注册公用设备工程师基础考试(一)20170417

注册公用设备工程师基础考试(一)20170417国家注册公用设备工程师（暖通空调）基础复习题材一目录1.空间两点间的距离：1).设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)为空间上的两个点，则空间两点距离：2).设M(x，y，z)为空间上的一个点，0(0，0，0)为原点，则空间上M到原点的距离：Eg1.设M1(2，1，2)，M2(-1，2，3)为空间上的两点，求两点间的距离。()Eg2.设O(0，0，0)，M2(-1，2，3)为空间上的两点，求两点间的距离。()2.向量的概念：向量：既有大小又有方向的量。向量的模：向量的大小。单位向量：模长为1的向量，表示方法。零向量：模长为0的向量。自由向量：不考虑起点位置的向量。相等向量：大小相同且方向相同的向量。负向量：大小相同但方向相反的向量。向径：空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量。3.向量的加减法：1).向量的加法（平行四边形法则或三角形法则)：2).向量的加法符合下列运算规律：交换律：结合律：3).向量的减法（平行四边形法则或三角形法则)：Eg1.向量AB+CD+BC+DA=_________。（0)4.向量与数的乘法：1).设λ是一个数，向量与λ的乘积规定为：当λ＞0时，当λ＝0时，当λ＜0时，2).数与向量的乘积符合下列运算规律：结合律：分配率：按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量。5.空间两向量的夹角的概念：1)向量与向量的夹角：特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与π之间任意取值。6.空间向量：1).按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：2).向量的坐标：3).向量的坐标表达式：特殊的，4).向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式：5).向量的模与方向余弦的坐标表示式定义：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角。与X轴：与Y轴：与Z轴：则：方向余弦通常用来表示向量的方向。向量模长的坐标表示式：向量方向余弦的坐标表示式：当时：方向余弦的特征：特殊地：单位向量的方向余弦为：7.向量之间的数量积：1).运动公式：类似地，两向量之间的数量积：，其中θ为两向量之间的夹角。2).数量积运算定律：交换律：分配率：若λ、μ为常数，则：3).数量积的坐标表示：设空间直角坐标系：，则：4).两向量夹角余弦的坐标表示式：则：由此可知两向量垂直的充要条件为：8.向量之间的向量积：1).两向量之间的向量积：其中θ为两向量之间的夹角，垂直于两向量。2).向量积运算规律：交换律：分配率：若λ为常数，则：3).向量积的坐标表示：设，则：4).向量积三阶行列式表示：则：注：1.1.2空间直线及其方程1.空间直线的一般方程：1).定义：空间直线可看成两平面的交线。2).空间直线的一般方程式：2.空间直线的对称式方程与参数方程：1).方向向量定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量。2).设方向向量MO、M为直线L上的两点，则：则：令：则直线的参数方程式：3).定义：方向向量的余弦称为直线的方向余弦。4).直线的两点式方程：3．两直线的夹角：1).定义：两直线的方向向量的夹角。（锐角)2).直线L1、L2对称式方程如下：则两直线夹角余弦值：3).两直线的位置关系：4.直线与平面的夹角：1).定义：直线和它在平面上的投影直线的夹角ψ称为直线与平面的夹角。直线对称方程式：方向向量：平面方程式：垂直于平面的向量则：直线与平面的夹角关系：2).直线与平面的位置关系：1.1.3平面及其方程1.平面的点法式方程：1).定义：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量。法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量。2).平面的点法式方程表达式：已知法线向量：平面上任意两点：则必有：平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形。2.平面的一般方程：1).由平面的点法式方程得：平面的一般方程：法向量：2).平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过x轴；平面平行于x轴；类似的，B=0，C=0时，按以上情况类推。平面平行于xoy坐标面。类似的，B=C=0，A=C=0时，按以上情况类推。3.两平面的夹角：1).定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。（通常取锐角)2).两平面的夹角公式：平面平面法向量：两法向量夹角余弦值，既为两平面夹角余弦值：3).两平面的位置特征：4.点到平面的距离：平面方程：平面外一点：P(xo，yo，zo)，则：1.1.4柱面1.定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。2.柱面方程：1).柱面方程：推理过程：设柱面的准线为：母线的方向数为X，Y，Z。如果为准线上一点，则过点M1的母线方程为：且有，(3)，得：这就是以（1)为准线，母线的方向数为X，Y，Z的柱面的方程。2).柱面方程的特征：F(x，y)=0在空间直接坐标系中表示母线平行于Z轴的柱面，其准线为坐标系xoy面上的曲线。其它类推。，椭圆柱面：母线平行于X轴。双曲柱面：母线平行于Z轴。抛物柱面：母线平行于Y轴。1.1.5锥面1.定义：在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。2.锥面方程：锥面方程：推理过程：设锥面的准线为：顶点为，如果为准线上任一点，则锥面过点M1的母线为：且有，(3)，得：这就是以（1)为准线，以A为顶点的锥面方程。Eg.求顶点在原点，准线为的锥面的方程。答案：3.齐次方程：设λ为实数，对于函数f(x，y，z)，如果有：f(tx，ty，tz)=tλf(x，y，z)则称f(x，y，z)为λ的齐次函数，f(x，y，z)=0称为齐次方程。定理：一个关于x，y，z的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。方程x2+y2-z2=0圆锥面方程x2+y2+z2=0原点（虚锥面)1.1.6旋转曲面1.定义：以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条定直线叫旋转曲面的轴。曲线C称为放置曲面的母线2.旋转曲面方程：旋转曲面方程：推理过程：设旋转曲面的母线为：其中为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴L的方向数。设为母线C上的任意点，则M1的纬圆总可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中心，|P0M1|为半径的球面的交线。所以，过M1的纬圆的方程为：当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆，这些纬圆就生成旋转曲面。又由于M1在母线上，所以又有：从（3)（4)的四个等式中消去参数x1，y1，z1，得到一个三元方程：这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程。3.常见曲面方程：a．双曲线分别绕x轴和z轴旋转:x轴：，单叶双曲面。z轴：，双叶双曲面。b.椭圆分别绕y轴和z轴旋转：y轴：，长形旋转椭圆面。z轴：，短形旋转椭圆面。c．抛物线绕z轴旋转：，旋转抛物面。1.1.7二次曲面1.定义：三元二次方程ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0所表示的曲面称之为二次曲面。相应地平面被称为一次曲面。讨论二次曲面性状的平面截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕)的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。2.常见的几种二次曲面：1).椭球面：a.用平面z=0去截割，得椭圆：b.用平面z=k去截割(要求|k|c)，得椭圆：当|k|c时，|k|越大，椭圆越小；当|k|=c时，椭圆退缩成点。c.类似地，依次用平面x=0，平面y=0截割，得椭圆：特别：当a=b=c时，方程x2+y2+z2=a2，表示球心在原点o，半径为a的球面。2).双曲面单叶双曲面：a.用坐标面xoy(z=0)与曲面相截，截得中心在原点O（0，0，0)的椭圆。与平面z=z1交线为椭圆。当z1变动时，这种椭圆的中心都在z轴上。b.用坐标面xoz(y=0)与曲面相截，截得中心在原点的双曲线。实轴与x轴相合，虚轴与z轴相合。与平面的交线为双曲线。双曲线的中心都在y轴上。实轴与x轴平行，虚轴与z轴平行。实轴与z轴平行，虚轴与x轴平行。截痕为一对相交于点（0，b，0)的直线。截痕为一对相交于点（0，-b，0)的直线。c.用坐标面yoz(x=0)，x=x1与曲面相截均可得双曲线。平面的截痕是两对相交直线。单叶双曲面图形：双叶双曲面：3).抛物面椭圆抛物面：（p、q同号)用截痕法讨论：设a.用坐标面xoy(z=0)与曲面相截，截得一点，即坐标原O(0，0，0)，原点也叫椭圆抛物面的顶点。与平面z=z1，z1>0的交线为椭圆。当z1变动时，这种椭圆的中心都在z轴上。与平面z=z1，z1<0不相交。b.用坐标面xoz(y=0)与曲面相截，截得：与平面y=y1的交线为抛物线。它的轴平行z轴，顶点：c.其它截面类推。1.1.8空间曲线1.空间曲线的一般方程：1).空间曲线C可看作空间两曲面的交线。2).空间曲线的一般方程：☆高等数学习题（空间解析几何）1．已知，，，并且向量．计算．解：因为，，，并且所以与同向，且与反向因此，，所以2．已知，，求．解：（1)（2)得所以3．设力作用在点，求力对点的力矩的大小。解：因为，所以力矩所以，力矩的大小为4．已知向量与共线，且满足，求向量的坐标。解：设的坐标为，又则（1)又与共线，则所以即（2)又与共线，与夹角为或整理得（3)联立解出向量的坐标为5．用向量方法证明，若一个四边形的对角线互相平分，则该四边形为平行四边形。证明：如图所示，因为平行四边形的对角线互相平分，则有由矢量合成的三角形法则有所以即平行且等于四边形是平行四边形6．已知点，求线段的中垂面的方程。解：因为，中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，则由得化简得这就是线段的中垂面的方程。7．向量，，具有相同的模，且两两所成的角相等，若，的坐标分别为，求向量的坐标。解：且它们两两所成的角相等，设为则有则设向量的坐标为则:所以联立求出或所以向量的坐标为或8．已知点，，，，求以，，为邻边组成的平行六面体的体积求三棱锥的体积。求的面积。求点到平面的距离。解：因为，，，所以（1）是以它们为邻边的平行六面体的体积（2）由立体几何中知道，四面体（三棱锥)的体积（3）因为，所以，这是平行四边形的面积因此（4）设点到平面的距离为，由立体几何使得三棱锥的体积所以9．求经过点和且与坐标平面垂直的平面的方程．解：与平面垂直的平面平行于轴，方程为(1)把点和点代入上式得(2)(3)由（2)，（3)得，，代入（1)得消去得所求的平面方程为：10．求到两平面和距离相等的点的轨迹方程。解；设动点为，由点到平面的距离公式得所以11．已知原点到平面的距离为120，且在三个坐标轴上的截距之比为，求的方程．解：设截距的比例系数为，则该平面的截距式方程为化成一般式为又因点到平面的距离为120，则有求出所以，所求平面方程为12．若点在平面上的投影为，求平面的方程。解：依题意，设平面的法矢为代入平面的点法式方程为整理得所求平面方程为13．已知两平面与平面相互垂直，求的值。解：两平面的法矢分别为，，由⊥，得求出14．已知四点，，，，求三棱锥中面上的高。解：已知四点，则由为邻边构成的平行六面体的体积为由立体几何可知，三棱锥的体积为设到平面的高为则有所以又所以，因此，15．已知点在轴上且到平面的距离为7，求点的坐标。解：在轴上，故设的坐标为，由点到平面的距离公式，得所以则那么点的坐标为16．已知点．在轴上且到点与到平面的距离相等，求点的坐标。解：在轴上，故设的坐标为，由两点的距离公式和点到平面的距离公式得化简得因为方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。17．求经过点且与直线和都平行的平面的方程。解：两已知直线的方向矢分别为，平面与直线平行，则平面的法矢与直线垂直由⊥，有（1)由⊥，有（2)联立（1)，（2)求得，只有又因为平面经过点，代入平面一般方程得所以故所求平面方程，即，也就是平面。18．求通过点P(1，0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线相交的直线的方程。解：设所求直线的方向矢为，直线与平面平行，则⊥，有（1)直线与相交，即共面则有所以（2)由（1)，（2)得，即取，，，得求作的直线方程为19．求通过点)与直线的平面的方程。解：设通过点的平面方程为即(1)又直线在平面上，则直线的方向矢与平面法矢垂直所以(2)直线上的点也在该平面上，则（3)由（1)，（2)，（3)得知，将作为未知数，有非零解的充要条件为即，这就是求作的平面方程。20．求点到直线的距离。解：点在直线上，直线的方向矢，则与的夹角为所以因此点到直线的距离为21．取何值时直线与轴相交?解：直线与轴相交，则有交点坐标为，由直线方程得，求得22．平面上的直线通过直线：与此平面的交点且与垂直，求的方程。解：依题意，与的交点在平面上，设通过交点的平面方程为即（1)已知直线的一组方向数为所以由直线与平面垂直得所以得将，代入（1)得化简得故所求直线方程为23．求过点且与两平面和平行直线方程．解：与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行，则直线的方向矢垂直于这两平面法矢所确定的平面，即直线的方向矢为将已知点代入直线的标准方程得8．一平面经过直线（即直线在平面上)：，且垂直于平面，求该平面的方程．解：设求作的平面为(1)直线在该平面上，则有点在平面上，且直线的方向矢与平面的法矢垂直所以(2)(3)又平面与已知平面垂直，则它们的法矢垂直所以(4)联立(2)，(3)，(4)得代入（1)式消去并化简得求作的平面方程为1.2微分学1.2.1极限1.极限定义的等价形式：(设)2.极限存在准则及极限运算法则(x趋向于0)：3.两个重要极限：4.同角三角函数关系式：1).平方关系：2).商的关系：3).倒数关系：4).两角和与差的函数关系：5).背角关系：6)万能公式：7).和差化积：Eg1.求下列极限：(1).解：(2).解：令(3).Eg2.求下列极限：解：解：解：因为：所以：因此，8).初等函数曲线图：9.洛必达法则：定理1：设定理2：设函数f(x)与g(x)在点a的某邻域内(点a可以除外)都可导，且g'(x)≠01.2.2连续1.连续的定义：2.结论：初等函数在定义区间内连续。☆高等数学习题(极限、连续)一、选择题1、当时，（A）无穷小量。ABCD2、点是函数的（C）。A连续点B第一类非可去间断点C可去间断点D第二类间断点3、函数在点处有定义是其在处极限存在的（D）。A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D无关条件4、已知极限，则常数等于（A）。A-1B0C1D25、极限等于（D）。AB2C0D-2二、填空题1、=2、当时，无穷小与无穷小等价，则常数A=33、已知函数在点处连续，且当时，函数，则函数值=04、=1若存在，且，则=1三、解答题1、计算极限解：原式=2、计算极限解：原式=3、计算极限解：原式=4、计算极限解：原式=5、设具有极限，求的值解：因为，所以，因此并将其代入原式6、设，试确定常数，使得解：此时，7、试确定常数，使得函数在内连续。解：当时，连续，当时，连续。所以当时，在连续因此，当时，在内连续。1.2.3导数1．初等函数的导数：2.反三角函数的导数公式：3.函数的四算法则：1).定理2.1：函数u(x)、v(x)在x处可导，则它们的和、差、积与商在x处也可导，且：推论1：(c为常数)推论2：公式推广：2).高阶函数求导定义：如果可以对函数f(x)的导函数f(x)再求导，所得到的一个新函数，称为函数y=f(x)的二阶导数，记为f(x)、y或d2y/dx2，如对二阶导数再求导，则称三阶导数，记为f(x)、y或d3y/dx3。3).复合函数的求导法则定理2.2：若函数u=u(x)在x处可导，若函y=f(u)在u处可导，则复合函数y=f(u(x))在点x处可导，且：或推论：设y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可导，则复合函数y=f[((x))]也可导，且4).隐函数求导：5).二元函数的偏导数的求法：求对自变量x(或y)的偏导数时，只须将另一自变量y(或x)看作常数，直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行计算。6).二元函数的二阶偏导数:☆高等数学习题（导数及其应用）一、选择题1、设函数可导，则（C）A．B．C．D．不能确定2、设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（D）yyxOyxOyxOyxOA．B．C．D．3、下列说法正确的是(D)A．当时，则为的极大值B．当时，则为的极小值C．当时，则为的极值D．当f(x0)为函数f(x)的极值且存在时，则有4、已知函数，在处函数极值的情况是（C）A．没有极值B．有极大值C．有极小值D．极值情况不能确定5、曲线在点的切线方程是（A）A．B．C．D．6、已知曲线在点M处有水平切线，则点M的坐标是（C）．A．（-15，76）B．（15，67）C．（15，76）D．（15，-76）7、已知函数，则（D）A．在上递增B．在上递减C．在上递增D．在上递减8、已知对任意实数，有，且时，，则时（B）A． B．C． D．yxO9、已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（B） （）yxOA．B． C.D．10、如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率(C) A．B．C．D．二、填空题11、函数的单调递增区间是与。12、若一物体运动方程如下：则此物体在和时的瞬时速度是6和0．13、求由曲线围成的曲边梯形的面积为．14、已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则32.三、解答题16、（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度.分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数.解：（1），，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0.因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1.（2）..17、已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0，0)，B(，5)，C(1，0).求函数的图像与x轴围成的图形的面积NxyODM15P图2NxyODM15P图2xyABC15图1所以，（法一）y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，如图2，封闭图形MNO与OMP全等，面积相等，故所求面积即为矩形ODMP的面积S=.18、设函数是定义在［－1，0）∪（0，1］上的奇函数，当x∈［－1，0）时，（a∈R).（1）当x∈(0，1］时，求的解析式；（2）若a＞－1，试判断在（0，1）上的单调性，并证明你的结论；（3）是否存在a，使得当x∈（0，1）时，f(x)有最大值－6.（1）解：设x∈(0，1］，则－x∈［－1，0)，f(－x)=－2ax+，∵f(x)是奇函数.∴f(x)=2ax－，x∈(0，1］. （2）证明：∵f′(x)=2a+，∵a>－1，x∈(0，1］，>1，∴a+>0.即f′(x)>0.∴f(x)在（0，1］上是单调递增函数. （3）解：当a>－1时，f(x)在（0，1］上单调递增.f(x)max=f(1)=－6，a=－(不合题意，舍之），当a≤－1时，f′(x)=0，x=.如下表：fmax(x)=f()=－6，解出a=－2.x=∈(0，1). （－∞，）（，+∞）+0－最大值∴存在a=－2，使f(x)在（0，1）上有最大值－6.19、函数对一切实数均有成立，且，（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）因为，令，再令.（Ⅱ）由知，即.由恒成立，等价于恒成立，即．当时，．故．20、已知函数.（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求参数的取值范围;（2）若函数在处取得极值，且时，恒成立，求参数的取值范围.解：已知函数.（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求参数的取值范围;（2）若函数在处取得极值，且时，恒成立，求参数的取值范围.解：（1）依题意，知方程有实根所以得（2）由函数在处取得极值，知是方程的一个根，所以，方程的另一个根为因此，当，当所以，和上为增函数，在上为减函数有极大值，又恒成立，1.2.4微分导数的定义：当时：为右导数：当时：为左导数：微分：关系：可导可微导数几何意义:切线斜率1.2.5偏导数与全微分1.2.6导数与微分的应用定理1：设函数f(x)在开区间I内可导，若则函数f(x)在开区间I内单调递增（递减)。☆高等数学习题（导数、微分）一、选择题1、设函数为y＝f（x），当自变量x由改变到时，相应的函数改变量△y为（A） (C)A．π Ｂ．2π 解：（B）A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1４、设周期函数f（x）在（－∞，＋∞）内可导，周期为T，又则曲线y＝f（x）在点（T＋1，f（T＋1））处的切线斜率为（D） B．0 C．－1 D．－2(A)A．f（x）极限存在，但不一定可导 B．f（x）极限存在且可导C．f（x）极限不存在但可导 D．f（x）极限不一定存在(A) (C)A．a＝0，b＝－2Ｂ．C． D．a＝1，b＝－28、设f（x）处处可导，则（D）9、两曲线相切于点（1，－1）处，则a，b值分别为（D）A．0，2 B．1，－3 C．－1，1 D．－1，－1（D）A．必可导 B．不连续C．一定不可导 D．连续但不一定可导(C)A．（1，1） B．（－1，1）C．（1，1）和（－1，－1） D．(－1，－1)(B)A．既连续又可导 B．连续但不可导C．既不连续也不可导 D．不连续但可导13、垂直于直线且与曲线相切的直线方程是(B)A．3x－y＋6＝0 B．3x＋y＋6＝0C．3x－y－6＝0 D．3x＋y－6＝0(A)A．a B．2a 提示：设点为抛物线上任一点，则将抛物线方程两边对x求导：得所以在点处的切线斜率为，由此可得切方程为即此切线与两坐标轴的截距之和为：15、设f（x）＝|sinx|，则f（x）在x＝0处(B)A．不连续 B．连续，但不可导C．连续且有一阶导数 D．有任意阶导数(A)A．不连续，必不可导 B．不连续，但可导C．连续，但不可导 D．连续，可导提示：讨论分段函数在交接点处是否可导应按导数定义判断；考察在某点得是否连续，应按左、右极限是否相等来判断.(B) 18、要使点（1，3）为曲线的拐点，则a，b的值分别为(A) 提示：因为（1，3）是连续曲线的拐点的定义可得a＋b＝3①再结合拐点的定义可得b＝－3a②结合①②解之．19、如果f（x）与g（x）可导，，则(C)20、已知f（x）在[a，b]上连续，（a，b）内可导，且当x∈（a，b）时，有又已知f（a）>0．则（D）A．f（x）在[a，b]上单调增加，且f（b）>0B．f（x）在[a，b]上单调减少，且f（b）<0C．f（x）在[a，b]上单调增加，且f（b）<0D．f（x）在[a，b]上单调减少，但f（b）正负号无法确定(C)A．在（－∞，＋∞）单调增加B．在（－∞，＋∞）单调减少C．在（－1，1）单调减少，其余区间单调增加D．在（－1，1）单调增加，其余区间单调减少22、当x≠0时，有不等式（B）23、若在区间（a，b）内，函数f（x）的一阶导数，二阶导数，则函数f（x）在此区间内是（D）A．单调减少，曲线是下凹的 B．单调增加，曲线是下凹的C．单调减少，曲线是下凸的 D．单调增加，曲线是下凸的（B）A．没有水平渐近线，也没有斜渐近线B．x＝－3为其垂直线渐近线，但无水平渐近线C．既有垂直渐近线，也有水平渐近线D．只有水平渐近线25、设函数y＝f（x）在处有在处有不存在，则（C） 26、若连续函数在闭区间上有惟一的极大值和极小值，则（D）A．极大值一定是最大值，极小值一定是最小值B．极大值必大于极小值C．极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值D．极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值（D） 提示：这里插入，因为题目假定f（x）在点可导，所以分成两项的极限都存在．因为题中只设f（x）在可导，没说在及其邻域内可导，更没假定在点连续，所以上面的做法是无根据的．（C）A．3 B．2 C．－3 D．－2（A）A．－ln4 D．2提示：（B）A．x＋y＝1 B．x＋y＝5 C．x－y＝5 D．x－y＝1（A）A．a＝2，b＝1 B．a＝1，b＝2C．a＝－1，b＝－1 D．a＝2，b＝－1二、解答题3、讨论函数的单调性，并确定它在该区间上的最大值最小值．解：设则，于是当0<x≤2时，而只有x＝0时，，故在[0，2]上为单调减少，而所以在为单调减少，在为单调增加，因而在[0，2]上f（x）的最大值f（0）＝27，最小值4、作函数的图形，说明函数的单调及凹凸区间、极值点、拐点、渐近线．得惟一的驻点x＝e，，得，下面求渐近线方程．由可知x＝0为垂直渐近线，y＝0为水平渐近线，无斜渐近线，在各部分区间内的符号，相应曲线弧的升降及凹凸，以及极值点和拐点等列表如下：函数图形如图3－25．（1）求函数的增减区间及极值．（2）求函数图象的凹凸区及拐点．（3）求其渐近线并作出其图形．所以，区间（－∞，0），（2，＋∞）为增区间，（0，2）为减区间，x＝2为极小点，极小值为y＝3．（3），所以x＝0为垂直渐近线，y＝x为斜渐近线．描点作图（如图3－26）．1.3积分学1.3.1不定积分1.基本积分表：1).2).3).4).5).6).7).8).9).10).11).12).13).14).15).16).17).18).19).20).21).2.分部积分法:1).2).1.3.2定积分1.牛顿—莱布尼茨公式：1).定理：如果在上连续，则积分上限的函数在上具有导数，且它的导数是2).定理：如果在上连续，则积分上限的函数就是在上的一个原函数。3).定理：如果是连续函数在区间上的一个原函数，则2.定积分的计算法：1).换元法：2).分部积分法：3).性质：4).性质：1.3.3广义积分1.无穷限的广义积分：当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。2.无界函数的广义积分：当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散。1.3.4二重积分1.则有：2.则有：3.☆高等数学习题（定积分的概念与性质）1.填空题(1)根据定积分的几何意义：12，，__0_。(2）设，则__5__，__-5__，。2.选择题（1）定积分值的符号为（）大于零小于零等于零不能确定（2）曲线与轴所围成的图形的面积可表示为（）；；；3.利用定义计算定积分.解：将区间等分，则每个小区间的长度，每个小区间上取右端点，于是4.比较下列各对积分的大小：（1）与解：当时，，所以，从而（2）与解：当时，，所以，从而（3）与解：因为，所以（4）与解：当时，，从而5.估计积分的值：解：设，先求在上的最大、最小值，由得内驻点，由知由定积分性质得6.求证：.证明：在区间上的最大值、最小值分别为，由性质6可知结论成立.7.设在区间上可微，且满足条件，试证：存在，使.证明：设，由积分中值定理可知，存在，使从而，可知在上满足罗尔定理，所以存在，使，即.8.已知函数连续，且，求函数.解：设，则，于是，得，所以.☆高等数学习题（微积分的基本公式）1.填空题(1)0，(2)，(3)(4)已知，则(5)已知，则（6）已知，则(7)由参数方程所确定的函数的导数=2.求由方程确定的函数的导数.解：3.求下列极限（1）解：原式=（2）解：原式==4.计算下列定积分（1）解：原式=（2）解：原式=(3)解：原式=（4）解：原式=（5）解：原式=（6）解：原式=（7）解：原式=(8)解：原式=（9）解：原式=（10）解：原式=（11）解：当时，原式；当时，原式；当时，原式5.设，求，并讨论在区间上的连续性。解：当时，，当时，，在区间上处处连续.6.设在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且，证明在（a，b）内有.证明：由于，所以当时，，从而结论成立！☆高等数学习题（定积分的换元法与分部积分法）定积分的换元法和分部积分法1.计算下列定积分（1）解：原式=（2）解：原式=（3）解：原式=（4）解：原式=（5）解：原式=（6）解：原式=(7)解：令，则原式=（8）解：令，则原式=（9）设，求。解：令原式=(10)解：原式（11）解：原式（12）解：原式（13）解：原式=（14）解：原式=(15)，其中解：因为，所以2.证明题(1)证明证明：令，则（2）设为连续函数，证明.证明：3.设在上连续，且，求.解：4.若函数满足，且，求.解：因为所以两边求导数，得，取，。☆高等数学习题（反常积分）1.选择题下列各项正确的是（）当为奇函数时，反常积分与有相同的敛散性==2.判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值：（1）解：由定义，反常积分发散，所以原积分发散.（2）解：原式（3）解：原式（4）解：原式(5)解：令，则原式（6）解：，所以反常积分发散.(7)解：(8)解：令，则原式3.利用递推公式计算反常积分.解：利用分部积分，，依次递推，得，而，所以4.已知，求（1）；（2）解：（1）（2）☆高等数学习题（定积分）1.选择题（1）设函数在内连续，且，则的值（）依赖于依赖于依赖于，不依赖于依赖于，不依赖于（2）设在上令，则（）.（3），则为（）.正常数负常数恒为零不为常数提示：，而.(4)下列反常积分发散的是（）2.计算题（1）求解：原式（2）设函数可导，且，，求.解：令，则，所以（3）计算解：原式（4）计算解：原式（5）已知，求的值.解：由条件有，即所以.（6）设连续非负函数满足，求.解：令，，从而，故.3.当时满足方程且在有连续一阶导数，又，求.解：两边对ｔ求导，得，令ｔ＝１，得，对求导，得，即，所以，又由知，故.4.设，在区间上连续，为偶函数，且满足条件（为常数），（1）证明：（2）利用（1）结论计算定积分证明：（1），令，，所以（2）取，，，且，所以5.设在上连续且单调递减，又设，证明对于任意满足的和，恒有.证明：作辅助函数，由知单调递减，故结论成立！☆高等数学习题（不定积分）１、求下列不定积分２、求下列不定积分（第一换元法）3、求下列不定积分（第二换元法）４、求下列不定积分（分部积分法）５、求下列不定积分（有理函数积分）6、一曲线通过点，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。7、已知一个函数的导函数为，且当时函数值为，试求此函数。8、证明：若，则。9、设的一个原函数为，求。10、求下列不定积分11、求以下积分1.4无穷级数1.4.1级数的概念1.级数的定义：1).常数项无穷级数：2).级数的部分和：2.级数的收敛与发散：当无限增大时，如果级数的部分和数列有极限，即则称无穷级数收敛，这时极限叫做级数的和.并写成如果没有极限，则称无穷级数发散。1.4.2级数的基本性质1).定理1：如果级数收敛，则亦收敛。2).定理2：设两收敛级数，，则级数收敛，其和为。3).定理3：若级数收敛，则也收敛.且其逆亦真。4).定理4：收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和。注意：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛。5).推论：如果加括弧后所成的级数发散，则原来级数也发散。6).定理5：去掉或添加为零的项所得到的级数与原级数有相同的敛散性，在收敛时有相同的和。7).定理6：级数收敛的必要条件：级数收敛如果级数的一般项不趋于零，则级数发散。8).定理7：（柯西判别准则）级数收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得当n>N时，对于任意的自然数p恒有1.4.3正项级数1.定义：如果收敛级数中各项均有，这种级数称为正项级数。2.正项级数及其判别法：1).定理1：正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界，并且当正项级数发散时，其部分和数列趋于正无穷大。注意：正项级数发散的充分必要条件是它的部分和数列，满足：2).定理2：（比较判别法）如果有，那么若级数收敛，则级数也收敛；若级数发散，则级数也发散。3).定理3：（比较判别法的极限形式）已给正项级数和，如果：则和有相同的敛散性。注：（1）当A=0时，若收敛，则也收敛。（2）当A=时，若发散，则也发散。4).定理4：（达朗贝尔比值判别法）已知正项级数，若，则：当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数可能收敛，可能发散。5).定理5：（柯西根值判别法）已知正项级数，若，则：当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数可能收敛，可能发散。1.4.4任意项级数1.定义1：设是任一实数列，则级数：称为任意项级数。2.定义2：设有级数，如果级数收敛，则说级数绝对收敛。3.定理1：若级数绝对收敛，则级数收敛。4.定理2：若交错级数满足条件：（1）数列单调递减，即：；（2）则交错级数收敛，且其和S不超过。5.定义3：如果级数收敛，但级数发散，则级数条件收敛。1.4.4幂级数1.函数项级数的概念：设（n=1，2，3，…）是定义在区间I上的函数，序列称为I上的一个函数序列。定义1：设有函数序列，表达式称为区间I上的一个函数项级数。2．幂级数：1).级数称为幂级数。2).级数为幂级数的一般形式。3).定理1：（Abel定理）如果级数在点处收敛，则它在开区间上任何一点处绝对收敛；如果级数在处发散，则它在闭区间外的任何一点处发散。4).定理:2：幂级数在一定在某个区间（-R，R）上绝对收敛，在闭区间[-R，R]外发散，在-R、R处可能发散可能收敛。5).定理3：在幂级数或者中，若：则：收敛半径，当时，规定；当时规定R=0。☆高等数学习题（无穷级数）一、讨论等比级数(几何级数)的收敛性.解：，发散发散发散填空题:1、若，则=____________；答案：2、若，则=______________________；答案：若级数为则_______；答案：4、若级数为则________；答案：5、若级数为则当_____时_____；当______时________；答案：6、等比级数，当_____时收敛；当____时发散.答案：三、由定义判别级数：的收敛性.答案：收敛。三、判别下列级数的收敛性:1、；答案：发散2、；答案：收敛3、.答案：发散五、利用柯西收敛原理判别级数的敛散性.答案：发散[取]1.5常微分方程1.5.1微分方程的基本概念1.定义1：凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量关系的方程称为微分方程。2.定义2：微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。3.定义3：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。4.定义4：从微分方程求出未知函数就叫做解微分方程.满足微分方程的函数（它要在某区间上连续）称为微分方程的解。5.定义5：微分方程的解中的任意常数的个数与方程的阶数相同，这种解称为方程的通解．不含有任意常数的解称为特解。6.定义6：用来确定通解中的任意常数，未知函数所满足的条件称为初始条件或定解条件。7.定义7：求解微分方程满足初始条件的问题称为微分方程的初值问题。8.定义8：微分方程的特解在几何上是一条曲线，称它为微分方程的积分曲线．也被称为微分方程初值问题的几何意义。Eg1：某曲线过点且任一点处的切线的斜率为，求曲线方程。解：依题意有……….一阶微分方程且……………..…….初始条件或定解条件所以…….……….微分方程的通解所以……….……..微分方程的特解Eg2：火车以20米/秒行驶时，若以的加速度刹车，则到停止时位移为多少？解：设刹车后位移与时间关系为，则有：…二阶微分方程且…….初始条件或定解条件所以……….特解1.5.2一阶微分方程1.可分离变量的微分方程：1).定义：若某微分方程可化为：的形式，称这种类型的微分方程为可分离变量的微分方程。形式：左边的表达式中只含有，右边的表达式中只含有。Eg1：微分方程：变化得：两边积分得：所以：……………方程的通解Eg2：求的通解。解：由方程得：所以即方程的通解为Eg3：求微风方程满足初始条件的特解。解：原方程变为:故特解为：2.齐次方程：定义：若一阶微分方程中的函数可化为的函数，即，称为该方程为齐次方程。如可化为：齐次方程形式：得其解法为：对于，令，则，从而：，将其代入原方程得：Eg1：解方程，并求的特解。解：由原方程得：令，则原方程变为：，即分离变量得：两端积分得：即：将代入得把代入得：所以3.一阶线性微分方程：1).定义：形如的微分方程称为一阶线性微分方程。当时，称为一阶线性齐次微分方程。当时，称为一阶线性非齐次方程。Eg1:解方程。解：对应的线性齐次微分方程的通解为：把换成的未知函数代入得：因此：，得：将代入，得原方程通解为：.3.可降阶的微分方程：1.右端仅含x的方程：微分方程：对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为n-1阶方程：同理可得：依此法继续进行，接连积分n次，便得方程①的含有n个任意常数的通解。Eg1：解方程解：对方程两边连续积分三次得：2.右端不显含y的方程：微分方程令为一新的未知函数，则可化为，这是一阶微分方程，可解。Eg1.求方程满足的特解。解：设，则从而方程化为两边积分得：既有将条件代入得：对两端再积分得：再将代入得：故所求方程的特解为：3.右端不显含x的方程：微分方程：令为一新的未知函数，将看作是自变量的函数，有：方程可化为这是一阶微分方程，可解。Eg1：解方程.解：令则代入次方程得：当时，约去并分离变量得：，两端积分得：即再分离变量，两边积分得：即：（）当，即时，原方程有解：显然此二解是（）式分别当和时的特殊情形．故方程的通解为：1.5.3二阶常系数线性微分方程1.二阶线性微分方程解的结构：二阶线性微分方程……①其中，当时，二阶线性齐次方程……②当时，称①为二阶线性非齐次方程。定理1：若函数是②的解，则：也是②的解．其中为任意常数。定理2：若是②的两个线性无关的特解，则是②的通解。推论：如果是阶线性齐次方程：的个线性无关的解，那么，此方程的通解为：其中为任意常数。定理3：若是①的一个特解，是①的对应的齐次方程②的通解，则……③是①的通解．定理4：设有线性非齐次方程：.如果分别是方程与方程：的解，那么就是原方程的特解.2.二阶常系数线性齐次微分方程型如：……④（其中为常数）的方程称为二阶常系数线性齐次微分方程。将，，代入④得：又，故有：……⑤可见，只要满足⑤，即可满足④。称代数方程⑤为微分方程④的特征方程。1).当时，⑤有两个不相等的实根。此时不是常数方程的通解为：。1).当时，⑤有两个相等的实根。，这时微分方程只有一个解。方程的通解为：3).当时，方程有一对共轭复数根：方程的通解为：Eg1：解方程解：此方程的特征方程为：，故所求通解为Eg2：解方程解：此方程的特征方程为：故所求通解为1.6概率与数理统计1.6.1随机事件与概率1.随机事件：1).样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间。2).随机事件：试验中可能出现或可能不出现的情况。3).事件之间的关系：a.包含关系：A发生必导致B发生。记为AB，且有A＝BAB且BA。b.和事件：事件A与B至少有一个发生，记作AB。c.积事件：A与B同时发生，记作AB＝AB。d.差事件：A－B称为A与B的差事件，表示事件A发生而B不发生。e.互斥事件：事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。也可叙述为：不可能同时发生的事件。f.互逆事件：指在每次随机试验中，必然有一个发生，但又不能同时发生的两个随机事件.事件A和B互逆必须且只须(必然事件)且(不可能事件).A与B是互逆事件时，A和B互称为逆事件。Eg1：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：1.6.2概率的定义及其运算1.古典概型与概率：1).定义：若某实验E满足：a.有限性：样本空间S＝{e1，e2，…，en}；b.等可能性：P(e1)=P(e2)=…=P(en)。则称E为古典概型也叫等可能概型。2).古典概型中的概率：设事件A中所含样本点个数为N(A)，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有，称为古典概型中的概率。Eg1.有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少?解:设A至少有一个男孩，以H表示某个孩子是男孩:N(S)={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}N(A)={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT}2.组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有：取法。一般地，设有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是：Eg1.设有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A为取到一红一白，则：一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：Eg2.将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:设A:每盒恰有一球，B:空一盒。一般地，把n个球随机地分成m组(n>m)，要求第i组恰有ni个球(i=1，…m)，共有分法：Eg3.30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组Eg4.从1到200这200个自然数中任取一个：(1)求取到的数能被6整除的概率。(2)求取到的数能被8整除的概率。(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率。解:N(S)=200，N(1)=[200/6]=33，N(2)=[200/8]=25，N(3)=[200/24]=8(1)，(2)，(3)的概率分别为:33/200，1/8，1/251.6.3频率与概率1.定义:事件A在n次重复试验中出现次，则比值称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为.即实践证明：当试验次数n增大时，逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率。1.6.4条件概率Eg1.设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率；（2）求第二次取到红球的概率；（3）求两次均取到红球的概率；解：设A——第一次取到红球，B——第二次取到红球：显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有个样本点，AB含有个样本点，则：一般地，设A、B是S中的两个事件，则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。1.6.5离散型随机变量及其概率分布1.定义：按一定概率取有限个或可列个值的随机变量，称为离散型随机变量。2.概率函数(分布律)：设X所有可能取值为（i=1，2，…)称为离散型随机变量X的概率函数或分布律。性质：1).2).（i=1，2，…）3.离散型随机变量分类：1).伯努利概型:试验只有两种可能结果：及，把这个试验独立重复n次，就构成了n重伯努利试验，简称伯努利试验。设:定理（伯努利公式）:B={n重贝努利试验中事件A出现k次}(k=0，1，…n)Eg1.某药治某病的治愈率为p，现用此药治该病5例，问治愈3例的概率是多少？解：Eg2.袋中装有白球20个和黑球10个，每次抽一个：（1）抽取后放回抽取5次，求抽到白球3次的概率；（2）抽取后无放回抽取5次，求抽到白球3次的概率。解：（1）抽取后放回抽球，可看成每次试验是独立的，属于伯努利试验，令A={抽到白球}且P（A）=2/3则（2）抽取后无放回抽球，说明每次试验间不独立，因此不属伯努利试验，应看成古典概型。无放回抽5次，可看成一次抽5个球，由古典公式得：一维随机变量的分布和数字特征数理统计的基本概念参数估计假设检验方差分析一元线性回归分析1.7向量分析1.8线性代数1.8.1行列式1.二阶与三阶行列式：1).一二阶行列式的定义：2).三阶行列式的定义：二、普通物理2.1热学2.1.1气体状态参量1.温度：1).意义：(宏观)表示物体的冷热程度的物理量。(微观)是物体内部分子无规则运动的剧烈程度的标志。2).单位:开尔文(k)、摄氏度(℃)3).热力学温度和摄氏温度间的关系T=t+273K（虽然他们表示同一温度时，数值不同，但他们表示温度的间隔时相同，即温差相同。)4).测量工具:温度计2.体积：.意义：就是指气体所充满的容器的容积。2).单位:m³常用单位:L、mL、dm³、cm³关系：1m³=10³dm³=10³L1L=10³mL1dm³=10³cm³3.压强：1).定义：气体作用在器壁单位面积上的压力叫做气体的压强。2).单位：Pa1Pa=1N/m²atmcmHg柱mmHg柱关系：1atm=1.013×105Pa=76cmHg=760mmHg3).产生原因：大量气体分子做无规则运动而不间断地对器壁碰撞引起的。4).一般情况下，气体压强处处相等（跟重力无关)5).测量工具：压强计2.1.2平衡态1.平衡态的定义：一定质量的气体状态参量(p，V，T)为定值，不随时间发生变化的状态。2.平衡过程：如果气体从一个平衡状态经过无数个无限接近平衡状态的中间状态，过渡到另一个平衡状态，这个过程就称为平衡过程.3.热力学第零定律：如果有三个物体A、B、C，其中两个物体A、B分别与处于确定状态的C达到了热平衡，那么A、B两个物体也处于热平衡状态，二者相互接触，不会有能量的传递，这就是热力学第零定律。2.1.3理想气体的状态方程1.理想气体宏观定义：遵守三个实验定律(玻意耳定律、盖-吕萨克定律、查理定律)的气体。当气体的温度不太低，压强不太大时，可近似当作理想气体。玻意耳定律：盖-吕萨克定律:查理定律:2.理想气体的状态方程：1).内容：一定质量的某种理想气体在从一个状态变化到另一个状态时，尽管p、V、T都可能改变，但是压强跟体积的乘积与热力学温度的比值保持不变。2).公式：注：恒量C由理想气体的质量和种类决定，即由理想气体的物质的量决定。3).气体密度式：4).气体标准状态参数：5).理想气体在标准状态下的常量（摩尔气体常量）：P(Pa)，V(m3):R=8.31J/mol·K一摩尔理想气体的状态方程：2.1.4克拉珀龙方程1.定义：克拉珀龙方程是任意质量的理想气体的状态方程，它联系着某一确定状态下，各物理量的关系。公式：或2.1.5能量按自由度均分原理1.分子平均平动动能:2.自由度：描述物体运动自由程度的物理量。在力学中，自由度是指决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数。所谓独立坐标数是指描写物体位置所需的最少的坐标数。3.气体分子自由度：1).单原子分子气体:总自由度为，比如He、Ne、Ar。2).刚性双原子分子气体:总自由度为，比如氢气（H2）、氧气（O2）。3).刚性多原子分子气体:总自由度为，比如二氧化碳气体（CO2）、水蒸气（H2O）、甲烷气体（CH4）。4.分子动能按自由度均分的统计规律：分子平均平动动能：且同理:能量按自由度均分定理：在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于。分子的平均平动动能：分子的平均转动动能：分子的平均总动能：2.1.6理想气体的内能1.定义：气体内能：所有气体分子的动能和势能的总和。理想气体内能：所有分子的动能总和。2.理想气体公式：1).一个分子的能量为:2).1mol气体分子的能量为:3).M千克气体的内能为：4).对于一定量的理想气体，它的内能只是温度的函数而且与热力学温度成正比。当温度变化T时，当温度变化dT时，2.1.7气体分子平均碰撞次数和平均自由程1.气体分子平均速率：氮气分子在270C时的平均速率为476m.s-1。克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。2.温度越高，分布曲线中的最概然速率vp增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低。在相同的t时间内，分子由A到B的位移比它的路程小得多。3.分子自由程：气体分子在连续两次碰撞之间自由通过的路程。4.碰撞频率：在单位时间内分子与其他分子碰撞的平均次数。5.平均自由程：平均自由程与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比。当温度恒定时，平均自由程与气体压强成反比。2.1.8麦克斯韦速率分布定律1.分子速率分布：1).N为速率在区间的分子数。2).为速率在区间的分子数占总数的百分比。2.分布函数：1).物理意义：表示在温度为T的平衡状态下，速率在v附近单位速率区间的分子数占总数的百分比。2).物理意义：表示速率在区间的分子数占总分子数的百分比。物理意义：速率位于内分子数。物理意义：速率位于内分子数。物理意义：速率位于内分子数占总数的百分比。3).归一条件：3.麦克斯韦速率分布函数：物理意义：反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分比的规律。4.三种统计速率：1).最概然速率:2).平均速率:3).方均根速率:4).统计比较：2.1.9热力学第一定律1.准静态过程：1).准静态过程：系统的每一个状态都无限接近于平衡态的过程(理想化的过程)。2).非静态过程：当系统宏观变化很快，每一状态都是非平衡态。2.功、热量、内能:1).改变系统状态的方式有两种：传热与做功。2).功：设气体的压强P，活塞面积s，气体作用在活塞上的力：活塞移动dl距离时，气体作功：所以气体体积由V1变为V2时，系统对外作功：3).热量：定义：传热过程中所传递的热运动能量的多少。传热的微观本质：是分子的无规则运动能量从高温物体向低温物体传递。4).内能：理想气体内能:表征系统状态的单值函数，理想气体的内能仅是温度的函数。3.热力学第一定律：1).在一个热力学过程中，系统从外界吸收的热量，一部分使系统的内能增加，一部分使系统对外界作功。微小变化过程：准静态过程：对于任意过程：2).定律：热力学第一定律就是不同形式的能量在传递与转换过程中守恒的定律，表达式为Q=△U+W。表述形式：热量可以从一个物体传递到另一个物体，也可以与机械能或其他能量互相转换，但是在转换过程中，能量的总值保持不变。热力学第一定律是热现象中能量转换和守恒定律.第一类永动机是不可能制成的。热力学第一定律适用于任何系统的任何过程(非准静态过程亦成立)，是自然界的普遍规律。3).理想气体的几种状态变化关系：等压过程：等容过程：等温过程：2.1.10热容量1.物质的热容量：1).定义：在一定条件下，系统的温度升高或降低1K时吸收（或放出）的热量称为该系统的热容。2).摩尔热容量：定义：1mol的理想气体，温度变化1k时，所吸收或放出的热量称为摩尔热容量。3).等容摩尔容量：定义：一摩尔气体在体积不变时，温度改变1K时所吸收或放出的热量。对于一摩尔气体：4).等压摩尔容量：定义：一摩尔气体在压强不变时，温度改变1K时所吸收或放出的热量。等压过程:系统压强在状态变化过程中始终保持不变，p=常量。因为所以因为所以2.等容过程与等压过程中热量的计算：1).等容过程的热量计算:2).等压过程的热量计算:3).单原子理想气体，各式表示物理意义：1mol理想气体的内能。理想气体的等容摩尔热容。理想气体的等压摩尔热容。2.1.11第一定律对于热力学过程的应用1.三个等值过程：1).等容过程：2).等压过程：系统做功：内能的改变：吸收的热量：热力学第一定律：3).等温过程：过程特征:T=常量。过程方程：PV=常量。热力学第一定律：功定义：2.绝热过程：过程特征：绝热过程的功：热力学第一定律：准静态过程：联立得：两边积分得泊松公式：绝热方程：常量2.1.12循环过程1.定义：系统经过一系列变化状态过程后，又回到原来的状态的过程叫热力学循环过程。2.正循环（热机循环）：过程曲线沿顺时针方向，系统对外作正功。在一正循环中，系统从高温热源吸热Q1，向低温热源放热Q2(Q2>0)，系统对外作功。循环效率：一次循环过程中系统对外做的功占它从高温热源吸热的比率。3.逆循环（制冷循环）：过程曲线沿逆时针方向，系统对外作负功。循环曲线所包围的面积等于循环过程中系统对外做的净功。正循环A>0，逆循环A<0。4.卡诺循环：在一循环中，若系统只和高温热源(温度T1)与低温热源(温度T2)交换热量，这样的循环称卡诺循环。5.卡诺逆循环（卡诺致冷机）：卡诺逆循环:在一循环中，外界对系统做功A，使系统从低温热源吸收热量Q2，同时向高温热源释放热量Q1（Q1<0)。定义制冷系数：卡诺制冷机的制冷系数：2.1.13热力学第二定律1.定义：各种宏观过程的方向性的相互沟通，说明宏观过程的进行遵从共同的规律。1).开尔文表述：不可能制造出这样一种循环工作的热机，它只从单一热源吸收热对外作功而不产生其它影响。2).劳修斯表述：不可能把热量从低温物传到高温物体而不引起外界的变化。2.热力学第二定律的统计意义：孤立系统内部所发生的过程总是从包含微观态数少的宏观态向包含微观态数多的宏观态过渡，从热力学概率小的状态向热力学概率大的状态过渡。孤立系统内部所发生的过程总是朝着熵增加的方向进行，称为熵增加原理。2.1.14卡诺定理1．在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切可逆热机(即经历的循环过程是可逆的)，其效率都相等，与工作物质无关。2.在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切不可逆热机(经历的过程是不可逆循环)，其效率不可能大于可逆热机的效率。☆大学物理习题（热学）一、选择题1、一定量的某种理想气体起始温度为T，体积为V，该气体在下面循环过程中经过三个平衡过程：(1)绝热膨胀到体积为2V，(2)等体变化使温度恢复为T，(3)等温压缩到原来体积V，则此整个循环过程中(A)气体向外界放热(B)气体对外界作正功(C)气体内能增加(D)气体内能减少［A］2、定质量的理想气体完成一循环过程．此过程在V－T图中用图线1→2→3→1描写．该气体在循环过程中吸热、放热的情况是(A)在1→2，3→1过程吸热；在2→3过程放热．(B)在2→3过程吸热；在1→2，3→1过程放热．(C)在1→2过程吸热；在2→3，3→1过程放热．(D)在2→3，3→1过程吸热；在1→2过程放热．［C］3、根据热力学第二定律可知：(A)功可以全部转换为热，但热不能全部转换为功．(B)热可以从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体(C)不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程．(D)一切自发过程都是不可逆的．［D］4、某理想气体分别进行了如图所示的两个卡诺循环：Ⅰ(abcda)和Ⅱ(a'b'c'd'a')，且两个循环曲线所围面积相等．设循环Ｉ的效率为，每次循环在高温热源处吸的热量为Q，循环Ⅱ的效率为′，每次循环在高温热源处吸的热量为Q，则(A)′,Q<Q′.(B)′,Q>Q′.(C)′,Q<Q′.(D)′,Q>Q′［B］二、填空题1、一卡诺热机(可逆的)，低温热源的温度为27℃，热机效率为40％，其高温热源温度为500K．今欲将该热机效率提高到50％，若低温热源保持不变，则高温热源的温度应增加100K．2、有摩尔理想气体，作如图所示的循环过程acba，其中acb为半圆弧，ba为等压线，pc=2pa．令气体进行ab的等压过程时吸热Qab，则在此循环过程中气体净吸热量Q＜Qab．(填入：＞，＜或＝)三、计算题1、一定量的某种理想气体进行如图所示的循环过程．已知气体在状态A的温度为TA＝300K，求(1)气体在状态B、C的温度；(2)各过程中气体对外所作的功；(3)经过整个循环过程，气体从外界吸收的总热量(各过程吸热的代数和)．解：由图，pA=300Pa，pB=pC=100Pa；VA=VC=1m3，VB=3m3(1)C→A为等体过程，据方程pA/TA=pC/TC得TC=TApC/pA=100K．B→C为等压过程，据方程VB/TB=VC/TC得TB=TCVB/VC=300K．(2)各过程中气体所作的功分别为A→B：=400J．B→C：W2=pB(VC－VB)=200J．C→A：W3=0(3)整个循环过程中气体所作总功为W=W1+W2+W3=200J．因为循环过程气体内能增量为ΔE=0，因此该循环中气体总吸热Q=W+ΔE=200J．2、1mol单原子分子理想气体的循环过程如T－V图所示，其中c点的温度为Tc=600K．试求：(1)ab、bc、ca各个过程系统吸收的热量；(2)经一循环系统所作的净功；(3)循环的效率．(注：循环效率η=W/Q1，W为循环过程系统对外作的净功，Q1为循环过程系统