高中数学联赛真题分类汇编函数A辑(解析版)

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

专题02函数A辑

施雷国氟题

1.【2008高中数学联赛（第01试）】函数f（无）==叱在（一00,2）上的最小值是（）

2-X

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】当x<2时2—x>0,因此=1+（4]：+、2）=J-+（2-%）>2-J上•（2-久）=2,

当且仅当直=2-X时取得等号.而此方程有解户1G（—8,2）,

因此,"x）在（一oo,2）上的最小值为2.故选C.

2.【2006高中数学联赛（第01试）】设Iogx（2x2+x-i）>logx2—l,则x的取值范围为（）

A.|<x<1B.%>:且*1C.%>1D.0<%<1

【答案】B

【解析】因为C，解得X〉，于1,

2

由log*（2%2+%—1）>logx2—1,所以log429+%—x）>logx2»

2，解得。<X<阈2/+2L>2

解得x>l.

所以X的取值范围为X>洱印.

故选8.

32

3.[2006高中数学联赛（第01试）】设/'（X）=%+log2（x+Vx+1）.则对任意实数a,b,a+b>0是f（a）+f（b）》0

的（）

A.充分必要条件H.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】显然“为=炉+1。82（X+依!71）为奇函数，且单调递增.

于是，若a+b》0,则a》一6,

有f（a）》f（一b），即f（a）》一f（b），

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从而有f(a)+f(b)>0.

反之，若f(a)+fS)》0,则f(a)》-f(b)=/(-b),

推出a》-b,即a+b>0.

故选力.

4.12002高中数学联赛(第01试)】函数/'(乃=1。8式久2一2N一3)的单调递增区间是()

2

A.(—oo,—1)B.(—8,1)C.(1,4-oo)D.(3,+8)

【答案】A

【解析】由/—2x—3=(x4-l)(x—3)>0有］<一1或x>3.

故函数log式M-2%-3)的定义域为x<—1或x>3.

2

又因为〃=%2一2%-3在(-8,—1)内单调递减，在(3,+00)内单调递增.而log工〃在(0,+00)上单调递减，所以

2

log式%2一2%一3)在(一8,—1)单调递增，

2

故选A.

5.12002高中数学联赛(第01试)】函数/(%)=2一3)

1-2X2

A.是偶函数但不是奇函数B.是奇函数但不是偶函数

C.既是偶函数又是奇函数D.既不是偶函数也不是奇函数

【答案】A

【解析】函数,*x)的定义域是(一8,0)u(0,+8),

当人¥0时，因为

-X—X-x2xxx+x(2x—1)x

f(—x)=-----------=-------1--=-------------1--

八/1-2T22%—121-2X2

x.xxxr/X

=五7+广台一广

所以汽X)为偶函数，显然汽X)不是奇函数，

故选4.

6.【2000高中数学联赛(第01试)】给定正数p,q,a,b,c其中后夕，若p,a,4是等比数列，P，b,c,q

是等差数列，则一元二次方程法2—2a%+c=0()

A.无实根B.有两个相等实根

C.有两个同号相异实根D.有两个异号实根

【答案】A

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【解析】解法一由各选择支确定且互不相容，可以用特值检验法.取等比数列1，2,4,等差数列1,2,3,4,符

合题设，则方程是一2/一4x+3=0,

有4<0.

故选：A.

解法二依题意a?=pq,设等差数列p,b,c,g的公差为省0,4-4a2-4bc,

由a?—be=pq—(p+d)(q—d)=pd—qd+d2=(-3d)d+d2=-2d2<。可得4<0,

故选：A.

x

7.11999高中数学联赛(第01试)】若(logz3尸-(log53)》(1脸3尸-(logs3)^,则()

A.x-y>0B.x+y>0C.x-y<0D.x+y40

【答案】B

【解析】记f(t)=(log23)t-(log53)t,则就在R上是严格增函数.

原不等式即f(x)>f(-y)，故x>-y,即x+y>0.

引申问题虽然简单，但我们可以挖掘一些东西，这样我们才会提高.该问题的解决得力于以下常被称作“整数离散

性''的常识：如果有两个整数a,b,“</，，则“@一1.别小看这么简单的性质，它的作用可不小.以下一道难题的解

决就很需要它：

设a,b,c,d是自然数，满足a+c<n,fg<1,证明：+：<1—

bdbd九3

值得一提的是，很多困难的数论和组合问题的解决利用的恰恰是一些很简单的性质.

8.11998高中数学联赛(第01试)】若a>l,b>\且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(aT)+lg(bT)的值()

A.等于lg2B.等于1

C.等于0D.不是与a,。无关的常数

【答案】C

【解析】因为lg(a+6)=Iga+\gb,

所以a+b=ab>即(a—1)(6—1)=1,

因此lg(a-1)+lg(b-1)=0.

9.11996高中数学联赛(第01试)】如果在区间[1,2]±,函数於)=W+px+g与g(x)=x+妥在同一点取相同的

最小值，那么_/(x)在该区间上的最大值是()

4.4+—V2+V4B.4--V2+V4

22

C.1-JV2-V4D.以上答案都不对

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【答案】B

1

【解析】函数於)在(一》竺了)上取到最小值，而g⑺皂+升点>3G釜y=3x*,

等号取到当［=5时，即x=2《，

2x2

_14C_»»21422

则有一］=25,=3X43,解得p=-23,q=3X2飞+25.

11

由于23-1<2—2三，那么7U)在区间［1,2J的最大值在产2处取到，

即/•(%)=/(2)=4-5x2-5+25.

10.【1995高中数学联赛(第01试)】己知方程|x-2n|=k«5eN)在区间(2〃-1,2〃+1］上有两个不相等的实

根，则上的取值范围是()

A.k>0B.0</c<1

V2n+1

【答案】B

【解析】显然后0,而40导出x=2几原方程只有一根，故Q0.

又由(％—2n)2=炉工知，抛物线y=(%—2n)2与直线y=/欠在区间(2〃-1,2〃+1)上有两个不同交点，

所以，当x=2〃-1时，有(％—2n)2>d工,

而当x=2n+l时，有(％—2n)2>k2x.

从而攵2(2九+1)41,即k&J+］.

故选B.

11.11993高中数学联赛(第01试)】己知/(%)=asinx+b板+4(小，为实数)且/(IglogslO)=5,则f(lglg3)的

值是()

A.-5B.-3C.3

D.随°,人取不同值而取不同值

【答案】C

【解析】因为«x)—4是奇函数,故f(-x)-4=-(/(x)-4),BPf(-x)=-f(x)+8.

而lglg3=-lglog310,所以f(lglg3)=f(-lglog310)=-f(lglog310)+8=-5+8=3.

12.【1992高中数学联赛(第01试〉】设次x)是定义在实数集火上的函数，且满足下列关系：XIO+xMlO-x),f

(20-x)=—QO+x).则八》)是()

4.偶函数，又是周期函数

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B.偶函数，但不是周期函数

C.奇函数，又是周期函数

D.奇函数，但不是周期函数

【答案】C

【解析】由所给第一式得/[10+(10-x)]=f[10-(10-x)],所以f(x)=f(20-x)①

又由所给第二式得f(x)=-f(20+x)②

所以f(40+x)=/[20+(20+x)]=-f(20+x)=/(x).

可见,/(x)是周期函数.

由式①，②得/'(-X)=/(20+x)=-/(%),所以_/(x)是奇函数.

13.11991高中数学联赛(第01试)】设函数尸Ax)对一切实数x都满足/(3+x)W(3-x),且方程y(x)=0恰有6个

不同的实根，则这6个实根的和为()

A.18B.12C.9D.0

【答案】A

【解析】若3+。是y(x)=0的一个根，则由已知/'(3-a)=f(3+a)=0,

即3—a也是一个根.因此可设方程兀v)=0的六个根为3±%,3±a2-3±a3-

于是它们的和等于18.

14.【1990高中数学联赛(第01试)】设<x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，己知当x

司2,3]时，*x)=x,则当XGL2,0]时，段)的解析式是()

A./(x)=x+4B./(x)=2—x

C./(x)=3-|x+l|D.f(x)=2+|x+1|

【答案】C

【解析】(1)由/X久)=x(2<%<3)及周期为2,有f(x+2)=x.

(2)由于y(x)是偶数,得/'(x)=-x+2(-1<x<0).

15.11989高中数学联赛(第01试)】对任意的函数)=/(x)，在同一个直角坐标系中，函数产/(x—l)与函数月(一

万+1)的图像恒()

A.关于x轴对称B.关于直线％=1对称

C.关于直线x=-1对称D.关于y轴对称

【答案】B

【解析】/U)和汽-x)的图像关于直线x=0对称，火入-1)与_/(—x+1)的图像关于直线x=l对称.

16.【1988高中数学联赛(第01试)】设有三个函数，第一个是y=@(x),它的反函数就是第二个函数，而第三

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个函数的图像与第二个函数的图像关于直线x+产。对称，那么第三个函数是（）

A.y=-<p（x）B.y=-<p（—x）

C.y=—<p-1（x）D.y=—^-1（—x）

【答案】B

【解析】第一个函数的图像与第二个函数的图像关于x—y=O对称，第二个函数的图像与笫三个函数的图像关于

x+y=0对称，所以第一个函数的图像与第三个函数的图像关于原点对称.

17.11985高中数学联赛（第01试）】假定有两个命题：甲：。是大于0的实数；乙：。泌且aT>bT.那么（

）

A.甲是乙的充分而不必要条件

B.甲是乙的必要而不充分条件

C.甲是乙的充分必要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】因为仅有“甲''是不能使得“乙”成立，因此可知"甲''不是"乙”的充分条件.接着看“乙”在什么情况下成立.

很明显，当且仅当且b<0时，"乙”才能成立由此可知，“甲”是"乙''成立的不可缺少的条件，综上所述，得“甲”

是“乙”的必要而不充分条件

18.11984高中数学联赛（第01试）】方程sinx=lgx的实根个数是（）

A.113.2C.3D.大于3

【答案】C

【解析】判断方程sinx=Igx解的个数，就是确定正弦曲线si〃x和对数函数/gx的图像的交点个数.首先确定x的

范围.

由/gx的定义知x>0,又因为sinx4l,所以lgx4l.

从而得0<x<10.

在直角坐标系中作出0E10范围内产s加r和y=lgx的图像.

因为0=Igl<sinl,Igjr>sin;r=0,

所以当x£（1,兀）时，s加Igx必有一解.

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同理可知，当xe(2兀,2乃+和xe9乃+],3")时，方程各有一解.

19.11984高中数学联赛(第01试)]若a>0,存1,尸(x)是一奇函数，则G(x)=F(x)•(卷+：)是()

4.奇函数8.偶函数

C.不是奇函数也不是偶函数

D.奇偶性与“的具体数值有关

【答案】B

【解析】因为G(x)=F(x)•舟p

所以G(—x)=F(T)•券蒜=-F(x).益亲=G(x).

即G(x)是偶函数

20.11984高中数学联赛(第01试)】若F(三)=X,则下列等式中正确的是()

A.F(-2-x)=-2-F(x)B.F(-x)=F

C.FQT)=F(x)D.F(F(x))=-x

【答案】A

【解析】先求出f(x)的表达式，作变换t=F，得彳=三.

1+x1+t

所以F(£)=W，然后---验证，知F(—2—%)=—2—/(%).

21.11983高中数学联赛(第01试)[％=白+4的值是属于区间()

logi-logi-

2353

A.(-2,-l)B.(l,2)C.(—3,—2)D.(2,3)

【答案】D

【解析】x=10gi；+logii=logi^-=log310,2=log39<log310<log327<3.

22.【1983高中数学联赛(第01试)】已知函数次x)=/-c,满足：一4勺(1注-1,一1#2达5.那么，13)应满足(

)

A.7</(3)<26B.-4</(3)<15C.-14/⑶420D.-y</(3)

【答案】C

【解析】由—44f(l)《—1得—44a—c4—1,

所以1<c-a<4①

由一1</(2)<5得一1<4a-c<5②

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由①+②得043a49,即04a43.

所以045a415.

由②+③得一149a-c420,即一14/'(3)420.

23.11982高中数学联赛(第01试)】如果log?卜og式logzx)]=log3^logi(log3y)j=log5jlogi(log5z)j=0,那么

()

A.z<x<yB.x<y<zC.y<z<xD.z<y<x

【答案】A

1111111

【解析】由条件可得x=22=86=3215,y=35=95,z=55=25行.

据幕函数的单调性可知z<x<y.

24.11982高中数学联赛(第01试)】己知足,应是方程/一出一2)/(2+3"5)=0(4为实数)的两个实数根,好+慰的最

大值是()

A.19B.18C.5|D.不存在

【答案】B

【解析】实系数一元二次方程有实数根，所以4=[-(fc-2)『-4・1•(1+3k+5)》0,

可解得—44k4—

由韦达定理，经整理，得到后+诏=-(k+5y+19,

所以当上一4时，*+据取到最大值，这最大值为18.

25.11981高中数学联赛(第01试)】对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面的结论中，哪一个是错误的()

4.至多有三个实根B.至少有一个实根

C.仅当02—4先0时才有实根D.当p<0和4>0时，有三个实根

【答案】CD

x2+px+q(x>0)

【解析】由题意得f(x)=

—x2+px+q(x<0)

24q-p2

+-(x>0)

4

fW=4q+p,2

-(x<0)

Th4

由此可得「取不同值时，函数的大致图像:

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(P<0)(p>0)(p=0)

其中4的变化，仅决定函数图像在坐标平面上、下平移.

从上面的图像可见方程yu)=0至多有三个实根，至少有一个实根.于是当且仅当p2—4死0时才有实根的结论不正

确，所以选项C不成立.由9>0的图像可见选项。也不成立

施窗图领题遢颂0回

1.方程组「e'X'~二的解的组数是()

IM-\y\\=1

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

|x|

如图，分别画出y=e-e与11制一Ml=1的图象，

从中看出两图象有六个交点，故方程组解的组数有6组.

故选：B.

2.已知abc<0,则在下图的四个选项中，表示y=a/+人工+c的图像只可能是()。

【答案】B

【解析】

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A中，a(0,——(0,c)0-*•ubc}Q；

B中，a>0,—^<0,c<0•••abc<0；

C中，a>0,-^(0,c)0abc>0：

D中，a(0,一枭0,c(0•••abc)0；

所以选B.

3.若不等式a/+bx+4>0的解集为{x|-2<x<1},则二次函数y=bx2+4x+a在区间［0,3］上的最大值、

最小值分别为().

A.0,—8B.0,—4

C.4,0D.8,0

【答案】A

【解析】

由题意知a<0且二次方程a/+bx+4=0的两个根分别为-2和1.则有—£=-1,(=-2.故a=-2,b=—2.

所以，二次函数丫=8/+4X+。在区间［0,3］上的最大值是0,最小值是-8.选A.

4.函数,。)=1+2%-3的零点所在的一个区间为()

A.(-1.0)B.(0,1)C.g,l)D.(1,|)

【答案】C

【解析】

代入知/'(-1)=e-i-5<0,/(0)=-2<0,f&)=五-2<0,/(I)=e-1>0,/(|)=e5>0.

故所求为xeg,1).

5.设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数.已知当xG［2,3］时，/(x)=X；则当x£［一2,0］时

f(x)的解析式是().

A./(%)=%+4.B.f(%)=2—%.

C./(%)=3—|x+1|.D./(%)=2+反+1|.

【答案】C

【解析】

⑴由於)=X,2SW及周期为2,有f⑺=『：:院J,

(2)由于/(x)是偶数，得/(x)=-x+2,-l<r<0.

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综合(1)和(2)得C选项符合题意.

故选：C.

6.对一切实数％,不等式/+缶一1)X2+120恒成立.则。的取值范围是()

A.a>—1B.a>0

C.a<3D.a<1

【答案】A

【解析】

x=0时，+(a—l)x24-1=1>0恒成立.

xH0时，原不等式等价于/+>1—a.

由/+专的最小值是2,可得1一。42,即a'-l.选A.

7.如图，矩形ABC。的对角线BD经过坐标原点。，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数了二千1的图

像上若4(—2,—2),则k=()

C.0D.-1

【答案】B

【解析】

设C(a,b);8(—2,b),D(a,-2)ab=4

•••y=■过C(a,b)b=^^-,4=3k+l,k=1,选B.

8.定义在R上的函数f(x)满足：f(x+3)+f(x)=0,且函数f(x—|)为奇函数.给出以下3个命题:

①函数f(x)的周期是6；②函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称；

③函数/'(X)的图象关于y轴对称.其中，真命题的个数是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】

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由/(x+3)=—/(x),知f(x+6)=门％).所以，①正确；

将f(x—|)的图像向左平移:个单位，即为f(x)的图像，而的图像关于原点对称，所以，②正确;

由②知，/(-x)=-/(-3+x)=/(%)，则/(*)为偶函数，所以，③正确.

9.设函数/'(x)满足：对任何实数无>0,有f(2x+1)=乃。则这样的函数f(比)()。

A.不存在B.恰有一个C.恰有两个D.有无数个

【答案】D

【解析】

设M为集合｛x|x<1｝的任意一个非空子集，t(x)为定义在M上的任意一个函数.

则函数筛(x)=｛柠/N1；都符合条件.

t(x),x£M

故答案为：D

10.设4=[-2,4),8=｛*|/-(1彳一440｝,若BU4则实数a的取值范围为().

A.[-3,0)B.[-2,0)C.[0,2)D.[0,3)

【答案】D

【解析】

因为/'(x)=x2—ax—4开口向上，且｛x|/-a%—4<0]£[—1,4),

故｛靠j)jo"解得aG@3).

故答案为D

11.已知f0)="著+1在[-2018,0)U(0,2018]上的最大值为M,最小值为N,则M+N=()

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【解析】

f(X)的图象关于(0,I)对称，故M+N=f(X)max+/'(X)min=入

故答案为：B

12.已知函数f(x)满足：f(l)=；，4/(x)/(y)=f(x+y)+/(x-y)(x,ye/?),则f(2019)=().

A-IB--IC-；D-

【答案】B

【解析】

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取x=Ly=0,得/(())=，

取x=l,y=l,得4/2(1)=f(2)+f(0),故f(2)=-；；

取x=2,y=l,得4f(l)f(2)=f(3)+/(l),故f(3)=一a

取x=n,y=l,W/(n)=f(n+1)+f(n—1)

同理，/(n+1)=/(n+2)+/(n).

联立得f(n+2)=-f(n-1),故f(n+6)=/(n).

所以周期为6,故“2019)=/(336x6+3)=f(3)=

故答案为：B

13.方程间+用+同=》的最大的解与最小的解之和为()(其中，［制表示不超过x的最大整数，下同).

A.85B.-85C.42D.-42

【答案】B

【解析】

设％=42p+q(p、q为整数，0WqW41).

将X代入原方程得P=⑶+用+忸一q-

对于每个不同的q确定了唯一的有序数对(p,q),从而，X也互不相同.要比较X的大小应先比较p的大小，若p相等,

再比较q的大小.

因为「=日+用+［外7转+/＞勺=一誉与°，

所以，p的最大值只有当q=0时取到，且最大值为0.

因此，X的最大的解为0.

又P喟+附忸-qw『等+『q=-喈"3,

所以，p之一3.当且仅当q=41时，p=-3.因此，x的最小的解为-85.

综上所述，最大的解与最小的解之和为-85.

14.设函数y=f(x)满足：对一切xGR,/(%)>0,且+1)=/9一产(x).当xe[0,1)时,

2x,0<x<~;____

/(%)=i2则/'(yi丽)=().

lg(x+31),-<x<l.

A.1C.51g2D.这

B-72

【答案】D

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【解析】

2

由已知得f2(%+1)=9-/2(%),/2(X+2)=9-产(x+1).所以，产(x+2)=/(x).因此，/(x)是以2为周期的

周期函数.由于31VVI丽<32,因而，而)=f(10倾一32),f2((lOVlO-32)+1)=9-/2(10V10-

32),BP/2(10V10-31)=9-f2(10V10-32).①

又-31>(则/(10痂-31)=也10痂=|/'^)：演得/(10同—32)=^9-/2(10710-31)=^.

所以，y(Viooo)=

15.给出下列两个命题：命题2存在函数f(x)、g(x)及区间/,使得f(x)在/上是增函数，9。)在/上也是增函数，

但f(g(x))在/上是减函数；命题Q：存在奇函数/0)(工e4)、偶函数9(x)(%eB),使得函"x)g(x)(x64n8)是

偶函数，那么，()。

A.P、Q都真B.P、Q都假C.P真Q假D.Q真P假

【答案】A

【解析】

取/'(了)=1一/，g(x)=(1)x,区间/=(-8,0).

则f(x)在区间(一8,0)上是增函数，g(x)在区间(一8,0)上也是增函数.

但/'(g(x))=1-(笄在/上是减函数(因为(芋>0),P真.

取/(%)=-x(xGR),g(x)=0(%ER).

则/(%)g(x)=0(%EH)是偶函数，Q真.

故答案为：A

16.定义在R上的偶函数/(%),满足f(%+l)=-/(%),且在区间［-1,0］上递增,则().

A./(3)</(V3)</(2)B./(2)</(3)<f(V3)

C./(3)</(2)</(V3)D.f(2)<f(6)<f⑶

【答案】A

【解析】

f(x+1)=~f(x)f(x+2)=f(x),T=2

•••f(3)=/(-1)J(2)=f(O),f(百)=/(V3-2)

v-l<V3-2<0/(x)在区间上递增,

•••/(-l)</(V3-2)<f(0)•••f(3)</(V3)<f(2),选A.

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17.函数f（x）的定义域为D,若满足（1）f（x）在。内是单调函数；（2）存在［a,句UD,使f。）在［a,b］上的值域

为［a,b］,则称y=f。）为“闭函数”.现知f（x）=/F+k是闭函数，那么k的取值范围是（）.

A.(--+8)B.6,+8)

【答案】D

【解析】

因为/'(x)=5+2+k=%有两个不等的实根，

从而，x2—(2k+l)x+I—2=0,且产1j

IXNK.

'(2k+I)2-4(fc2-2)>0,

2fc+l-V(2fc