常见的排列组合问题+高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

常见的排列组合问题

解题策略考点1：排列的意义理解例1．将4封信投入3个信箱中，共有_______种不同的投法；【方法技巧】重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【变式训练】变式1．仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有_______种.考点2：相邻问题捆绑法例2．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为______．【方法技巧】题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.使用捆绑法，然后进行排列，简单计算可得结果.【变式训练】1．3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（

）A．48种 B．36种 C．20种 D．24种考点3：相离问题插空法例3．电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有___种.【方法技巧】元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【变式训练】1．有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（

）A．120种 B．32种 C．24种 D．16种考点4：特殊元素优先法（位置优先法）例4．6人排成一排照相，其中甲、乙两人必须排在中间两个位置，有_________种不同的排法．【方法技巧】某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。【变式训练】1．将甲、乙、丙、丁四名大学生分到三个不同单位实习，每个单位至少分到一名实习生，则甲、乙两名大学生不被分到同一个单位实习的概率为________考点4：特殊元素优先法（位置优先法）【变式训练】2．五位同学站成一排合影，张三站在最右边，李四、王五相邻，则不同的站法种数为______.3．成语“五音不全”中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽，是中国古乐基本音阶．把这五个音阶排成一列，形成一个音序．满足“徵”“羽”两音阶相邻且在“宫”音阶之前的不同音序的种数为___________．（用数字作答）考点5：多排问题单排法例5.6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数为______.【方法技巧】把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。【变式训练】1.

8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？考点6：不同元素的分配问题（先分堆再分配）：引例：四人平均分两组，六人平均分三组，例6．某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是__________.【方法技巧】注意平均分堆的算法考点6：不同元素的分配问题（先分堆再分配）：【变式训练】1．甲乙丙丁四位同学分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方调研新冠疫情发展情况，每个地方至少一个人去，且甲乙两人不能去同一个地方，则不同分法的种数有__种2．已知有6本不同的书.(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？考点7：定序问题缩倍法（等几率法）

考点8：标号排位问题（不配对问题）例8将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种【方法技巧】把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【解析】

：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.考点8：标号排位问题（不配对问题）【变式训练】1：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有()（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种考点9：相同元素的分配问题隔板法例9.把10个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数至少一个（盒子不空），则有多少种不同的放法？【方法技巧】相同元素的分配问题隔板法考点9：相同元素的分配问题隔板法例9（变1）.把10个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，有的盒子可以不放球（盒子可以空），则有多少种不同的放法？考点9：相同元素的分配问题隔板法例9（变2）.把10个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，恰有一盒子是空的，则有多少种不同的放法？考点9：相同元素的分配问题隔板法例9（变3）.把10个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于编号数，则有多少种不同的放法？考点9：相同元素的分配问题隔板法例9（变4）.把10个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数至少一个（盒子不空），且小球数不同，则有多少种不同的放法？考点9：相同元素的分配问题隔板法【变式训练】1，10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？2.将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？考点10：走楼梯问题【变式训练】1小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？考点11：排数问题例10．由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________【方法技巧】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，然后利用分步乘法计数原理可得出答案.考点11：排数问题【变式训练】1．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（

）.A．9个 B．24个 C．36个 D．54个2．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（

）A．288 B．336 C．368 D．412考点12：染色问题例11．如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有_____________种.【方法技巧】涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论;（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。考点12：染色问题【变式训练】1．用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有______种.2．用种不同颜色给正三角形的个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条边的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有______种.考点13：几何中的排列组合问题:

考点13：几何中的排列组合问题:【变式训练】1．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为______．2．一空间有12个点，其中5