、平面对量基本定理和性质1、共线向量基本定理假如，则；反之，假如且，则确定存在唯一的实数，使.2、平面对量基本定理假如和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内全部向量的一组基底，记为.叫做向量关于基底的分解式.3、三点共线定理平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，O为平面内一点.四、平面对量的坐标表示及坐标运算（1）平面对量的坐标表示.在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面对量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对（）叫做向量的坐标，记作=（）.(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量（）向量点（）.（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.若=（），为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标.（4）设A，B，则=， 即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.五、向量的平行设，.的充要条件是.除了坐标表示外，下面两种表达也常常运用：当时，可表示为；当时，可表示为，即对应坐标成比例.六、平面对量的数量积(1)已知两个非零向量和，作＝，＝，叫作向量与的夹角．记作，并规定.假如与的夹角是，就称与垂直，记为.(2)叫作与的数量积，记作，即.规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量与垂直的充要条件是=0.两个非零向量与平行的充要条件是.七、平面对量数量积的几何意义数量积等于的长度||与在方向上的射影||cosθ的乘积．即＝||||cosθ.(在方向上的射影||cosθ;在方向上的射影||cosθ).八、平面对量数量积满意的运算律（1）（交换律）；（2）为实数）；（3）（支配律）。数量积运算法则满意交换律、支配律，但不满意结合律，不行约分.九、平面对量数量积有关性质的坐标表示设向量由此得到（1）若；（2）设两点间距离（3）设的夹角，则【典例例题】例1．（2024·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预料）下列说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．平行向量不愿定是共线向量C．对于随意向量，必有D．若满意且与同向，则【答案】C【解析】依题意，对于A，单位向量模都相等，方向不愿定相同，故错误；对于B，平行向量就是共线向量，故错误；对于C，若同向共线，，若反向共线，，若不共线，依据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知.综上可知对于随意向量，必有，故正确；对于D，两个向量不能比较大小，故错误.故选：C.例2．（2024·辽宁沈阳·高二学业考试）如图，是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点，设，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点，所以.故选：C.例3．（2024秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）已知向量，若与共线，则（

）A． B． C． D．6【答案】A【解析】因为与共线，所以．故选:A．例4．（2024秋·湖南益阳·高三统考期末）如图所示的矩形中，满意，为的中点，若，则的值为（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】连接，由题可知，又因为为的中点，所以，所以，所以，所以.故选：A.例5．（2024秋·山西太原·高三统考阶段练习）在矩形中,,点满意,则（

）A． B．14 C． D．【答案】A【解析】解:由题不妨以为坐标原点,方向分别为轴建立如图所示直角坐标系,则所以,,因为设,所以,解得,所以,所以.故选:A例6．（2024·安徽马鞍山·统考一模）已知平面对量，，则在上的投影向量为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题知，，所以，设与夹角为，所以在上的投影向量是，故选：.例7．（2024秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为向量，所以，解得，所以，故选：C例8．（2024秋·山西太原·高三统考期末）已知，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】所以所以向量与的夹角为故选：C例9．（2024春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知向量的夹角的余弦值为，，，则（

）A．-4 B．-1 C．1 D．4【答案】C【解析】由题意不妨设，，则，，由，可得，即，又由，解得，所以.故选：C.例10．（2024秋·河北石家庄·高三统考期末）中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且，.则（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】因为点M是BC的中点，所以，故，则，故，因为三点共线，所以存在使得，即，则，所以，解得：.故选：A例11．（2024·全国·高三专题练习）在平行四边形中，分别为上的点，且，连接，与交于点，若，则的值为______.【答案】【解析】在中，不共线，因为，则有，又三点共线，于是得，解得，所以的值为.故答案为：例12．（2024秋·河北保定·高三统考期末）已知向量，，，，则___________．【答案】【解析】因为向量，，，所以，因为，所以有，故答案为：例13．（2024秋·江西萍乡·高三统考期末）在平面直角坐标系中，向量满意则__________【答案】0【解析】因为，所以，所以，所以.故答案为：【技能提升训练】一、单选题1．（2024·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，DE=EC，CF=2BF，设，，则=（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，，设，由对应系数相等得.故选：D.2．（2024·广东茂名·统考一模）在中，，，若点M满意，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得：.故选：A.3．（2024秋·湖北武汉·高二校联考期末）已知向量，且与相互平行，则的值（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】∵向量，，∴，，∵与相互平行，∴，解得．故选：C．4．（2024秋·山东滨州·高三统考期末）在四边形中,,,点在线段上,且,设,,则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解:由题知,,，画出示意图如下:因为,,,所以.故选:C5．（2024秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）已知向量，若，则实数m的值是（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【解析】由，得，解得.故选：A.6．（2024·广东·高三统考学业考试）已知向量，不共线，若，，，则（

）A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线【答案】B【解析】对于A，因为，，若A，B，C三点共线，则存在实数使得，则，无解，所以A，B，C三点不共线，故A错误；对于B，∵，∴，又∵A是公共点，∴A，B，D三点共线，故B正确；对于C，因为，，所以，若A，C，D三点共线，则存在实数使得，又，所以，无解，所以A，C，D三点不共线，故C错误；对于D，若B，C，D三点共线，则存在实数使得，又，，所以，无解，所以B，C，D三点不共线，故D错误；故选：B.7．（2024春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）已知AB是的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】是的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，且，．故选：A．8．（2024春·河北·高三统考学业考试）已知平行四边形中，，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设点的坐标为，则，即，解得，即.故选：C.9．（2024春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知向量．若，则实数（

）A．2 B．-2 C． D．【答案】A【解析】解析：依据题意，向量，则，则．若，则有，两边平方得到，再平方得到，解得．故选：．10．（2024秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知向量，若与平行，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知向量，，，由与平行，有，解得.故选：B11．（2024秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）已知平面对量，且，则（）A． B．（0，0）C． D．（1，2）【答案】B【解析】由于，所以，所以.故选：B12．（2024秋·河南郑州·高三校联考期末）已知向量，，若，则（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】依题意，，由，则，所以.故选：D.13．（2024·内蒙古赤峰·统考模拟预料）已知向量，的夹角为，，，则向量在向量方向上的投影为（

）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】向量在向量方向上的投影为，，，则向量在向量方向上的投影为，故选：D.14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量，，则向量在向量方向上的投影是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】向量在向量方向上的投影是.故选：B15．（2024·全国·高三专题练习）若，，下列正确的是（

）A． B．C．方向上的投影是 D．【答案】C【解析】由已知，，所以，，因为，所以不平行，A错，因为，所以不垂直，B错，因为方向上的投影为，C对，因为，所以不垂直，D错，故选：C.16．（2024春·山东济南·高三统考开学考试）已知向量，满意，，则向量，的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即，则，，.故选：C.17．（2024春·河北·高三统考学业考试）已知向量，满意，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，两边平方得，所以.故选：A18．（2024·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知向量，的夹角为，且，，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】．故答案为：A.19．（2024春·浙江·高三开学考试）若向量满意，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，得，又，所以.故选：A．20．（2024春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知两个单位向量满意，则与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，即，所以，故选：.21．（2024·全国·唐山市第十一中学校考模拟预料）如图,在平行四边形中,,是边的中点,是上靠近的三等分点,若,则（

）A．4 B． C． D．8【答案】A【解析】解:由题知,所以,记,因为且为平行四边形,所以,解得:(舍)或.故选:A22．（2024秋·山东烟台·高三山东省烟台第一中学校考期末）若平面对量与的夹角为，，，则等于（

）．A． B． C．4 D．12【答案】B【解析】因为平面对量与的夹角为，，，所以，，所以.故选：B.23．（2024·湖南邵阳·统考一模）设向量，满意，，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【解析】因为，，以上两式相减可得，，所以，即，故选：D.24．（2024春·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知向量，，，若，则（

）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】D【解析】因为向量，，所以，因为，所以，可得，故选：D．25．（2024秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知，，，则（

）A． B． C．8 D．16【答案】A【解析】由已知，又，，或（舍去，）故选：A.二、多选题26．（2024秋·辽宁营口·高一校联考期末）设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（

）A．若，则存在实数，使得.B．若，则.C．若，则，反向.D．若，则，确定同向【答案】ACD【解析】对于选项A：当，由向量加法的意义知，方向相反且，则存在实数，使得，故选项A错误；对于选项B：当，则以，为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，则，故选项B正确；对于选项C：当，由向量加法的意义知，方向相同，故选项C错误；对于选项D：当时，则，同向或反向，故选项D错误；综上所述：选项ACD错误，故选：ACD.27．（2024秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知向量，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BCD【解析】由，得，即，解得或，则A错误，B正确；由，得，解得，则C，D正确．故选：BCD.三、填空题28．（2024秋·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）若，则与向量反方向的单位向量的坐标为__________.【答案】【解析】，则与向量反方向的单位向量的坐标为.故答案为：.29．（2024·高一课时练习）设向量、满意，且，若为在方向上的投影向量，并满意，则________．【答案】【解析】因为为在方向上的投影向量，，所以，又，且，所以.故答案为；.30．（2024·高三课时练习）已知点，，则的坐标是______．【答案】【解析】点，，则，所以的坐标是.故答案为：31．（2024春·全国·高三校联考开学考试）已知向量，，若，则实数___________．【答案】【解析】向量，，则，而，则有，解得，所以实数.故答案为：32．（2024·全国·校联考模拟预料）已知向量，若，则__________.【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，解得故答案为：33．（2024秋·海南·高三统考期末）已知正方形的边长为，边，的中点分別为，，则________．【答案】【解析】以为原点，，方向分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，则，，，，∴，，，∴，∴.故答案为：.34．（2024秋·江西·高三校联考期末）已知向量，，，若，，三点共线，则______．【答案】【解析】因为向量，，则，而，又，，三点共线，则有，因此，解得，所以.故答案为：35．（2024秋·山东菏泽·高三统考期末）已知向量，，若，则t的值为______．【答案】【解析】因为向量，，所以，，又因为，所以，即，解得.故答案为：.36．（2024·高三课时练习）已知向量，，且，则x的值为______．【答案】6【解析】因为，，且，所以，即.故答案为：6.37．（2024秋·河南南阳·高三统考期末）已知向量,,则向量在向量方向上的投影是______．【答案】【解析】解:由题知,,在向量方向上的投影为:.故答案为:-138．（2024秋·福建龙岩·高三校联考期末）已知，且，则在上的投影向量为__________．【答案】【解析】因为，且，则在上的投影向量为，故答案为：.39．（2024·高三课时练习）已知向量、、满意，，，且，则______．【答案】【解析】因为向量、、满意，，，且，则有，所以.故答案为：40．（2024·高三课时练习）在中，已知，，，则的值为______．【答案】【解析】，又，，.故答案为：．41．（2024秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）已知非零向量满意，，，则的夹角为_____________．【答案】【解析】设向量的夹角为θ.由已知可得，，所以，所以.又，所以，所以，.则，又，所以.又，所以，所以的夹角为.故答案为：.42．（2024秋·河北唐山·高三统考期末）在中，分别为的中点，则__________.【答案】－4【解析】由已知，，．故答案为：．43．（2024·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预料）已知向量与的夹角是，，，则向量与的夹角为______．【答案】【解析】由已知，，，又，故答案为：44．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预料）已知向量满意，请写出一个符合题意的向量的坐标______.【答案】（答案不唯一）【解析】依据题意，向量，且，则有，即，当时，，则.故答案为：（答案不唯一）45．（2024春·河南新乡·高三校联考开学考试