新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.1基本立体图形第2课时圆柱圆锥圆台球与简单组合体的结构特征教师用书新人教A版必修第二册

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球与简洁组合体的结构特征学习任务1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．2．驾驭圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(数学抽象)3．了解简洁组合体的概念及结构特征．(直观想象)如图，视察下列实物图．问题：(1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？(2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？(3)如何形成上述几何体的曲面？学问点1圆柱、圆锥、圆台、球图形结构特征图形表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O′O圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台O′O球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球球常用表示球心的字母来表示，如图中的球可表示为球O1．如图，在圆柱中任取不重合的两条母线，如AB，CD，它们有何关系？过它们的截面是怎样的图形？AC是母线吗？[提示]AB綉CD，截面ABCD是矩形．AC不是母线．2．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥吗？[提示]不愿定．必需以直角边所在直线为轴．若以斜边所在直线为轴，形成的几何体是同底面的两个圆锥组成的．学问点2简洁组合体的结构特征(1)简洁组合体的定义：由简洁几何体组合而成的几何体．(2)简洁组合体的构成有两种基本形式：简洁组合体由简单几何体拼接而成；1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)球能由圆面旋转而成． ()(2)用一个平面截圆锥，截得的两部分分别是圆锥和圆台． ()[答案](1)√(2)×2．如图，第一排中的图形绕虚线旋转一周，能形成其次排中的某个几何体，请把第一、其次排中相应的图形用线连起来．ABCD[答案]①—C②—B③—D④—A类型1旋转体的结构特征【例1】(多选)下列说法正确的是()A．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面BD[A错误，它们的底面为圆面；C错误，如图；BD正确．]推断简洁旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．[跟进训练]1．(多选)下列说法正确的是()A．圆柱的侧面绽开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．圆台的随意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体AB[C错误，圆台的母线延长相交于一点；D错误，夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．故选AB．]类型2简洁组合体的结构特征【例2】(源自湘教版教材)如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在直线旋转一周，形成的几何体是由哪些简洁几何体组成的？[解]将直角梯形ABCD绕边AB所在直线旋转一周后，得到的几何体如图所示，这个几何体是由圆柱和圆锥这两个简洁几何体组成的．推断组合体构成的方法(1)判定实物图是由哪些简洁几何体组成的问题时，首先要娴熟驾驭简洁几何体的结构特征；其次要擅长将困难的组合体“分割”为几个简洁的几何体．(2)组合体是由简洁几何体拼接或截去一部分构成的．要细致视察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证．[跟进训练]2．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱B[一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B．]类型3旋转体中的计算问题【例3】一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．[解](1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得O1A＝2cm，OB＝5cm．又由题意知腰长为12cm，所以高AM＝122-5-2(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l-12l解得l＝20(cm)．即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm．解决旋转体中计算问题的方法策略(1)巧用轴截面实现空间图形平面化：旋转体中有关底面半径、母线、高以及有关球的问题的计算，可巧用轴截面求解，即将立体问题转化为平面问题．(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相像关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解即可．[跟进训练]3．用一个平面截半径为R的球，截面到球心的距离为R2，则截面圆面积为________34πR2[如图，O为球心，O1为截面圆的圆心，AB为截面圆的直径，则OA＝ROO1＝R2∴AO1＝OA2-O∴截面圆面积S＝π32R2＝341．下面几何体的截面确定是圆面的是()A．圆台B．球C．圆柱D．棱柱B[截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．]2．如图所示的组合体，其结构特征是()A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体D[依据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．]3．(多选)下列命题中正确的是()A．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径B．母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等C．圆台中全部平行于底面的截面都是圆面D．圆锥全部的轴截面都是全等的等腰三角形[答案]ACD4．一圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，把该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4cm，则圆台的另一底面半径为________cm．1[作轴截面如图，则r3＝6-46＝1回顾本节学问，自主完成以下问题：1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征各有哪些？[提示](1)圆柱：①旋转图形为矩形；②旋转轴为矩形的一边；③由旋转形成的曲面围成的几何体．(2)圆锥：①旋转图形为直角三角形；②旋转轴为一条直角边；③由旋转形成的曲面围成的几何体．(3)圆台：①所截几何体为圆锥；②截面与底面平行．圆台也可看作是由直角梯形绕其直角边旋转而成的．(4)球：①旋转图形为半圆；②旋转轴为直径；③由半圆面旋转一四周成的几何体．2．处理台体问题常接受什么思想？处理组合体问题常接受什么思想？[提示]处理台体问题常接受还台为锥的补体思想，处理组合体问题常接受分割思想．3．简洁旋转体的轴截面有什么作用？应用其解题体现了什么思想？[提示](1)简洁旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简洁旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简洁旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．课时分层作业(二十二)圆柱、圆锥、圆台、球与简洁组合体的结构特征一、选择题1．(多选)下列几何体中是旋转体的是()ABCD[答案]ABC2．用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是()A．矩形 B．圆形C．梯形 D．正方形B[因为圆锥的侧面是曲面，底面是圆，所以用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆形，不行能是矩形，梯形，正方形．故选B．]3．(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为2，其侧面绽开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2 B．22C．4 D．42B[设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为2，所以2π×2＝πl，解得l＝22，故选B．]4．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为()A．4 B．32C．23 D．26D[圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满意关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝26，即两底面之间的距离为26．]5．(多选)用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是()A．2 B．2πC．2π D．CD[如图所示，设底面半径为r，若矩形的长恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝4π；同理，若矩形的宽恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2π．]二、填空题6．如图是一个几何体的表面绽开图形，则这个几何体是________．圆柱[一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．]7．一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm，则截面圆面积为________cm2．9π[设截面圆半径为rcm，则r2＋42＝52，所以r＝3，所以截面圆面积为9πcm2．]8．若一个圆锥的侧面绽开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________．3[设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径r＝1，所以该圆锥的高为h＝l2-r2＝三、解答题9．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径．[解]如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，则πr12＝5π，πr又∵R2＝r12+d12＝r2即(d1－d2)(d1＋d2)＝3，又d1－d2＝1，∴d1+∴R＝r12+d1即球的半径等于3．10．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是1∶4，且该圆台的母线长为9，则截去的小圆锥的母线长为()A．94B．3C．12D．B[设截去的小圆锥的母线长为y，依据相像三角形的性质，得yy+9＝14，解得y＝3．11．圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面绽开图是()ABCDD[结合几何体的实物图，从截面最低点起先高度增加缓慢，然后渐渐变快，最终增加渐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．]12．(多选)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()ABCDAD[一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．]13．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为________cm．13[如图，O′A＝3cm，OB＝8cm，OO′＝12cm，O′A∥OB，过点A作AC⊥OB，交OB于点C．在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．∴AB＝122+5214．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在圆锥内部有一个高为xcm的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；(2)当x为何值时，S最大？[解](1)设圆柱的底面半径为rcm，则由r2＝6-x6，得所以S＝2r·x＝－23x2＋4x(0<x<6)(2)因为S＝－23x2＋4x＝－23(x－3)2＋所以当x＝3时，S取得最大值，Smax＝6cm2．15．如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5cm，10cm，母线长AB＝20cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最