第14讲 直线的方程8种常见考法归类原卷版-新高二数学暑假自学课讲义

第14讲直线的方程8种常见考法归类根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系.知识点1直线方程的点斜式、斜截式名称条件方程图形点斜式直线l过定点P(x0，y0)，斜率为ky－y0＝k(x－x0)斜截式直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距)y＝kx＋b注：1．直线的点斜式及斜截式方程适用条件是什么？斜率存在及已知点(或直线在y轴上的截距)．2．经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类：(1)斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)；(2)斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，即x＝x0.3．当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.4．直线的斜截式y＝kx＋b是直线的点斜式y－y0＝k(x－x0)的特例．如：直线l的斜率为k且过点(0，b)，该直线方程为y＝kx＋b.5．纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．6．斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程．知识点2直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2在x轴上截距a，在y轴上截距b图形方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线注：（1）两点式方程①利用两点式求直线方程必须满足x1≠x2且y1≠y2，即直线不垂直于坐标轴．（即：当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．）②两点式方程与这两个点的顺序无关．③方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．截距式方程①如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程．②将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．③与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．④过原点的直线的横、纵截距都为零．知识点3直线的一般式方程1．定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．系数的几何意义：当B≠0时，则－eq\f(A,B)＝k(斜率)，－eq\f(C,B)＝b(y轴上的截距)；当B＝0，A≠0时，则－eq\f(C,A)＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．3．直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．4.当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．注：（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示（2）每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线1、求直线的点斜式方程的方法步骤(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)；(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．2、直线的斜截式方程的求解策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别；(3)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．3、求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．4、截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．5、求直线一般式方程的策略(1)当A≠0时，方程可化为x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，则方程化为eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需确定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．6、含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程要注意验根．7、利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.注若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．8、利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.9、与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法（1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．（2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.考点一：直线的点斜式方程例1．（2023秋·高二课时练习）已知直线的方程是，则（）A．直线经过点，斜率为-1 B．直线经过点，斜率为-1C．直线经过点，斜率为-1 D．直线经过点，斜率为1变式1．（2023秋·高二课时练习）已知直线l经过点，，求直线l的方程，并求直线l在y轴上的截距.变式2．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线不经过第__________象限.变式3．（河南省开封市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（

）A． B．C． D．变式4．（2023春·上海宝山·高二统考期末）直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为______.变式5．（2023秋·高一单元测试）已知的顶点分别为，求：(1)直线AB的方程(2)AB边上的高所在直线的方程变式6．（2023·江苏·高二假期作业）已知在第一象限，若，，，，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边所在直线的点斜式方程.考点二：直线的斜截式方程例2．（2023·高二课时练习）写出下列直线的斜率以及在y轴上的截距.并画出图形.(1)；(2).变式1．【多选】（2023秋·高二课时练习）一次函数，则下列结论正确的有（

）A．当时，函数图像经过一、二、三象限B．当时，函数图像经过一、三、四象限C．时，函数图像必经过一、三象限D．时，函数在实数上恒为增函数变式2．（2023·高二课时练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．变式3．【多选】（2023·高二课时练习）已知直线，，则它们的图象可能为（

）A． B．C． D．变式4．（2023·全国·高三专题练习）在同一平面直角坐标系下，直线总在直线的上方，则（

）A．， B．，C．， D．，考点三：直线的两点式方程例3．【多选】（2023秋·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）下列说法正确的有（

）A．直线的斜率越大，则倾斜角越大B．两点式适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线C．若直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为135°D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化变式1．（2023秋·高二课时练习）直线l过点，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．变式2．（2023秋·高二校考课时练习）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为()A． B．C． D．变式3．（2023秋·山东济宁·高二校考阶段练习）莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，则的欧拉线方程为______．考点四：直线的截距式方程例4．【多选】（2023秋·高二课时练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()A．y=-x+5 B．y=x+5C．y= D．y=-变式1．（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（

）条A．0 B．1 C．2 D．3变式2．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________.变式3．（2023秋·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（

）A．B．C．或D．或或变式4．（2023秋·高二课时练习）过点且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为______，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为______.变式5．（2023秋·高二校考课时练习）过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是____.变式6．（2023·江苏·高二假期作业）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点，则直线l的方程为________________.变式7．（2023·江苏·高二假期作业）求经过点且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程.变式8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线过点，则的最小值为______．考点五：直线的一般式方程（一）直线的一般式方程及辨析例5．（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知点，则直线的一般式方程为___________.变式1．【多选】（2023秋·高二课时练习）已知直线l的方程为，则下列判断正确的是（

）A．若，则直线l的斜率小于0B．若，则直线l的倾斜角为C．直线l可能经过坐标原点D．若，则直线l的倾斜角为变式2．（2023秋·高二课时练习）当直线方程的系数A，B，C满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？(1)过坐标原点；(2)与两条坐标轴都相交；(3)只与x轴相交；(4)是x轴所在直线；(5)设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成．变式3．（2023·全国·高三对口高考）以下关于直线的说法中，不正确的是（

）A．直线一定不经过原点B．直线一定不经过第三象限C．直线一定经过第二象限D．直线可表示经过点的所有直线直线的一般式方程的应用例6．（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）若直线经过第一、二、四象限，则有（

）A．， B．，C．， D．，变式1．（2023·全国·高二假期作业）如果，，那么直线不经过的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式2．（2023秋·黑龙江佳木斯·高二校考开学考试）若直线不过第二象限，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．变式3．【多选】（2023·高二课时练习）直线的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．变式4．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则________.变式5．（2023秋·高二课时练习）已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（

）A． B． C． D．考点六：两直线平行与垂直的应用由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直例7．【多选】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）设直线：，：，下列说法正确的是（

）A．当时，直线与不重合B．当时，直线与相交C．当时，D．当时，变式1．（2023秋·山东东营·高二统考期末）若直线l：与直线m：互相平行，则______．变式2．（2023·全国·高三专题练习）若直线与直线平行，则m的值为（

）A．2 B． C．2或 D．或变式3．（2023秋·河北沧州·高二任丘市第一中学校考阶段练习）已知，，直线与直线平行，则的最小值是______.变式4．（2023秋·北京海淀·高二校考阶段练习）已知直线，.若，则实数a=___________，若，则实数a=___________．变式5．（2023秋·河北沧州·高二任丘市第一中学校考阶段练习）直线：，：，则“”是“”的（

）条件A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要D．既不充分也不必要变式6．【多选】（2023秋·高二校考课时练习）已知直线，则（

）A．若，则B．若，则C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则D．当时，不经过第一象限由两条直线的平行、垂直求直线方程例8．（2023秋·四川凉山·高二统考期末）过点且与直线平行的直线方程是（

）A． B． C． D．变式1．（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）直线过点且与直线垂直，则的方程是（

）A． B．C． D．变式2．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线，求：(1)过点且与直线l平行的直线的方程；(2)过点且与直线l垂直的直线的方程．变式3．（2023·全国·高三对口高考）已知直线：，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_________．考点七：直线过定点问题例9．（2023·江苏·高二假期作业）不论取何值时，直线恒过第____象限．变式1．（2023·高二课时练习）若直线不经过第四象限，则k的取值范围为_______．变式2．【多选】（2023秋·贵州·高二校联考阶段练习）对于直线：，下列说法错误的是（

）A．直线恒过定点B．直线斜率必定存在C．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为D．时直线的倾斜角为变式3．【多选】（2023·高二课时练习）下列说法正确的有（

）A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限B．直线必过定点C．过点，且斜率为的直线的点斜式方程为D．斜率为，且在轴上的截距为的直线方程为变式4．（2023秋·安徽滁州·高二校考期末）已知直线．(1)求证：直线过定点；(2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程．变式5．（2023·高二课时练习）已知一条动直线，(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；(2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；(3)若直线与x､y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.变式6．（2023秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）已知直线的方程为：.(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程.考点八：直线与坐标轴围成三角形的面积、周长问题例10．（2023秋·浙江台州·高二校考阶段练习）已知直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为______________变式1．（2023秋·浙江绍兴·高二诸暨中学校考阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程：(1)时，求直线l的方程．(2)当的面积最小时，求直线l的方程．变式2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为锐角，并且与坐标轴围成的三角形的面积为6，周长为12，求直线l的方程．变式3．（2023·高二课时练习）已知的三个顶点的坐标为，，．(1)求边AB上过点C的高所在直线的方程；(2)若直线l与AC平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l与两条坐标轴围成的三角形的周长．变式4．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点.(1)求面积的最小值以及面积最小时直线的方程;(2)是否存在直线，使的周长为12，若存在，求出直线的方程;若不存在，说明理由.变式5．（2023·全国·高三对口高考）过点作直线分别交，的正半轴于，两点．

(1)求面积的最小值及相应的直线的方程；(2)当取最小值时，求直线的方程；(3)当取最小值时，求直线的方程．1．两条直线垂直的充要条件是（

）A． B．C． D．2．直线与平行（不重合）的充要条件是（

）A． B． C． D．3．若直线与直线平行，则___________．4．直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（

）A． B． C． D．5．直线的倾斜角___________．6．给定三点，那么通过点A并且与直线BC垂直的直线方程是_______．一、单选题1．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）过点且斜率为的直线的方程是（）A． B．C． D．2．（2023秋·高一单元测试）若，，则直线不经过第象限（

）A．一 B．二 C．三 D．四3．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线，的倾斜角分别为，，则（

）A． B． C． D．4．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）若直线与直线互相平行，则实数的值为（

）A．2或0 B．1 C．0 D．0或5．（2023秋·高二课时练习）若直线与垂直，则m的值为（

）A． B． C．5 D．6．（2023·江苏·高二假期作业）直线与(不同时为0)的位置关系是（

）A．平行 B．垂直C．斜交 D．与的值有关7．（2023秋·高二课时练习）直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，而且它的斜率是直线的斜率的相反数，则（

）A．， B．，C．， D．，8．（2023秋·高二课时练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（

）A． B． C． D．二、多选题8．（2023秋·福建·高二校联考期中）下列说法正确的有（

）．A．直线过定点B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为D．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为9．（2023·江苏·高二假期作业）下列各直线中，与直线平行的是（

）A．B．C．D．10．（2023秋·湖南株洲·高二校考期末）已知直线：，则下列结论正确的是（

）A．直线在两坐标轴上的截距均为1B．向量是直线的一个法向量C．过点与直线平行的直线方程