数学苏教版必修第二册学案-13.1.3-直观图的斜二测画法-含解析

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。13．1.3直观图的斜二测画法课程标准1.掌握斜二测画法的步骤．2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图．【概念认知】1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则：(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平面．(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.2．用斜二测画法画空间图形的直观图，其规则是：(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，∠yOz＝90°.(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于点O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．【自我小测】1．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()【解析】选C.可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．2．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【解析】选B.由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB.3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，且两顶点不同侧，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A．2cm B．3cm C．2.5cm D．5cm【解析】选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z′轴平行的线段长度不变，仍为5cm.4．如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，则原图形的形状是________．【解析】如图所示，在原图形OABC中，应有OABC，OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，所以OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(（4\r(2)）2＋22)＝6(cm)，因为OA＝O′A′＝6cm，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形．答案：菱形5．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论中，正确的是________(填序号).【解析】斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．答案：①②6．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．【解析】(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面：在面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长．(4)成图：顺次连线A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图所示．【基础全面练】一、单选题1．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形【解析】选D.由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于()A．45° B．135° C．90° D．45°或135°【解析】选D.因∠A的两边分别平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.3．已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2 C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2【解析】选D.方法一：建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a.过点C′作C′D′⊥O′B′于点D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以△A′B′C′的面积S＝eq\f(1,2)·A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.方法二：S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，而eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\f(\r(2),4)，所以S△A′B′C′＝eq\f(\r(2),4)S△ABC＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.二、填空题4．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．【解析】由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.答案：2.55．有一个长为5cm，宽为4cm的矩形，则其直观图的面积为________cm2.【解析】该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝eq\f(\r(2),4)S＝5eq\r(2)(cm2).答案：5eq\r(2)三、解答题6．如图，A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．【解析】由已知中A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示：这是一个底边长为2，高为eq\r(2)的平行四边形．故原图形的面积为2eq\r(2).7．用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图．【解析】画法步骤：(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝eq\f(3,2)cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图．(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．【综合突破练】一、选择题1．如图，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝eq\r(2)，则这个平面图形的面积是()A．1 B．eq\r(2) C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)【解析】选C.由题图知，平面图形△OAB为直角三角形．因为O′B′＝eq\r(2)，所以A′B′＝eq\r(2)，O′A′＝2.所以在原△OAB中，OB＝eq\r(2)，OA＝4，所以S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×4＝2eq\r(2).2．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为()A．36eq\r(2) B．36C．18eq\r(2) D．18【解题指南】将直观图进行还原，得到原图形，进而求面积．【解析】选A.在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3eq\r(2)，所以原平面图形为一边长为6，高为6eq\r(2)的平行四边形，所以其面积为6×6eq\r(2)＝36eq\r(2).二、填空题3．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．【解析】按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，则C′E′＝C′D′·sin45°＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)4．在斜二测画法中，若一个正三角形的边长为2，则它的直观图的面积为________．【解析】正三角形的面积S＝eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，eq\f(S′,S)＝eq\f(\r(2),4)，所以S′＝eq\r(3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(6),4).答案：eq\f(\r(6),4)5．在斜二测画法中，若一个平面图形的直观图是一个上底为1，下底为3，直角边长为2的直角梯形，则原平面图形的面积是____________．【解析】直观图的面积S′＝eq\f(1＋3,2)×2＝4，又eq\f(S′,S)＝eq\f(\r(2),4)，所以S＝eq\f(S′,\f(\r(2),4))＝eq\f(4,\f(\r(2),4))＝8eq\r(2).答案：8eq\r(2)三、解答题6．如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．【解析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．7．用斜二测画法画出图中正五边形ABCDE的直观图．【解析】画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝eq\f(1,2)GA，H′D′＝eq\f(1,2)HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).【素养培优练】(25分钟45分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦．弦者，葛之长”．意思是：今有2丈长木，其横截面周长3尺，葛藤从木底端绕木7周至顶端，问葛藤有多长？(注：1丈＝10尺)()A．21尺B．23尺C．27尺D．29尺【解析】选D.如图，一条直角边(即木棍的高)长20尺，另一条直角边长7×3＝21(尺)，因此葛藤长eq\r(202＋212)＝29(尺).2．如图，平行四边形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝4，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°则下列叙述正确的是()A．原图形是正方形B．原图形是非正方形的菱形C．原图形的面积是8eq\r(2)D．原图形的面积是8eq\r(3)【解析】选C.过点C′作y′轴的平行线交x′轴于点D′如图(1)，O′C′＝2，∠C′O′D′＝30°，∠C′D′O′＝135°，∠D′C′O′＝15°，由正弦定理可得eq\f(O′D′,sin15°)＝eq\f(2,sin135°)＝eq\f(D′C′,sin30°)，可得O′D′＝eq\r(3)－1，D′C′＝eq\r(2)，将直观图还原为平面图形，并过点C作OA的垂线，垂足为D，如图(2)，则OD＝O′D′＝eq\r(3)－1，CD＝2C′D′＝2eq\r(2)，OC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－1))2)＝eq\r(12－2\r(3))，OA＝O′A′＝4，显然OC≠OA，即原图形既不是正方形又不是菱形，原图形的面积为4×2eq\r(2)＝8eq\r(2).3．若三棱锥P­ABC满足，PA＝BC，PB＝AC，PC＝AB，则该三棱锥可能是()A.AB＝2，BC＝3，CA＝4 B．AB＝3，BC＝4，CA＝5C．AB＝4，BC＝5，CA＝6 D．以上选项都不可能【解析】选C.在三棱锥P­ABC中，由PA＝BC，PB＝AC，PC＝AB，将此三棱锥P­ABC放置入长方体中，如图，设该长方体的长宽高分别为a，b，c，则AB2＝b2＋c2，CB2＝b2＋a2，AC2＝a2＋c2，在△ABC中，cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(c2,AB·AC)>0，角∠BAC为锐角．同理可得∠ABC，∠ACB均为锐角．则△ABC为锐角三角形．由cos∠ABC＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(22＋32－42,2×2×3)<0，为钝角，故A不正确．AB2＋BC2＝CA2，为直角，故B不正确．AB2＋BC2－CA2＝16＋25－36>0，AB2＋CA2－BC2＝16＋36－25>0，AC2＋BC2－BA2＝36＋25－16>0，由余弦定理可得△ABC的三个内角均为锐角，满足条件，故C正确，则D不正确．4．(多选)正方体的截面可能是()A．钝角三角形 B．直角三角形C．菱形 D．正六边形【解析】选CD.如图所示截面为三角形ABC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，所以AC2＝a2＋c2，AB2＝a2＋b2，BC2＝b2＋c2，所以cos∠CAB＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(2a2,2\r(a2＋b2)·\r(a2＋c2))>0，所以∠CAB为锐角，同理∠ACB与∠ABC也为锐角，即△ABC为锐角三角形，所以正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，不可能是钝角三角形和直角三角形，A，B错误；若是四边形，则可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，C正确；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图截面过棱的中点时，则可以是正六边形，D正确．二、填空题5．(5分)正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为2，E是线段CD1上的动点，则|AE|＋|DE|的最小值是________【解析】如图，取CD1的中点为P，连接AP，DP则由AC＝AD1，DC＝DD1知，AP⊥CD1,DP⊥CD1，所以|AE|≥|AP|，|DE|≥|DP|，所以|AE|＋|DE|≥|AP|＋|DP|，在正方体中，棱长为2，所以AP＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)×2＝eq\r(6)，DP＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\r(2)，故当E在线段CD1上运动，E与P重合时，|AE|＋|DE|有最小值eq\r(6)＋eq\r(2).答案：eq\r(6)＋eq\r(2)三、解答题(每小题10分，共20分