第5章 生活中的轴对称（基础篇）

第5章生活中的轴对称（基础篇）一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．2022年冬奥会将在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（

）A．等边三角形 B．正方形C．含锐角的直角三角形 D．圆3．如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形．则这个格子内标有的数字是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，，则的度数是（

）A． B． C． D．5．某市计划在公路旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短的是（

）A． B．C． D．6．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是（）A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．ABB′C′7．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，连接AP，BP．下列判断不一定正确的是（）A．AM=BM B．∠ANM=∠BNMC．∠MAP=∠MBP D．AP=BN8．等腰三角形的两边长分别为13cm、6cm，那么第三边长为（

）A．7cm B．13cm C．6cm D．8cm9．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为()A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm10．如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于点E，且PE＝3cm，则AB与CD之间的距离为(

)

A．3cm B．6cm C．9cm D．无法确定11．下列说法正确的是()A．等腰三角形的一个角的平分线是它的对称轴B．有一个内角是60°的三角形是轴对称图形C．等腰直角三角形是轴对称图形，它的对称轴是斜边上的中线所在的直线D．等腰三角形有3条对称轴12．如图，将△AOD沿直线l折叠后得到△BOC，下列说法中不正确的是（

）A．∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO B．直线l垂直平分AB，CDC．△AOD和△BOC均是等腰三角形 D．AD=BC，OD=OC填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．若一个正多边形的内角和与外角和的度数相等，则此正多边形对称轴条数为______．14．如图，和关于直线AB对称，和关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若，，则的度数为______．15．如图，点关于，的对称点分别是，，分别交，于点，，，则的周长为_____．16．已知一张三角形纸片（如图甲），其中，．将纸片沿折叠，使点与点重合（如图乙）时，；再将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合，折痕为（如图丙），则的周长为__________（用含的式子表示）．17．如图，如图，∠AOB=45º，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=7，△OMN的面积为14，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，∠P1OP2＝___°，△OP1P2的面积最小值为___．18．如图，在△ABC中，，，，点D是BC上一动点（点D与点B不重合），连接AD，作B关于直线AD的对称点E，当点E在直线BC的下方时，连接BE、CE，则CE的取值范围是__________；△BEC面积的最大值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共60分）19．（8分）如图，点A在中，点B、C分别在边OM、ON上．请画出，使的周长最小（请保留作图痕迹）．20．（10分）（1）如图1，直线两侧有两点A，B，在直线上求一点C，使它到A、B两点的距离之和最小（作法不限，保留作图痕迹，不写作法）．（2）知识拓展：如图2，直线同侧有两点A，B，在直线上求一点C，使它到A，B两点的距离之和最小（作法不限，保留作图痕迹，不写作法）．21．（10分）如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠D＝130°，∠A+∠B＝155°，AD＝4cm，EF＝5cm．（1）求出AB，EH的长度以及∠G的度数；（2）连接AE，DH，AE与DH平行吗？为什么？22．（10分）如图，三角形纸片△ABC，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，折痕为BD（点D在线段AC上且不与A，C重合）．（1）如图①，若点C落在AB边上的点E处，求△ADE的周长；（2）如图②，若点C落在AB边下方的点E处，记△ADE的周长为L，直接写出L的取值范围．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，连接D'C，若BD＝CD'．（1）求证：△ABD≌△ACD'．（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．24．（12分）如图，取一张长方形纸片ABCD，沿AD边上任意一点M折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，设折痕为MN，D′C′交BC于点E且∠AMD′=α，∠NEC′=β（1）探究α、β之间的数量关系，并说明理由．（2）连接AD′是否存在折叠后△AD′M与△C′EN全等的情况？若存在，请给出证明；若不存在，请直接作否定的回答，不必说明理由．

参考答案1．C【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；B、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；C、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意；D、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；故选：C．【点拨】此题主要考查了轴对称图形，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．2．C【分析】根据轴对称图形的概念逐一判断即可得．解：A．等边三角形一定是轴对称图形；B．正方形一定是轴对称图形；C．含锐角的直角三角形不一定是轴对称图形；D．圆一定是轴对称图形；故选：C．【点拨】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．3．C【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）即可得．解：由轴对称图形的定义可知，这个格子内标有的数字是3，故选：C．【点拨】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．4．C【分析】利用折叠的特性可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，再利用长方形的性质∠ABC＝90°，则∠ABE＝90°−∠EBC，结论可得．解：由折叠可得：∠CBD＝∠EBD＝25°，则∠EBC＝∠CBD＋∠EBD＝50°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABF＝90°−∠EBC＝40°，故C正确．故选：C．【点拨】本题主要考查了角的计算，折叠的性质，利用折叠得出：∠CBD＝∠EBD是解题的关键．5．B【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离．解：作点A关于直线的对称点，连接交直线l于M，根据两点之间线段最短，可知选项B机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短．故选B【点拨】本题考查了最短路径的数学问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”，由于所给条件的不同，解决方法和策略上有所差别．6．D【分析】根据轴对称的性质解答．解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，∴AC＝A′C′，BO＝B′O，AA′⊥MN，但ABB′C′不正确，故选：D．【点拨】此题考查了轴对称的性质：轴对称两个图形的对应边相等，对应角相等，熟记性质是解题的关键．7．D【分析】根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论．解：直线是四边形的对称轴，，，．由于和不是对应线段，故不一定等于．故选：D．【点拨】本题主要考查的是轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质．8．B【分析】题目给出等腰三角形有两条边长分别为13cm、6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解：当6cm是腰时，因6+6＜13，不能组成三角形，应舍去；当13cm是腰时，6cm、13cm、13cm能够组成三角形．则第三边应是13cm．故选：B．【点拨】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义，掌握三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边是解题的关键．9．C【分析】根据图形翻折变换的性质得出AD=BD，故AC+（CD+AD）=AC+BC，由此即可得出结论．解：∵△ADE由△BDE翻折而成，∴AD=BD．∵AC=5cm，BC=10cm，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=15cm．故选C．【点拨】本题考查了翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．10．B【分析】先过点P作FG⊥AB，可以得到FG⊥CD，根据角平分线的性质可得：OE＝OF＝OG，即可求得AB与CD之间的距离．解：过点P作FG⊥AB．∵AB∥CD，∴FG⊥CD，∴FG的长度就是AB与CD之间的距离．∵∠BAC与∠DCA的平分线相交于点P．PE⊥AC于E，∴PE＝PF＝PG，∴AB与CD之间的距离等于2•PE＝6（cm）．故选B．【点拨】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出AB与CD之间的距离是正确解决本题的关键．11．C【分析】此题的考点是轴对称的定义和性质1，根据定义和性质特点分析各选项．解：A选项说的不够具体；在等腰三角形里，只有顶角的角平分线才是它的对称轴，故错误；B选项所说“有一个内角的的三角形”可能是各种各样的三角形，不能因此判定是轴对称图形，故错误；C选项等腰直角三角形斜边上的中线即为它的对称轴，故正确；D选项等腰三角形有3条或1条对称轴，故错误．故选：C．【点拨】学生要熟练掌握轴对称的定义和性质定理，解题的关键是根据定义和性质内容判断出正确结论．12．C解：根据轴对称图形的性质可得：∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO，直线l垂直平分AB，CD，AD=BC，OD=OC，即A、B、D正确，C错误；故选：C.考点：轴对称图形的性质13．4【分析】利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，求得多边形的边，再利用正多边形的性质可得答案．解：设多边形的边数为n，根据题意（n-2）•180°=360°，解得n=4．所以正多边形为正方形，所以这个正多边形有4条对称轴，故答案为：4．【点拨】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，解一元一次方程，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°，也考查的正多边形的对称轴的条数．14．【分析】根据轴对称的性质得出角的度数，进而利用三角形外角的性质解答即可．解：∵△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，∵∠ABC＝32°，∴∠BAC＝180°-18°-32°＝130°＝∠BAE，∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，故答案为：118°．【点拨】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质求出相关角的度数．15．6【分析】根据轴对称的性质，得，，结合三角形周长的性质计算，即可得到答案．解：∵点关于，的对称点分别是，∴，∴的周长故答案为：6．【点拨】本题考查了轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，从而完成求解．16．【分析】根据折叠的性质可得△BDE≌△ADE，△GEF≌△CEF，进而求得BE=10-a，BG=10-2a，根据C△BFG=BG+BC求解即可．解：∵将纸片沿DE折叠，使点A与点B重合，∴△BDE≌△ADE，∴AE=BE，∵AB=AC=10,CE=a，∴AE=AC–CE=10–a，∴BE=10-a，∵再将纸片沿EF折叠，使得点C恰好与BE边上G点重合，折痕为EF，∴△GEF≌△CEF，∴GE=CE=a,GF=CF，∴BG=BE–GE=10–a-a=10-2a，∵BC=6，∴C△BFG=BG＋BF＋GF=BG+BF+CF=BG+BC=10-2a+6=16-2a．故答案为：16-2a．【点拨】本题考查了折叠的性质，全等的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．17．

90°

8【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小．解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．∵S△OMN=•MN•OH=14，MN=7，∴OH=4，∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，∴∠AOP=∠AOP1，∠POB=∠P2OB，OP=OP1=OP2∵∠AOB=45°，∴∠P1OP2=2（∠POA+∠POB）=90°，∴△OP1P2是等腰直角三角形，∴OP=OP1最小时，△OP1P2的面积最小，根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，∴△OP1P2的面积的最小值=×4×4=8，故答案为90°；8．【点拨】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP1P2是等腰直角三角形，属于中考常考题型．18．

4【分析】利用对称可知E点在以A点为圆心、AE为半径的圆上，即可知CE的长度不超过BC的长度，当E点移动到F点时，使得A、C、F三点共线，此时CF最短；当点E移动到使得AE⊥BC时，A点到BC的距离最短，则E点到BC的距离最大，则此时△BCE的面积最大，设AE交BC于点G点，利用已知的长度即可解答．解：∵B、E关于AD对称，∴AE=AB=4，则可知E点在以A点为圆心、AE为半径的圆上，如图，在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，则BC=5，当E点与B点重合时，有CE最长，即为5；又∵B、E不重合，∴有，当E点移动到F点时，使得A、C、F三点共线，此时CF最短，且为CF=AF-AC=4-3=1，即CE最短为1，即CE的取值范围为：；当点E移动到使得AE⊥BC时，A点到BC的距离最短，则E点到BC的距离最大，则此时△BCE的面积最大，设AE交BC于点G点，利用面积可知，则可求得AG=2.4，∵AE=AB=4，∴EG=4-2.4=1.6，则△BCE的面积最大值为：，即△BCE的面积的最大值为4；故答案为：，4．【点拨】本题考查了轴对称、圆的相关知识以及三角形的面积等知识，利用对称得出E点在以A点为圆心、AE为半径的圆上，是解答本题的关键．19．见分析【分析】分别作出点A关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点即为所确定的点．解：①分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；②连接A′、A″，分别交OM，ON于点B、点C，连接AB、AC、BC，则△ABC即为所求．【点拨】此题主要考查了作图−复杂作图，轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点．20．（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接AB，交已知直线于点C即可；（2）根据两点之间线段最短，作A关于已知直线的对称点E，连接BE交已知直线于C，由此即可得出答案．解：（1）连接AB，交已知直线于点C，则该点C即为所求；（2）作点A关于已知直线的对称点E，连接BE交已知直线于点C，连接AC，BC，则此时C点符合要求．【点拨】此题主要考查了平面内最短路线问题求法，熟练掌握轴对称图形的性质是解决本题的关键．21．（1）；（2），理由见分析【分析】（1）先根据四边形的内角和为360°和已知条件求得的度数，进而根据轴对称的性质求得AB，EH的长度以及∠G的度数；（2）根据对称的性质可知，对称轴垂直平分对应的两点连成的线段，则，进而根据垂直于同一直线的两直线平行即可进行判断．解：（1）四边形ABCD中，∠D＝130°，∠A+∠B＝155°，∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，AD＝4cm，EF＝5cm．，，（2）连接AE，DH，则已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，的对称点分别为,则．【点拨】本题考查了轴对称的性质，四边形内角和，掌握轴对称的性质是解题的关键．22．（1）7；（2）7＜L＜10．【分析】（1）由翻折变换的性质可得CE=CD，BE=BC，再求出AE=2，AD+DE=AC=5，然后由三角形的周长公式计算即可；（2）由翻折变换的性质可得CE=CD，BE=BC，再求出AE=2，AD+DE=AC=5，然后由三角形的三边关系求出2＜AE＜5，即可求解．解：（1）∵折叠△ABC，顶点C落在AB边上的点E处，∴DE=DC，BE=BC=6，∴AE=AB-BE=8-6=2，∵AD+DE=AD+CD=AC=5，∴△AED的周长=AD+DE+AE=5+2=7；（2）∵折叠△ABC，顶点C落在AB边下方的点E处，∴DE=DC，BE=BC=6，在△ADE中，AD+DE=AD+CD=AC=5，AE＜AD+DE，即AE＜5．在△ABE中，AE＞AB-BE，即AE＞2．∴2＜AE＜5，∴2+AD+DE＜AE+AD+DE＜5+AD+DE，即2+5＜L＜5+5，即7＜L＜10，故答案为：7＜L＜10．【