2024年高中数学专题8-11重难点题型培优精讲空间直线平面的垂直一教师版新人教A版必修第二册

专题8.11空间直线、平面的垂直（一）1．异面直线所成的角(1)两条异面直线所成的角的定义

如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)异面直线所成的角的范围

异面直线所成的角必需是锐角或直角，即的范围是<.(3)两条异面直线垂直的定义

假如两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线相互垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b.2．直线与平面垂直(1)定义假如直线l与平面内的随意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面相互垂直，记作l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.(2)点到平面的距离过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.3．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：假如一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.4．直线与平面所成的角(1)定义①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.

②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.

③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)直线与平面所成的角的范围

①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.

②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是.

③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<.

④直线与平面所成的角的取值范围是.5．直线与平面垂直的性质定理(1)直线与平面垂直的性质定理①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．②图形语言：如图所示．③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

(2)性质定理的作用

①由线面垂直证明线线平行.

②构造平行线.6．点在平面内射影位置的确定立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以干脆过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.

(1)假如一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.

(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，假如斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.【题型1异面直线所成的角】【方法点拨】(1)构造：依据异面直线的定义，用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角.(2)证明：证明作出的角就是要求的角.(3)计算：求角度(常利用三角形的有关学问).(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.【例1】在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，且AB=PB=23，AC=BC=2，E，F分别为A．38 B．58 C．3【解题思路】要求异面直线的夹角，利用线线平行进行转化，如图分别取AB，PB的中点M，G，连接FM，ME，GE，FG，则GE∥PC，所以∠FEG或其补角为异面直线EF【解答过程】如图所示，分别取AB，PB的中点M，G，连接FM，ME，GE，FG，则GE∥PC，所以∠FEG（或其补角）为异面直线EF因为AB=PB=23，AC=因为PB⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴FM⊥平面ABC，PB⊥BC，所以FM⊥ME，且在Rt△FME中，在△FEG中，EG=1由余弦定理得cos∠所以异面直线EF与PC所成角的余弦值为58故选：B.【变式1-1】（2024春·安徽·高二开学考试）如图，已知等腰直角三角形ABC的斜边BC的中点为O，且BC=4，点P为平面ABC外一点，且PB=PC=22，PA=2，则异面直线A．38 B．34 C．2【解题思路】取AC中点D，连接OD，PD，则∠POD【解答过程】如图取AC中点D，连接OD，PD，因为O是BC中点，全部OD∥BC，则因为BC=4，PB=PC又因为△ABC是等腰直角三角形，所以AB=AC在△PAC中由余弦定理可得cos所以在△PAD中由余弦定理可得PD所以cos∠故选：D.【变式1-2】（2024·贵州毕节·统考一模）图（1）是由正方形ABCD和正三角形PAD组合而成的平面图形，将三角形PAD沿AD折起，使得平面PAD⊥平面ABCD，如图（2），则异面直线PB与DC所成角的大小为（

A．15∘ B．30∘ C．45【解题思路】由平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，从而AB⊥PA．由AB∥【解答过程】∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊂∴AB⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，∴∵AB∥DC，∴∠PBA为异面直线PB∵PA=AB，∴故选：C．【变式1-3】（2024·河南郑州·统考一模）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，PA．π2 B．π3 C．π【解题思路】平移直线B1C至A1D，将直线DP与B1【解答过程】如图，连接A1P，A1D，所以∠PDA1或其补角为直线DP因为BB1⊥平面A1B1C1DBB1∩B1D1=B又PD⊂平面BDD1设正方体的棱长为2，则A1D=2在Rt△A1DP中，故选：D.【题型2线线垂直的判定】【方法点拨】通过异面直线所成的角为，来证明线线垂直；通过基本的平面图形的几何性质来实现线线垂直的探究；通过线面垂直的关系来证明线线垂直.【例2】（2024·高一课时练习）在正方体ABCD-A1B1A．AB B．CD C．A1B【解题思路】证明A1B⊥平面A【解答过程】连结A1C1,BC1在直角三角形AA1C1中，∠C∠C1AB为直线AB在直角三角形C1AB中，∠C1AB由AB//CD，所以AB,在正方体ABCD-AB1C1⊥平面ABB1由AB1∩B1AC1⊆平面故选:C.【变式2-1】（2024·高一课时练习）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（

）A．2条 B．4条C．6条 D．8条【解题思路】依据线线之间的垂直关系推断即可.【解答过程】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故选：D.【变式2-2】（2024·高一课时练习）如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥ACA．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【解题思路】依据垂直关系，先证明AC⊥平面PBC，即可证明BC【解答过程】由题PB⊥α，AC⊂α，所以PC,PB是平面PBC内两条相交直线，所以AC⊥平面PBC，BC所以BC⊥所以△ABC故选：B.【变式2-3】（2024·广东·高三学业考试）如图所示，在正方体ABCD-A1B1A．BC1 B．A1D【解题思路】由平行关系可确定B1D1【解答过程】∵四边形ABCD为正方形，∴AC∵B1D1故选：C.【题型3线面垂直判定定理的应用】【方法点拨】利用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直的步骤：(1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)依据判定定理得出结论.【例3】（2024·上海·高二专题练习）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点．现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个空间四边形，使A．SG⊥△EFG所在平面 B．C．GF⊥△SEF所在平面 D．【解题思路】留意翻折前后的角度的变与不变，依据线面垂直的判定定理得到SG⊥平面GEF假设SD⊥平面EFG，推出SD由SG⊥平面GEF得到SG⊥GF，结合GF⊥GE证明出GF⊥平面GES，假设GF⊥由SG⊥面EFG得到SG⊥GD，假设GD⊥平面SEF，则【解答过程】对于A，在正方形SG1G2G所以在四面体S-EFG中，SG⊥又GE, GF⊂平面GEF，GE∩对于B，若SD⊥平面EFG，结合选项A，则SD对于C，因为SG⊥面EFG，GF⊂面EFG，所以又GF⊥GE，GE, GS⊂平面GES，假设GF⊥平面SEF，则平面GES//平面对于D，因为SG⊥面EFG，GD⊂面EFG，所以若GD⊥平面SEF，SD⊂平面SEF，则SG, GD, 故选：A.【变式3-1】（2024春·辽宁·高一期末）已知α,β,γ是三个不同的平面，l,m,A．n⊥lC．n⊥α【解题思路】由线面垂直的判定定理结合图象推断即可求解【解答过程】当m//n时（如图所示），由n⊥l,同理可知，B,若m⊥α,n⊥β，可知m与故选：D.【变式3-2】（2024秋·宁夏石嘴山·高二阶段练习）如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的随意一点（不与A，B重合），则下列说法错误的是（

）A．PA⊥平面ABC B．BC⊥C．AC⊥平面PBC D．三棱锥P【解题思路】依据圆柱的结构特征，利用线面垂直的判定、性质推理即可推断作答.【解答过程】因PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的随意一点（不与A，B重合），则PA⊥平面ABC而BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC=A由选项A知，△PAB,△假定AC⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，则AC⊥PC，即∠PCA所以AC⊥平面PBC故选：C.【变式3-3】（2024春·天津河西·高一期末）如图，圆柱OO'中，AA'是侧面的母线，AB是底面的直径，A．BC⊥平面A'AC B．C．AC⊥平面A'BC D．【解题思路】依据线面垂直的判定定理及定义推断即可；【解答过程】解：依题意AA'⊥平面ABC，BC⊂平面又AB是底面圆的直径，所以BC⊥AA'∩AC=A，AA对于B：明显BC与AB不垂直，则BC不行能垂直平面A'对于C：明显AC与A'C不垂直，则AC不行能垂直平面对于D：明显AC与AB不垂直，则AC不行能垂直平面A'故选：A.【题型4直线与平面所成的角】【方法点拨】求直线与平面所成的角的一般步骤：(1)作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键.(2)证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义.(3)求：一般借助三角形的相关学问求角.【例4】（2024春·四川达州·高二开学考试）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABA．13 B．36 C．3【解题思路】连接B1C交BC1于F，由题意可知D1C1与平面A1BC1所成角与A1B1与平面A1BC1所成角相等，由题意可证平面A1B1F⊥【解答过程】解：连接B1C交BC设D1C1与平面A1BC1所以A1B1与平面A如图：因为在长方体ABCD-A1B1所以四边形BB1C1C是正方形，FA1B=又A1F∩BC所以BC1⊥平面A1B所以平面A1B1过B1作B1E因为面A1B1F⊥面A1BC1，A1F所以B1E⊥所以∠B1A所以sinθ故选：A.【变式4-1】（2024春·山东聊城·高一阶段练习）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，BC=2，PCA．433π B．43【解题思路】推断出PC是外接球的直径，求得PC，从而计算出外接球的体积.【解答过程】由于PA⊥平面ABCD，BC,CD⊂平面由于四边形ABCD是矩形，所以BC⊥由于PA∩AB=A,PA,由于PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB所以PC是外接球的直径.由BC⊥平面PAB可知：∠CPB是PC与平面所以∠CPB=30°所以外接球的半径为12所以外接球的体积为4π3故选：C.【变式4-2】（2024秋·广西玉林·高二阶段练习）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2A．1 B．2 C．23 D．【解题思路】由长方体性质确定线面角∠DED1且tan∠DE【解答过程】依据长方体性质知DD1⊥面ABCD，故∠DED所以∠DED1=π所以在Rt△AED中故选：B.【变式4-3】（2024春·广西桂林·高二期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD=AB=a，G为△ABC的重心，则A．34 B．1717 C．3【解题思路】连接BD，推断G在BD上，推断∠PGD为PG与底面ABCD【解答过程】连接BD交AC于O，四边形ABCD为正方形，则O为AC中点，∵G为△ABC的重心，则G在BD上，且OGGB∴DG=∵PD⊥底面ABCD，∴∠PGD为PG与底面ABCD所成的角，BD⊂面ABCD，则∴PG=∴sin∠故选：C.【题型5直线与平面垂直的性质定理的应用】【方法点拨】(1)线面垂直的性质定理、基本事实4及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最终还是要先证明线线平行.(2)要证线线垂直，只需证线面垂直，再利用线面垂直的性质即可得到线线垂直.【例5】（2024春·甘肃天水·高三开学考试）如图，四棱锥P—ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA=PC，PD=2，∠DAC(1)证明：AC⊥PD；(2)若PB=23，求四棱锥P—【解题思路】（1）设AC∩BD=O，PO⊥AC，再由（2）由（1）AC⊥平面PBD，因此可由V【解答过程】（1）设AC∩BD=O，连接PO，因为又ABCD是菱形，所以AC⊥PO∩BD=O，所以AC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，所以（2）ABCD是菱形，∠DAC=π6，则∠DABAC=2△PBD中，PD=BD=2，PB=2S△由（1）AC⊥平面PBDVP【变式5-1】（2024·全国·高三专题练习）如图（1），在梯形ABCD中，AD // BC且AD⊥CD，线段AD上有一点E，满足CD=DE=1，AE=BC=2，现将△【解题思路】在△BEC中，求得BE=2，结合勾股定理证得BE⊥EC，AB⊥BE，从而证得AB⊥平面BDE，再在Rt△EDC和△BDC【解答过程】证明：在Rt△EDC中，所以EC=2，在△BEC中，EC=2，BC由余弦定理得BE=所以EC2+同理可得，在△ABE中，AB=2在△ABD中，AB2因为BD∩BE=B，BD，BE⊂平面BDE在Rt△EDC中，在△BDC中，BD2因为ED∩BD=D，ED,BD⊂所以AB 【变式5-2】（2024秋·山东潍坊·高二阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.【解题思路】依据线面垂直的判定定理可证AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，则可得AE∥MN．【解答过程】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.【变式5-3】（2024·湖北·模拟预料）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D(1)若AA1=(2)求三棱柱ABC-【解题思路】（1）取AB中点H，连接A1H,C1H,（2）计算S=32【解答过程】（1）取AB中点H，连接A1H,C1则AH⊥AA1⊥平面ABC，CH⊂平面CH⊥AB，AA1∩AB=A，B1D⊂平面A又A1H∩CH=H，A1而A1C⊂平面A（2）设AB=t>0体积V=VS=3【题型6平面内的射影问题】【方法点拨】立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.【例6】（2024秋·上海静安·高二期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中AE、AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，点P在△AEF内的射影为O，则O为△AEF的（）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【解题思路】利用线面垂直的判定、性质证明EF⊥AO、AF⊥【解答过程】由题意知：BE=EC=因为AP⊥PE,AP⊥PF，所以AP⊥面PEF，同理证：EP⊥面PAF，FP⊥由EF⊂面PEF，则AP⊥EF，同理证：EP由P在△AEF内的射影O，故PO⊥面AEF，而EF,AF所以PO⊥由AP∩PO=P，AP,PO⊂面APO，则EF所以EF⊥AO，同理可证：AF⊥所以O为△AEF的垂心.故选：D.【变式6-1】（2024秋·山东潍坊·高二开学考试）若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【解题思路】依据且PA⊥BC，PB⊥AC，利用线面垂直的判定定理得到【解答过程】解：如图所示：因为PA⊥BC,所以BC⊥平面PAO，则BC同理得OB⊥所以O是△ABC故选：D.【变式6-2】（2024春•瑶海区月考）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E