第07讲函数的奇偶性（人教A版2019）

第07讲函数的奇偶性【人教A版2019】·模块一奇偶性的判断·模块二奇偶性的应用·模块三单调性与奇偶性综合·模块四课后作业模块一模块一奇偶性的判断1．函数的奇偶性(1)定义：定义偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有x∈I，且f(x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有x∈I，且f(x)=f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数.非奇非

偶函数既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.定义域

特征定义域必须是关于原点对称的区间.等价

形式设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，x∈I，且

f(x)f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，x∈I，且f(x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立.(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.2．判断函数的奇偶性的一般方法：(1)定义法：f(x)定义域关于原点对称①若f(x)=f(x)，则f(x)是偶函数.②若f(x)=f(x)，则f(x)是奇函数.(2)图象法：关于坐标原点对称的函数为奇函数，关于y轴对称的函数为偶函数.(3)四则运算：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇；奇÷奇=偶；奇÷偶=奇；偶÷偶=偶；偶÷奇=奇.【考点1判断函数的奇偶性】【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中是偶函数的是（

）A．y=2x−1，x∈−1,2C．y=x3 D．y=【解题思路】由偶函数的定义去判断．【解答过程】函数fx=2x函数fx=x2+x，f函数fx=x函数fx=x2，故选：D.【例1.2】（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）下列函数中为奇函数的是（

）A．f(x)=x B．C．f(x)=x2+x+1【解题思路】根据奇函数的定义逐项检验即可求解.【解答过程】因为奇函数的定义域关于原点对称，且在定义域内有f−x=−fx恒成立，特别地，若在x=0对于A，f(x)=x的定义域为0,+对于B，因为f(x)=x+1x3又f−x所以fx对于C，因为f0=1≠0，所以对于D，因为f−1=1−14所以fx故选：B.【变式1.1】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）设函数fx=2+xA．fx−2−2 B．fx−2+1 C．【解题思路】先求出函数f(x)的对称中心，然后根据函数图像的变换求出过原点时函数的解析式即可．【解答过程】f(x)=−(2−x)+42−x=−1−4x−2，该函数是由y=−4x故将f(x)的图像向左平移2个单位，然后再沿y轴向上平移1个单位得到关于原点对称的奇函数y=−4可知g(x)=f(x+2)+1．故选：D．【变式1.2】（2023·全国·高一假期作业）对于两个定义域关于原点对称的函数f(x)和g(x)在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（

）A．若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x)⋅g(x)是奇函数B．若f(x)和g(x)都是偶函数，则f(x)⋅g(x)是偶函数C．若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)⋅g(x)是偶函数D．若f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x)+g(x)不一定是奇函数【解题思路】由函数的奇偶性的定义即可判断.【解答过程】对于A，因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=−g(x)，令ℎ(x)=f(x)⋅g(x)，则ℎ(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)⋅g(x)=ℎ(x)，所以f(x)⋅g(x)是偶函数，故A错误；对于B，因为f(x)和g(x)都是偶函数，所以f(−x)=f(x)，g(−x)=g(x)，令ℎ(x)=f(x)⋅g(x)，则ℎ(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)⋅g(x)=ℎ(x)，所以f(x)⋅g(x)是偶函数，故B正确；对于C，因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，令ℎ(x)=f(x)⋅g(x)，则ℎ(−x)=f(−x)⋅g(−x)=−f(x)⋅g(x)=−ℎ(x)，所以f(x)⋅g(x)是奇函数，故C错误；对于D，因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=−g(x)，令ℎ(x)=f(x)+g(x)，则ℎ(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−ℎ(x)，所以f(x)+g(x)是奇函数，故D错误.故选：B.模块二模块二奇偶性的应用1．函数奇偶性的应用函数奇偶性的主要应用有三个方面：(1)利用函数的奇偶性求值；(2)利用函数的奇偶性求参数；(3)利用函数的奇偶性求解析式；2．利用函数的奇偶性求值、解析式的方法求函数值、函数解析式：根据题目条件，利用函数的奇偶性，进行转化求解.3．利用函数的奇偶性求参数的方法(1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.

(2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.【考点2利用奇偶性求值】【例2.1】（2023春·高一课时练习）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=−f(x)，则f(6)的值为（）A．1 B．0 C．1 D．2【解题思路】得到f(x)是周期为4的奇函数，进行求解即可.【解答过程】∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为4的奇函数，∴f(6)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0.故选B.【例2.2】（2022秋·广东梅州·高一校考期中）已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x−ax，若f(2)+f(0)=1，则f(−6)=（A．−4 B．−7 C．−11 D．−15【解题思路】由奇函数性质有f(0)=0，结合已知条件及函数解析式求参数a，再利用奇函数性质求f(−6)的值.【解答过程】由题设，f(0)=0则f(2)=4−a2=1所以x>0时，f(x)=2x−6则f(−6)=−f(6)=−(12−1)=−11.故选：C.【变式2.1】（2023·高一课时练习）已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)−g(x)=x3+x2A．−3 B．2 C．1 D．3【解题思路】利用条件和f(x),g(x)的奇偶性求出f(x)的解析式即可.【解答过程】因为f(x)−g(x)=x3因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(x)+g(x)=−x3所以由①、②可得f(x)=x2+1故选：B.【变式2.2】（2023·高一课时练习）设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2时，fx=kx+b．若A．−4 B．−3 C．3 D．4【解题思路】由fx+1是奇函数，可得f−x+1=−fx+1，由fx+2是偶函数，可得fx+2=f−x+2，令x=1，【解答过程】因为fx+1是奇函数，所以f因为fx+2是偶函数，所以f令x=1，由①得：f0=−f2因为f0+f3令x=0，由①得：f1=−f1从定义入手．f11ff7f所以f11故选：A．【考点3利用奇偶性求参数】【例3.1】（2023春·云南大理·高一统考期末）若fx=x+a+1x2A．1或−1 B．1 C．0 D．−1【解题思路】根据奇偶性定义得出参数值.【解答过程】fx=x+a+1x∵f∴a+1=0故选：D.【例3.2】（2023秋·山东滨州·高一统考期末）已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=ax3+1，若f(2)=5，则a=A．−12 B．12 C．−【解题思路】根据给定条件，利用奇函数的性质求出a值作答.【解答过程】函数f(x)是奇函数，f(2)=5，则f(−2)=−f(2)=−5，又当x<0时，f(x)=ax即有f(−2)=a(−2)3+1=−8a+1=−5所以a=3故选：D.【变式3.1】（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=ax2+b+2x−3是定义在3A．−2 B．−12 C．2 【解题思路】根据偶函数的定义，即可求出a，b，得出结果.【解答过程】因为f(x)=ax2+所以定义域关于原点对称且有f(−x)=f(x)，所以3a−1+a=0且b+2=−(b+2)，解得a=14，所以ab=1故选：B.【变式3.2】（2023·高一课时练习）已知函数fx=2021A．－1 B．0 C．1 D．2【解题思路】利用函数是奇函数得到f(−x)=−f(x)，然后利用方程求解a，b，则答案可求．【解答过程】解：函数f(x)=2021当x<0时，−x>0，所以f(−x)=ax所以a=−2021，b=2022，故a+b=−2021+2022=1．故选：C.【考点4利用奇偶性求解析式】【例4.1】（2023·全国·高一假期作业）已知偶函数f(x)，当x>0时，f(x)=x2+x，则当x<0时，f(x)=A．−x2+x B．−x2−x【解题思路】由x<0得−x>0，代入得f(−x)，根据偶函数即可求解.【解答过程】当x<0，则−x>0，f(−x)=(−x)又f(x)为偶函数，∴当x<0时，f(x)=f(−x)=x故选：D.【例4.2】（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时f(x)=x2−2x则f(x)A．y=xx−2 B．C．y=|x|(x−2) D．y=x【解题思路】利用奇函数性质求x<0上f(x)的解析式，进而可得在R上的解析式.【解答过程】当x<0时，−x>0，所以f(−x)=(−x)2−2(−x)=结合已知解析式知：fx故选：D.【变式4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数fx与偶函数gx满足fx+gxA．1x2−1 B．11−x2【解题思路】由题意，用−x换x，结合函数的奇偶性可得gx【解答过程】由fx+gx又fx所以gx由fx+gx故选：C.【变式4.2】（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)与g(x)的定义域是x∈Rx≠±1，函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且f(x)−g(x)=1x−1，则f(x)A．1x2−1 B．2x2x【解题思路】先根据函数的奇偶性得到f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，再结合题意即可求出f(x)的表达式．【解答过程】由函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，所以f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，因为f(x)−g(x)=1则f(x)+g(x)=f(−x)−g(−x)=1所以①+②得2f(x)=1所以f(x)=1故选：A．模块模块三单调性与奇偶性综合1．单调性与奇偶性的综合函数的单调性与奇偶性的综合应用有两个方面：(1)比较大小：比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；(2)解不等式：对于抽象函数不等式的求解，应利用奇偶性把所给不等式变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解.【考点5利用函数的单调性与奇偶性比较大小】【例5.1】（2022秋·四川成都·高一石室中学校考期中）已知函数y=fx在0,4上单调递增，且y=fx+4是偶函数，则（A．f2<f3C．f2<f7【解题思路】根据题意得到函数y=fx关于x=4对称，所以f【解答过程】由函数y=fx+4是偶函数，可得函数y=fx+4关于所以函数y=fx关于x=4对称，所以f因为函数y=fx在0,4上单调递增，且1<2<3，所以f故选：B.【例5.2】（2023·安徽亳州·蒙城校联考模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，函数gx是定义在R上的奇函数，且fx，gx在A．ff2>fC．gg2>g【解题思路】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【解答过程】因为fx，gx在0,+∞上单调递减，f所以gx在R上单调递减，fx在对于A，f2>f3对于B，g2>g3对于C，g2>g3，gx在对于D，f2>f3，gx在故选：D.【变式5.1】（2023春·甘肃张掖·高三校考阶段练习）已知函数fx+1是偶函数，当1<x1<x2时，fx1−fx2x1−xA．c<b<a B．b<a<c C．b<c<a D．a<b<c【解题思路】根据题意先求出函数fx在(1,+∞)【解答过程】∵当1<x1<∴当1<x1<x2∴函数fx在(1,+∵函数f(x+1)是偶函数，即f1+x∴函数fx的图象关于直线x=1对称，∴a=f又函数fx在(1,+∞)即f(2)<f−12故选：B.【变式5.2】（2023秋·山东枣庄·高一校考阶段练习）函数fx是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1、x2x1<x2都有x2fx1>x1A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b【解题思路】构造函数gx=fxx，推导出函数y=gx为偶函数，且在0,+∞上单调递减，可得出a=g2，b=g1，【解答过程】因为函数y=fx是R上的奇函数，当x≠0时，令g则g−x=f对任意两个正数x1、x2x1<x2所以，函数y=gx在0,+∞∵a=12f2=g且3>2>1>0，∴g1>g2故选：B.【考点6利用函数的单调性与奇偶性解不等式】【例6.1】（2023春·河北石家庄·高二校考期末）已知函数fx是定义在−3,3上的奇函数，当0<x≤3时，f(1)求当−3≤x<0时，函数fx(2)若fa+1+f2a−1【解题思路】（1）设−3≤x<0，则0<−x≤3，代入已知的解析式中化简，再结合函数为奇函数可求得结果；（2）将fa+1+f2a−1>0转化为【解答过程】（1）设−3≤x<0，则0<−x≤3，所以f−x因为fx是定义在−3,3所以f−x所以−fx所以f即当−3≤x<0时，函数fx的解析式为f（2）由fa+1+f2a−1因为fx为奇函数，所以f当0<x≤3时，fx所以fx在(0,3]因为函数fx是定义在−3,3所以fx在−3,3所以−3≤a+1≤3−3≤2a−1≤3a+1>1−2a，解得即实数a的取值范围为(0,2].【例6.2】（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）已知函数fx=ax+b1+(1)求实数a，b的值．(2)判断fx在−1,1(3)解不等式：ft−1【解题思路】（1）根据题意列出方程组，求出a=1,b=0；（2）利用定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论；（3）根据函数奇偶性和单调性，结合函数定义域得到不等式组，求出解集.【解答过程】（1）由题意得f0=b=0f（2）fx在−1,1证明如下：在−1,1上任取两数x1,x则fx因为−1<x1<x2故fx1−f所以fx在−1,1（3）fx为奇函数，定义域为−1,1由ft−1+ft∵fx在−1,1∴−1<t−1<−t<1，解得0<t<1所以原不等式的解集为t0<t<【变式6.1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数fx对任意的x，y∈R，都有fx+y=fx+f(1)求f0的值，判断并证明函数f(2)试判断函数fx在(−(3)解不等式f2x+1【解题思路】（1）利用赋值法求得f0，根据函数奇偶性的定义判断并证明函数f（2）利用函数单调性的定义证明函数fx在(−（3）根据函数fx的单调性和奇偶性求得不等式f【解答过程】（1）依题意，函数fx对任意的x，y∈R，都有f令x=y=0，得f0fx用−x代替y，得fx−x=fx所以fx（2）fx在−任取x1<=fx由于x2−x所以fx所以fx在−（3）f2x+1+fx−4由于fx在−所以2x+1<4−x,3x<3,x<1，所以不等式f2x+1+fx−4【变式6.2】（2023秋·浙江杭州·高二校考期末）已知fx是定义在−1,1上的奇函数，且f1=1，若m,n∈−1,1，(1)证明：fx在−1,1(2)解不等式fx(3)若存在实数x使得fx≤t【解题思路】（1）结合条件，利用单调性定义证明函数单调性.（2）将不等式等价转化，利用函数奇偶性和单调性，建立不等式组，求得解集.（3）双变量问题，求出fx的最小值小于等于t【解答过程】（1）对任意的x1,当−1≤x1<x2≤1,故fx在−1,1（2）f因为fx为奇函数，且在−1,1x则不等式的解集为{x|0<x<1}（3）存在实数x，使得fx≤f(x)min=f所以实数t的取值范围是t≤1或t≥4.【考点7函数性质的综合应用】【例7.1】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知函数y=fx是定义在R上的周期函数，周期为5，函数y=fx(−1≤x≤1)是奇函数，又知y=fx在[0,1]上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在(1)求f1(2)求y=fx，x∈[1,4](3)求y=fx在[4,9]上的解析式，并求函数y=f【解题思路】（1）根据题意得到f4=f(−1)，又由y=fx（2）令f(x)=a(x−2)2−5，结合f（3）根据题意，令y=kx,(k≠0,0≤x≤1)，求得x∈−1,1时，y=−3x，结合周期性，求得函数f【解答过程】（1）解：函数y=fx是定义在R上的周期函数，且T=5，所以f而函数y=fx在区间−1,1上是奇函数，所以f(−1)=−f(1)所以f1（2）解：由y=fx在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值−5可设f(x)=a(x−2)因为f1+f4=0，即所以fx（3）解：函数y=fx,x∈−1,1是奇函数，又知y=f令y=kx,(k≠0,0≤x≤1)，由（2）得：f1=−3，可得k=−3，所以当0≤x≤1时，因为函数y=fx为奇函数，可得当x∈−1,1时，当4≤x≤6时，可得−1≤x−5≤1，所以fx当6<x≤9时，可得1<x−5≤4，所以fx所以函数fx当x=4或x=9时，函数fx取得最大值f当x=7时，函数fx取得最小值f【例7.2】（2023·全国·高三专题练习）设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1，x2∈0,1(1)求f(1(2)证明f(x)是周期函数；(3)记an=f(2n+1【解题思路】（1）根据题意可得f(1)=[f(12)]2（2）根据抽象函数的对称性和奇偶性可得f(x)=f(x+2),x∈R（3）由（1）可得f(12)=f(n⋅12n【解答过程】（1）因为对任意的x1,x所以f(x)=f(x又f(1)=f(1f(12)=f(∴f(1（2）设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1−x)，即f(x)=f(2−x),x∈R，又f(x)所以f(−x)=f(x),x∈R∴f(−x)=f(2−x),x∈R，将上式中−x以x得f(x)=f(x+2),x∈R则f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．（3）由（1）知f(x)≥0,x∈[0,1]，∵f(=f(1又f(12)=∵f(x)的一个周期是2，∴f(2n+12n)=f(【变式7.1】（2023·全国·高三对口高考）设fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有fx+2=−fx．当(1)求证：fx(2)当x∈2,4时，求f(3)计算f0【解题思路】（1）把x+2看成一个整体证明fx+4（2）当x∈2,4时，可得出0≤x−2≤2，再由fx=−fx−2可求得函数（3）计算出f1、f2、f3、f4的值，再利用函数【解答过程】（1）证明：因为fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，f则fx+4=−fx+2=fx（2）解：当x∈2,4时，0≤x−2≤2此时，fx（3）解：因为当x∈0,2时，fx=2x−x2所以，f1=2−1=1，f2=2因为2011=4×502+3，所以，f=503×1+0−1+0【变式7.2】（2023春·广东·高一统考期末）已知函数y=φx的图象关于点Pa,b成中心对称图形的充要条件是φa+x+φa−x(1)求c的值；(2)判断fx在区间0,+(3)已知函数gx的图象关于点1,1对称，且当x∈0,1时，gx=x2−mx+m．若对任意x【解题思路】（1）根据函数的对称性得到关于c的方程，解出即可求出函数的对称中心；（2）利用函数单调性的定义即可判断函数f(x)单增,（3）问题转化为g(x)在[0,2]上的值域A⊆[−2,4]，通过讨论m的范围，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答过程】（1）由于f(x)的图象的对称中心为−1,c，则f(−1+x)+f(−1−x)=2c，即(x−1)−6整理得−2=2c，解得：c=−1，故f(x)的对称中心为(−1,−1)；（2）函数f(x)在(0,+∞设0<x1<x2，则fx1−fx2=x1−（3）由已知，g(x)的值域为f(x)值域的子集，由（2）知f(x)在[1,5]上递增，且f(1)=−2,f5=4，故f(x)的值域为[−2,于是原问题转化为g(x)在[0,2]上的值域A⊆[−2,4]，当m2≤0即m≤0时，g(x)在[0,注意到g(x)=x2−mx+m可知g(x)在(1,2]上亦单调递增，故g(x)在[0，2]递增，又g(0)=m，g2=2−g(0)=2−m，故A=[m,2−m][m,2−m]⊆[−2，4]，∴m≥−2且2−m≤4，解得−2≤m≤0，当0<m2<1即0<m<2时，g(x)在(0,m2又g(x)过对称中心(1,1)，故g(x)在(1,2−m2)递增，在(2−故此时A=[min{g2，g(m2欲使A⊆[−2，4]，只需g(2)=2−g(0)=2−m≥−2g(m2解不等式得：2−23≤m≤4，又0<m<2，此时当m2≥1即m≥2时，g(x)在[0,1]递减，在(1,由对称性知g(x)在[0,2]上递减，于是A=[2−m,m]，则[2−m,m]⊆[−2，4]，故2−m≥−2m≤4，解得：2≤m≤4综上：实数m的取值范围是[−2,4]．模块模块四课后作业1．（2023·云南·高二统考学业考试）下列函数中为偶函数的是（

）A．fx=xC．fx=x【解题思路】根据偶函数的定义逐个判断可得答案.【解答过程】对于A：f(x)=x3定义域为R，且f(−x)=−x对于B：f(x)=x+1x定义域为x|x≠0，且f(−x)=−x−对于C：f(x)=x2定义域为R，f(−x)=−x对于D：fx=−2x定义域为R，且f(−x)=2x=−f(x)，故故选：C.2．（2023春·河南信阳·高一信阳高中校考期末）设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知x∈[2,3]时，f(x)=x，则x∈−2,0时，f(x)的解析式为f(x)=（

A．x+4 B．2−xC．3−|x+1| D．2−【解题思路】根据已知函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2,3]时，f(x)=x，分别讨论x∈−2,−1和x∈【解答过程】∵f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2,3]时，f(x)=x，∴x∈−2,−1时，2+x∈0,1此时fx当x∈−1,0时，−x∈0,1此时fx所以fx综上可得：x∈−2,0时，故选：C.3．（2023秋·广东深圳·高三校考开学考试）设函数fx=a−1xx−b+1为奇函数且在RA．a>1,b=1 B．a>1,b<1C．a<1,b=1 D．a<1,b>1【解题思路】根据函数奇偶性的定义结合二次函数的单调性即可得解.【解答过程】因为函数fx=a−1所以a−1≠0且f−1即−a−1所以−b=2−b，解得故fx因为函数fx=a−1所以a−1<0，所以a<1.故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+bA．−94 B．−32 C．【解题思路】通过fx+1是奇函数和fx+2是偶函数条件，可以确定出函数解析式【解答过程】[方法一]：因为fx+1是奇函数，所以f因为fx+2是偶函数，所以f令x=1，由①得：f0=−f2因为f0+f3令x=0，由①得：f1=−f1思路一：从定义入手．ff−f所以f9[方法二]：因为fx+1是奇函数，所以f因为fx+2是偶函数，所以f令x=1，由①得：f0=−f2因为f0+f3令x=0，由①得：f1=−f1思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数fx的周期T=4所以f9故选：D．5．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知fx是定义在R上的偶函数，gx是定义在R上的奇函数，且fx，gA．ff1<ffC．gf1<g【解题思路】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合f1<f2【解答过程】因为fx是定义在R上的偶函数，gx是定义在R上的奇函数，且两函数在所以fx在0,+∞上单调递增，gx在0,+∞上单调递减，所以f1<f2所以fg1<fg2所以B正确，C,D错误；若f1>f故选：B.6．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知函数fx，gx的定义域均为R，且fx+f2−x=4，gx=fx−1A．5 B．4 C．3 D．0【解题思路】根据已知条件求得fx的对称轴、对称中心、周期以及g【解答过程】∵fx+f2−x=4，∴fx∵gx+1=g−x+1∴fx为偶函数，以y∴f−(2−x)=f2−x由fx+f2−x∴fx+2=f2−x从而fx+2+2=fx+2−2∴fx的周期为4，∴g故g2022故选：B.7．（2023春·内蒙古赤峰·高一校联考期末）已知函数fx+2是偶函数，当x1、x2∈2,+∞时，fx1−fA．c<b<a B．b<a<c C．c<a<b D．a<b<c【解题思路】根据题意先求出函数fx在2,+∞上为单调增函数且关于直线【解答过程】∵当2≤x1<∴当2≤x1<x2∴函数fx在2,+∵函数f(x+2)是偶函数，即f2+x∴函数fx的图像关于直线x=2对称，∴a=f1又函数fx在2,+∞上为单调减函数，∴即f52>f(1)>f(−故选：C.8．（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校考开学考试）设fx是定义在−∞,0∪0,+∞上的奇函数，对任意的x1、x2∈A．−1,0∪1,+∞C．−∞,−1∪【解题思路】构造函数gx=fxx，其中x≠0，分析函数gx的单调性与奇偶性，求得g−1【解答过程】构造函数gx=fxx所以，函数gx对任意的x1、x2∈0,+∞所以，gx1−gx2<0，即故函数gx在−因为f1=2，则当x<0时，由fx>2x可得gx当x>0时，由fx>2x可得gx所以，不等式fx>2x的解集为故选：A.9．（2023·全国·高三专题练习）函数y=fx的图像关于点Pa,b成中心对称的充要条件是函数y=fx+aA．fx=3x+1关于B．fx=xC．函数y=fx的图象关于点Pa,bD．函数y=fx的图象关于x=a对称的充要条件是y=f【解题思路】根据函数y=fx的图象关于点Pa,b成中心对称的充要条件是函数【解答过程】对选项A，fx=3x+1，a=1fx对选项B，由fx=x则fx对选项C，因为函数y=fx+a−b为奇函数，所以即fx+a+f−x+a=2b，令即fx对选项D，若y=fx+a为偶函数，则f令t=x+a，则有ft=f2a−t函数y=fx的图象关于x=a对称，则有f令x=t+a，则有ft+a即y=fx+a故选：A.10．（2023春·湖南长沙·高三校考阶段练习）设fx是定义在R上的函数，若fx+x2是奇函数，fx−x是偶函数，函数gx=A．133 B．174 C．92【解题思路】由fx+x2是奇函数，fx−x是偶函数，求出【解答过程】因为fx+x所以f−x+−x由gx当x∈1,2时，则x−1∈0,1，所以同理：当x∈2,3时，g以此类推，可以得到gx由此可得，当x∈4,5时，g由gx≤3，得16x−45−x≤3又因为对任意的x∈0,m，g所以0<m≤174，所以实数m的最大值为故选：B.11．（2023·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx【解题思路】由奇偶性的定义对各个题一一判断即可得出答案.【解答过程】（1）fx的定义域是−又f−x=−x（2）因为fx的定义域为−1,1所以fx（3）因为fx的定义域为−3,则fx（4）方法一（定义法）

因为函数fx的定义域为R，所以函数f①当x＞1时，−x<−1，所以f−x②当−1≤x≤1时，fx③当x<−1时，−x>1，所以f−x综上，可知函数fx方法二（图象法）

作出函数fx的图象，如图所示，易知函数f12．（2023春·山东